Equazioni fratte letterali di primo grado

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Equazioni (superiori)

Vediamo in questa scheda alcuni esercizi sulle equazioni fratte letterali di primo grado. Si tratta di equazioni fratte aventi oltre alla variabile {x} anche altre lettere dette parametri.

L’obiettivo degli esercizi sulle equazioni fratte letterali di primo grado è quello di discutere le soluzioni dell’equazione al variare dei parametri. Nel caso delle equazioni fratte i parametri potranno trovarsi anche al denominatore, e pertanto per eliminare il denominatore comune dovremo in questi casi risolvere un’equazione intera parametrica. Inoltre, nel determinare l’eventuale soluzione parametrica dell’equazione fratta, dovremo escludere gli eventuali valