Esercizi sulle equazioni fratte di primo grado

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Equazioni (superiori)

In questa scheda presentiamo degli esercizi sulle equazioni fratte di primo grado, svolti e commentati. Ricordiamo che le equazioni fratte di primo grado sono equazioni nelle quali l’incognita compare almeno una volta anche al denominatore e riducibili ad una equazione di primo grado intera.

Nel risolvere le equazioni fratte di primo grado utilizzeremo i principi di equivalenza e la nozione di campo di esistenza di una equazione. In particolare, ricondurremo anzitutto grazie ai principi di equivalenza l’equazione fratta alla forma normale:

\dfrac{N(x)}{D(x)}= 0

Dopo di che, procederemo eliminando il denominatore {D(x)} ponendo la condizione {D(x) \neq 0}:

N(x) =0 , \qquad D(x) \neq 0

Tale condizione è dovuta al fatto che mentre il campo di esistenza dell’equazione intera {N(x)=0} è dato da tutti i reali, il campo di esistenza dell’equazione fratta è invece dato soltanto dai valori della {x} per il quali il denominatore {D(x)} non è nullo. In altre parole, dobbiamo escludere dalle possibili soluzioni dell’equazione fratta quei valori che annullano il denominatore (un denominatore non può essere zero perché non è possibile dividere per zero).

In pratica eliminare il denominatore equivale ad applicare il secondo principio di equivalenza, moltiplicando entrambi i membri dell’equazione fratta in forma normale per {D(x)}:

\dfrac{N(x)}{\cancel{D(x)}} \cdot \cancel{D(x)} = \underbrace {0 \cdot D(x)}_{0} \quad \Rightarrow \quad N(x)=0, \quad D(x) \neq 0

La condizione {D(x) \neq 0} si giustifica quindi per la richiesta del secondo principio di equivalenza per cui la quantità per la quale moltiplichiamo entrambi i membri dell’equazione deve essere diversa da zero.

Attenzione a non eliminare con leggerezza il denominatore in un’equazione fratta. Ricordiamo sempre di porre la condizione {D(x) \neq 0}. Inoltre, data ad esempio la seguente equazione:

\dfrac{3x}{x^2+1} = \dfrac{12x}{4x^2+4}

non possiamo subito eliminare i denominatori. Ciò sarebbe infatti in contrasto con il secondo principio di equivalenza (possiamo moltiplicare entrambi i membri dell’equazione soltanto per una stessa quantità). Se eliminassimo due denominatori diversi tra loro commetteremmo il grave errore di moltiplicare i membri dell’equazione per quantità tra loro diverse.

Così nel caso in esame dobbiamo prima portare tutti i termini a primo membro, e quindi calcolare il denominatore comune. Solo arrivati all’equazione nella forma {N(x)/D(x)=0} sarà possibile eliminare con le opportune condizioni il denominatore {D(x)}.

Fatte le dovute premesse, passiamo subito agli esercizi sulle equazioni fratte di primo grado (equazioni frazionarie riducibili ad equazioni intere di primo grado).

Nota: nel risolvere gli esercizi sulle equazioni fratte di primo grado di questa scheda incontreremo in alcuni casi anche equazioni intere di secondo grado e oltre. Tuttavia, queste potranno comunque essere ricondotte alla risoluzione di semplici equazioni di primo grado utilizzando la legge di annullamento del prodotto.

Esercizi svolti sulle equazioni fratte di primo grado (equazioni frazionarie riducibili ad equazioni intere di primo grado)

Gli esercizi a seguire sulle equazioni fratte di primo grado sono proposti per ordine di difficoltà crescente.

Prima parte: esercizi sulle equazioni fratte di primo grado con una sola frazione algebrica

Esercizio 1

Risolvere la seguente equazione fratta di primo grado:

\dfrac{x-5}{x+6}=0

L’equazione è già in forma normale, ovvero è nella forma:

\dfrac{N(x)}{D(x)}=0

Possiamo quindi passare all’equazione {N(x)=0} a patto di porre la condizione {D(x) \neq 0}:

x-5 = 0, \qquad \text{con} \quad x+6 \neq 0

La condizione {x+6 \neq 0} equivale ad escludere le soluzioni dell’equazione {x+6 = 0 }, ovvero {x=-6}.

Di conseguenza la condizione imposta di denominatore {D(x)} non nullo equivale ad escludere il valore {x=-6} dalle possibili soluzioni dell’equazione fratta. Diciamo quindi che il campo di esistenza {\mathscr{D}} dell’equazione da risolvere è dato da tutti i reali tranne il valore {-6}. In simboli:

\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \{-6\}

In parole più semplici, se risolvendo l’equazione {N(x)=0} otteniamo la soluzione {x=-6}, questa dovrà essere scartata.

Risolviamo a questo punto l’equazione {N(x)=0}:

x-5=0 \quad \Rightarrow \quad x=5

La soluzione è diversa da {-6} ed è dunque accettabile per l’equazione di partenza. In conclusione l’equazione fratta assegnata è determinata ed ha per soluzione il valore {5}.

Vediamo ora ulteriori esercizi sulle equazioni fratte di primo grado con livello di difficoltà crescente.

Esercizio 2

Risolvere l’equazione:

\dfrac{x(2-x)}{x+4}=0

Qui dobbiamo anzitutto calcolare il prodotto al numeratore:

\dfrac{2x-x^2}{x+4}=0

A questo punto eliminiamo il denominatore imponendolo diverso da zero:

2x-x^2 = 0, \quad x+4 \neq 0

ovvero:

2x-x^2 = 0, \quad x \neq -4

Ora dobbiamo risolvere l’equazione {N(x)=0}. Le soluzioni che otterremo se diverse da {x=-4} saranno anche soluzioni dell’equazione fratta di partenza. Troviamo allora le eventuali soluzioni dell’equazione:

2x-x^2=0

Qui per la verità ci ritroviamo con un’equazione di secondo grado. Tuttavia, questa può essere risolta utilizzando soltanto quanto sappiamo sulle equazioni di primo grado e la legge di annullamento del prodotto.

Scomponiamo prima di tutto in fattori il polinomio al primo membro eseguendo un raccoglimento:

x(2-x)=0

Per la legge di annullamento del prodotto abbiamo:

x(2-x)= 0 \quad \iff \quad x= 0 \quad \vee \quad 2-x=0

e quindi:

x = 0 \quad \vee \quad x=2

Entrambe le soluzioni sono accettabili poiché diverse dal valore “proibito” {-4}. Così l’equazione fratta di partenza è determinata ed ammette le soluzioni {x=0} e {x=2}.

Seconda parte: esercizi sulle equazioni fratte di primo grado con più frazioni algebriche

Esercizio 3

\dfrac{x-5}{x+6}=\dfrac{x-1}{x+4}

Attenzione: non possiamo eliminare i denominatori. Piuttosto, dobbiamo portare tutto al primo membro e quindi calcolare il denominatore comune di tutti i termini. Solo a tal punto potremo eliminare il denominatore (naturalmente imponendo le opportune condizioni).

In pratica dobbiamo in questo caso trasportare la frazione algebrica attualmente al secondo membro nel primo membro. Per fare questo, dovremo cambiare il suo segno, ovvero porre un segno meno davanti alla sua linea di frazione:

\dfrac{x-5}{x+6}-\dfrac{x-1}{x+4}=0

Ora mettiamo tutti i termini a denominatore comune:

\dfrac{(x+4)(x-5)-(x+6)(x-1)}{(x+6)(x+4)}=0

A questo punto svolgiamo i calcoli al numeratore. Calcoliamo anzitutto i prodotti:

\dfrac{x^2-5x+4x-20-(x^2-x+6x-6)}{(x+6)(x+4)}=0

Eliminiamo le parentesi tonde tenendo conto che sottrarre un polinomio equivale a sommare il suo opposto. Cancelliamo poi i termini opposti tra loro:

\dfrac{\cancel{x^2}-\cancel{5x}+\cancel{4x}-20-\cancel{x^2}+\cancel{x}-6x+6}{(x+6)(x+4)}=0

Ora sommiamo i termini simili:

\dfrac{-6x-14}{(x+6)(x+4)}=0

A questo punto eliminiamo il denominatore imponendolo diverso da zero:

-6x-14=0, \qquad (x+6)(x+4) \neq 0

Dobbiamo ora ragionare attentamente sulla condizione:

(x+6)(x+4) \neq 0

Tale condizione equivale ad escludere le soluzioni dell’equazione:

(x+6)(x+4)=0

Per la legge di annullamento del prodotto:

(x+6)(x+4)=0 \quad \Rightarrow \quad x+6 = 0 \quad \vee \quad x+4=0

ovvero

x=-6 \quad \vee \quad x=-4

Ricordiamo che il simbolo {\vee} significa “oppure”.

Così dobbiamo in pratica escludere dalle possibili soluzioni dell’equazione fratta di partenza i valori {-6} e {-4}.

In alternativa partendo sempre dalla condizione:

(x+6)(x+4) \neq 0

è anche possibile ragionare continuando ad usare il simbolo di disuguaglianza. Applicando la legge di annullamento del prodotto:

(x+6)(x+4) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x+6 \neq 0 \quad \wedge \quad  x+4 \neq 0

Ovvero il denominatore {(x+6)(x+4)} è diverso da zero solo se entrambi i suoi fattori sono contemporaneamente diversi da zero. Abbiamo quindi usato il simbolo {\wedge} che sta per “e contemporaneamente”.

Otteniamo quindi:

x \neq -6 \quad \wedge \quad x\neq -4

Di conseguenza ragionando in un modo o nell’altro ci ritroviamo comunque a dover escludere per l’equazione fratta di partenza i due valori indicati.

Osservazione. Per chi conosce la logica, negare la proposizione “{x} uguale ad {a} oppure {x} uguale a {b}” porta alla proposizione “{x} diverso da {a} e contemporaneamente {x} diverso da {b}“. In simboli: {\neg (x = a \vee x = b) \quad \iff \quad x \neq a \wedge x \neq b} Ciò è una conseguenza della seconda legge di De Morgan. Questo pone in evidenza l’equivalenza tra i due differenti modi di ragionare utilizzati per escludere i valori che annullano il denominatore dell’equazione.

Proseguiamo risolvendo l’equazione {N(x)=0}:

-6x-14=0

ovvero:

6x+14=0

Otteniamo:

x = -\dfrac{14}{6}=-\dfrac{7}{3}

La soluzione ottenuta per l’equazione intera è accettabile anche per l’equazione fratta di partenza. Infatti il valore è differente sia da {-6}, sia da {-4}. Ricordiamo sempre di confrontare la soluzione dell’equazione intera eventualmente ottenuta con i valori che abbiamo escluso imponendo diverso da zero il denominatore.

In conclusione l’equazione fratta di partenza è determinata ed ha per soluzione {x=-7/3}.

Esercizio 4

Procediamo con gli esercizi sulle equazioni fratte di primo grado con la seguente:

-\dfrac{x+1}{3x+1}+\dfrac{x-2}{x+1}=\dfrac{2x}{3x+1}

Portiamo tutto a primo membro:

-\dfrac{x+1}{3x+1}+\dfrac{x-2}{x+1}-\dfrac{2x}{3x+1}=0

Mettiamo tutti i termini a denominatore comune:

\dfrac{(x+1)(-x-1)+(3x+1)(x-2)-2x(x+1)}{(3x+1)(x+1)}=0

Calcoliamo i prodotti al numeratore:

\dfrac{\cancel{-x^2}-x-x-1+\cancel{3x^2}-6x+x-2-\cancel{2x^2}-2x}{(3x+1)(x+1)}=0

Sommiamo i termini simili:

\dfrac{-9x-3}{(3x+1)(x+1)}=0

Adesso eliminiamo il denominatore imponendolo diverso da zero:

-9x-3=0, \qquad (3x+1)(x+1) \neq 0

ovvero:

-9x-3=0, \qquad x \neq -\dfrac{1}{3} \quad \wedge x \neq -1

A questo punto risolviamo l’equazione intera tenendo conto che un’eventuale soluzione uguale a {-1/3} oppure uguale a {-1} non sarà accettabile. Abbiamo:

-9x-3=0 \quad \Rightarrow \quad -9x=3 \quad \Rightarrow \quad x=-\dfrac{1}{3}

La soluzione ottenuta per l’equazione intera non è accettabile per l’equazione fratta di partenza. Infatti, per {x=-1/3} si annulla il denominatore {D(x)}. Di conseguenza l’equazione fratta non ammette soluzioni ed è pertanto impossibile.

In casi di questo tipo si dice che la soluzione {x=-1/3} è una soluzione estranea.

Esercizio 5

Risolvere la seguente equazione:

\dfrac{x-7}{x-3}-\dfrac{4-x}{x-2}=\dfrac{x-1}{x-3}-\dfrac{x-5}{2-x}

Portiamo tutti i termini al primo membro. Osserviamo che in questo caso dobbiamo trasportare le due frazioni algebriche al secondo membro. Per fare questo dovremo cambiare il segno che precede le rispettive linee di frazione delle frazioni algebriche. Abbiamo:

\dfrac{x-7}{x-3}-\dfrac{4-x}{x-2}-\dfrac{x-1}{x-3}+\dfrac{x-5}{2-x}=0

Per semplificare il calcolo del denominatore comune osserviamo in merito all’ultima frazione algebrica che si ha:

\dfrac{x-5}{2-x}=-\dfrac{x-5}{-2+x}=-\dfrac{x-5}{x-2}

Così possiamo riscrivere l’equazione come:

\dfrac{x-7}{x-3}-\dfrac{4-x}{x-2}-\dfrac{x-1}{x-3}-\dfrac{x-5}{x-2}=0

Ora la seconda e la quarta frazione algebrica condividono lo stesso numeratore. Mettiamo i termini a denominatore comune:

\small \dfrac{(x-2)(x-7)-(x-3)(4-x)-(x-2)(x-1)-(x-3)(x-5)}{(x-3)(x-2)}=0

Eseguiamo i prodotti al numeratore:

\scriptsize\dfrac{x^2-7x-2x+14-(4x-x^2-12+3x)-(x^2-x-2x+2)-(x^2-5x-3x+15)}{(x-3)(x-2)}=0

e quindi:

\scriptsize\dfrac{\cancel{x^2}-7x-2x+14-4x+\cancel{x^2}+12-3x-\cancel{x^2}+x+2x-2-\cancel{x^2}+5x+3x-15)}{(x-3)(x-2)}=0

Sommando i termini simili al numeratore:

\dfrac{(-7-2-4-3+1+2+5+3)x+14+12-2-15}{(x-3)(x-2)}=0

Otteniamo:

\dfrac{-5x+9}{(x-3)(x-2)}=0

A questo punto eliminiamo il denominatore imponendo l’opportuna condizione:

-5x+9=0, \qquad (x-3)(x-2) \neq 0

ovvero:

-5x+9=0, \qquad x \neq 3 \quad \wedge x \neq 2

Risolviamo l’equazione intera:

-5x=-9 \quad \Rightarrow \quad x=\dfrac{9}{5}

La soluzione è accettabile per l’equazione fratta poiché è diversa dai valori che annullano il denominatore. In conclusione l’equazione fratta di partenza è determinata ed ha soluzione {x=9/5}.

Terza parte: esercizi nei quali intervengono delle scomposizioni in fattori

Passiamo ora a degli esercizi sulle equazioni fratte di primo grado nei quali ci ritroveremo a dover scomporre in fattori dei polinomi. Abbiamo ampliamente visto le tecniche di scomposizione dei polinomi nelle relative lezioni.

Esercizio 6

Vediamo come risolvere la seguente equazione fratta di primo grado:

\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{2x^2}{x^2-3x+2}

Prima di tutto portiamo tutti i termini al primo membro:

\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{2x^2}{x^2-3x+2}=0

Ora mettiamo tutti i termini a denominatore comune. Per fare questo proviamo anzitutto a scomporre il trinomio {x^2-3x+2} e vediamo se delle volte la sua scomposizione ha almeno un fattore uguale ad uno degli altri denominatori presenti nell’equazione. Utilizzando la regola del trinomio caratteristico abbiamo:

x^2-3x+2=(x-2)(x-1)

In questo caso avremmo potuto anche più semplicemente verificare se il prodotto tra i due denominatori {x-2} e {x-1} era uguale al rimanente denominatore.

Così il denominatore comune è dato dal polinomio {x^2-3x+2}, ovvero {(x-2)(x-1)}:

\dfrac{(x-1)(x+1)+(x-2)x-2x^2}{(x-2)(x-1)}=0

Eseguendo i calcoli al numeratore:

\dfrac{\cancel{x^2}+\cancel{x}-\cancel{x}-1+\cancel{x^2}-2x-\cancel{2x^2}}{(x-2)(x-1)}=0

Ovvero:

\dfrac{-2x-1}{(x-2)(x-1)}=0

Eliminiamo il denominatore sempre imponendo l’opportuna condizione:

-2x-1=0, \qquad (x-2)(x-1) \neq 0

ovvero:

-2x-1=0, \qquad x \neq 2 \quad \wedge \quad x \neq 1

Risolvendo l’equazione intera {-2x-1=0} otteniamo:

x= -\dfrac{1}{2}

soluzione che è accettabile per l’equazione di partenza poiché diversa dai valori {2} e {1} che annullano il denominatore.

L’equazione fratta assegnata è dunque determinata ed ha soluzione {x = -\dfrac{1}{2}}.

Esercizio 7

Risolvere la seguente equazione:

\dfrac{3x-5}{x+6}\left( 1+\dfrac{x}{x+5}\right)=\dfrac{x(3x-5)}{x^2+11x+30}

Come sempre portiamo tutto a primo membro:

\dfrac{3x-5}{x+6}\left( 1+\dfrac{x}{x+5}\right)-\dfrac{x(3x-5)}{x^2+11x+30}=0

Sommiamo i termini all’interno della prima coppia di parentesi tonde:

\dfrac{3x-5}{x+6}\left( \dfrac{2x+5}{x+5}\right)-\dfrac{x(3x-5)}{x^2+11x+30}=0

e quindi:

\dfrac{(3x-5)(2x+5)}{(x+6)(x+5)}-\dfrac{x(3x-5)}{x^2+11x+30}=0

Il denominatore della seconda frazione algebrica è un trinomio caratteristico. Il coefficiente della {x} è infatti somma dei numeri {6} e {5} e il termine noto è il prodotto di questi stessi numeri. Di conseguenza {x^2+11x+30=(x+6)(x+5)}

Per cui mettendo i termini a denominatore comune abbiamo:

\dfrac{(3x-5)(2x+5)-x(3x-5)}{(x+6)(x+5)}=0

Svolgendo i prodotti a numeratore:

\dfrac{6x^2+15x-10x-25-3x^2+5x}{(x+6)(x+5)}=0

Sommando i termini simili:

\dfrac{3x^2+10x-25}{(x+6)(x+5)}=0

Scomponiamo in fattori il numeratore. Osserviamo che si tratta di un trinomio di secondo grado, e non abbiamo il quadrato di un trinomio. Dovremo allora applicare la regola di scomposizione del trinomio caratteristico nel caso di coefficiente di secondo grado diverso da {1}:

\begin{align*} & 3x^2+10x-25=3x^2+(15-5)x-25= \\ \\ & =3x^2+15x-5x-25=3x(x+5)-5(x+5)=\\ \\ & = (x+5)(3x-5)\end{align*}

In pratica abbiamo ricercato due numeri la cui somma è il coefficiente del termine in {x} del trinomio e il cui prodotto è uguale al prodotto tra il coefficiente della {x^2} e il termine noto. Quindi si è trattato di trovare due numeri tali che la loro somma sia uguale a {10} e il loro prodotto sia uguale a {3 \cdot (-25) = -75}. Basta osservare che {-75=-25 \cdot 3 = -5^2 \cdot 3 = -5 \cdot (5 \cdot 3) = -5 \cdot 15} e infine che {-5+15=10}, ritrovando il coefficiente del termine in {x}.

Possiamo quindi riscrivere l’equazione come:

\dfrac{(x+5)(3x-5)}{(x+6)(x+5)}=0

A questo punto eliminiamo il denominatore sempre con le opportune condizioni:

(x+5)(3x-5)=0, \qquad x \neq -6 \quad \wedge \quad x \neq -5

Ora non resta che risolvere l’equazione seguente:

(x+5)(3x-5)=0

Servirà in questo caso la legge di annullamento del prodotto, in modo da ricondurci alla risoluzione di due equazioni di primo grado:

x+5 = 0 \quad \vee \quad 3x-5=0

Otteniamo le soluzioni:

x=-5 \quad \vee \quad x= \dfrac{5}{3}

Osserviamo che la prima soluzione non è accettabile per l’equazione fratta di partenza. Infatti, per {x=-5} si annulla il denominatore dell’equazione stessa (avevamo infatti posto {x \neq -5}). Così possiamo accettare la sola soluzione {x=5/3} poiché questa non è in contrasto con le condizioni poste per eliminare il denominatore.

In conclusione l’equazione fratta è determinata ed ha la soluzione:

x= \dfrac{5}{3}

Esercizio 7

Eccoci al penultimo di questi esercizi sulle equazioni fratte di primo grado.

Risolvere la seguente equazione:

\dfrac{x^4-12}{16x-4x^3}+\dfrac{x}{4}=\dfrac{4}{x^2-4}-\dfrac{1}{x}

Anzitutto portiamo tutti i termini al primo membro:

\dfrac{x^4-12}{16x-4x^3}+\dfrac{x}{4}-\dfrac{4}{x^2-4}+\dfrac{1}{x}=0

Ora scomponiamo il denominatore della prima frazione algebrica:

\dfrac{x^4-12}{4x(4-x^2)}+\dfrac{x}{4}-\dfrac{4}{x^2-4}+\dfrac{1}{x}=0

Osserviamo che il denominatore della terza frazione algebrica è l’opposto di un fattore presente al denominatore della prima frazione algebrica. E’ allora conveniente lavorare sui segni relativamente alla terza frazione algebrica, come segue:

\dfrac{x^4-12}{4x(4-x^2)}+\dfrac{x}{4}+\dfrac{4}{-x^2+4}+\dfrac{1}{x}=0

Ora è più facile mettere tutti i termini a denominatore comune:

\dfrac{x^4-12+x^2(4-x^2)+16x+4(4-x^2)}{4x(4-x^2)}=0

Calcoliamo i prodotti al numeratore:

\dfrac{\cancel{x^4}-12+\cancel{4x^2}-\cancel{x^4}+16x+16-\cancel{4x^2}}{4x(4-x^2)}=0

Sommiamo i termini simili:

\dfrac{16x+4}{4x(4-x^2)}=0

Ora eliminiamo il denominatore ponendo l’opportuna condizione (denominatore diverso da zero):

 16x+4=0, \qquad 4x(4-x^2) \neq 0

ovvero:

16x+4=0, \qquad 4x \neq 0 \quad \wedge \quad 4-x^2 \neq 0

Osserviamo che il fattore {4-x^2} è la differenza tra due quadrati, pertanto può essere scomposto sfruttando la regola del prodotto notevole somma per differenza:

4-x^2=2^2-x^2=(2+x)(2-x)

Così abbiamo, applicando ancora la legge di annullamento del prodotto relativamente alla condizione {4-x^2 \neq 0}:

16x+4=0, \qquad 4x \neq 0 \quad \wedge \quad  2+x \neq 0 \quad \wedge \quad 2-x \neq 0

E quindi:

16x+4=0, \qquad x \neq 0 \quad \wedge \quad  x \neq -2 \quad \wedge \quad x \neq 2

Risolviamo a questo punto l’equazione intera:

16x+4=0 \quad \Rightarrow \quad x=-\dfrac{4}{16}=-\dfrac{1}{4}

La soluzione è accettabile per l’equazione fratta di partenza poiché diversa dai valori {0, \: -2, \: 2} che annullano il denominatore.

Così in conclusione l’equazione di partenza è determinata ed ha la soluzione {x=-\dfrac{1}{4}}.

Esercizio 8

Veniamo all’ultimo di questa serie di esercizi sulle equazioni fratte di primo grado. In questo caso ci ritroveremo in realtà davanti ad una equazione di terzo grado, ma ancora riusciremo a cavarcela grazie alla legge di annullamento del prodotto. Ricondurremo dunque il problema alla risoluzione di semplici equazioni di primo grado.

Risolviamo l’equazione di primo grado fratta:

\dfrac{10x-6}{60x-50x^2-18}-2=\dfrac{8x}{5x^2-3x}+\dfrac{25x-15}{30x-25x^2-9}

Dato che il secondo membro è un po’ ingombrante per il momento non trasportiamo nessun termine. Eseguiamo un raccoglimento al denominatore della frazione algebrica al primo membro:

\dfrac{10x-6}{2(30x-25x^2-9)}-2=\dfrac{8x}{5x^2-3x}+\dfrac{25x-15}{30x-25x^2-9}

Ritroviamo così in un fattore del denominatore della prima frazione algebrica al primo membro il denominatore dell’ultima frazione algebrica al secondo membro. Ora eseguiamo un raccoglimento al denominatore della prima frazione algebrica al secondo membro:

\dfrac{10x-6}{2(30x-25x^2-9)}-2=\dfrac{8x}{x(5x-3)}+\dfrac{25x-15}{30x-25x^2-9}

A questo punto scomponiamo il trinomio {30x-25x^2-9} e vediamo se magari la sua scomposizione contiene un fattore pari a {5x-3}. Possiamo scomporlo aiutandoci con la regola del quadrato di un binomio. In particolare dobbiamo riscrivere il polinomio mettendo in evidenza un segno meno:

-(25x^2-30x+9)=-(5x-3)^2

Non sarebbe stato un particolare errore scomporre il trinomio con la regola del trinomio caratteristico ma in tal modo avremmo perso più tempo.

A questo punto possiamo riscrivere l’equazione come segue:

\dfrac{10x-6}{2[-(5x-3)^2]}-2=\dfrac{8x}{x(5x-3)}+\dfrac{25x-15}{-(5x-3)^2}

Aggiustiamo i segni nella prima e nell’ultima frazione all’algebrica invertendo il segno di ciascun fattore {-(5x-3)^2} ai denominatori e invertendo i segni di tutti i termini al numeratore:

\dfrac{-10x+6}{2(5x-3)^2}-2=\dfrac{8x}{x(5x-3)}+\dfrac{-25x+15}{(5x-3)^2}

Ora trasportiamo tutti i termini al primo membro:

\dfrac{-10x+6}{2(5x-3)^2}-2-\dfrac{8x}{x(5x-3)}-\dfrac{-25x+15}{(5x-3)^2}=0

Mettiamo tutti i termini a denominatore comune:

\dfrac{-10x^2+6x-4x(5x-3)^2-16x(5x-3)-2x(-25x+15)}{2x(5x-3)^2}=0

Calcoliamo i prodotti al numeratore:

\dfrac{-10x^2+6x-4x(25x^2-30x+9)-80x^2+48x+50x^2-30x}{2x(5x-3)^2}=0

e quindi:

\dfrac{-10x^2+6x-100x^3+120x^2-36x-80x^2+48x+50x^2-30x}{2x(5x-3)^2}=0

Ora sommiamo i termini simili:

\dfrac{-100x^3+(-10+120-80+50)x^2+(6-36+48-30)x}{2x(5x-3)^2}=0

quindi:

\dfrac{-100x^3+80x^2-12x}{2x(5x-3)^2}=0

Eliminiamo il denominatore imponendo la condizione:

2x(5x-3)^2 \neq 0

ovvero:

2x(5x-3)(5x-3) \neq 0

e quindi:

2x \neq 0 \quad \wedge \quad 5x-3 \neq 0 \quad \wedge \quad 5x-3 \neq 0

da cui otteniamo:

x \neq 0 \quad \wedge \quad x \neq \dfrac{3}{5}

Con tali condizioni ci riconduciamo ad un’equazione intera:

-100x^3+80x^2-12x=0, \qquad x \neq 0 \quad \wedge \quad x \neq \dfrac{3}{5}

Per risolvere l’equazione raccogliamo tutti i termini al primo membro per {x}:

x(-100x^2+80x-12)=0

Così per la legge di annullamento del prodotto:

x = 0 \quad \vee \quad (-100x^2+80x-12)=0

Intanto abbiamo la soluzione {x=0}, la quale però non è accettabile per l’equazione di partenza poiché non rispetta la condizione {x \neq 0} imposta per eliminare il denominatore.

Veniamo ora all’equazione:

-100x^2+80x-12=0

Dividiamo tutti i termini per {4}:

-25x^2+20x-3=0

Scomponiamo il polinomio al primo membro con la regola del trinomio caratteristico:

\begin{align*} & -25x^2+20x-3=-25x^2+(15+5)x-3= \\ \\ & =-25x^2+15x+5x-3=-5x(5x-3)+5x-3=\\ \\ & =(5x-3)(1-5x)\end{align*}

Possiamo così riscrivere la precedente equazione intera come:

(5x-3)(1-5x)=0

Ancora applicando al legge di annullamento del prodotto otteniamo:

5x-3=0 \quad \vee \quad 1-5x=0

e quindi le soluzioni:

x = \dfrac{3}{5} \quad \vee \quad  x= \dfrac{1}{5}

Ora, attenzione. La prima soluzione non è accettabile per l’equazione fratta perché non rispetta la condizione {x \neq \dfrac{3}{5}} imposta per eliminare il denominatore. Così l’unica soluzione accettabile per l’equazione fratta di partenza è {x = \dfrac{1}{5}}.

In conclusione l’equazione fratta assegnata è determinata ed ha l’unica soluzione {x=\dfrac{1}{5}}.

Conclusioni

Qui terminano gli esercizi sulle equazioni fratte di primo grado di questa scheda. Come abbiamo visto, la legge di annullamento del prodotto è uno strumento praticamente indispensabile per poter risolvere le equazioni fratte. Possiamo cavarcela senza di essa soltanto per le equazioni fratte più semplici.

Nel risolvere le equazioni fratte teniamo sempre conto della definizione di campo di esistenza di un’equazione. E ricordiamo che nell’applicare il secondo principio di equivalenza e i principi di equivalenza in generale dovremo sempre operare in modo da non alterare il campo di esistenza dell’equazione. Quindi possiamo risolvere le equazioni fratte riconducendoci ad equazioni intere, ma obbligatoriamente imponendo diverso da zero il denominatore dell’equazione fratta nella forma {\dfrac{N(x)}{D(x)}=0}. Soltanto in questo modo riusciamo a non alterare il campo di esistenza dell’equazione, potendo quindi escludere eventuali soluzioni estranee.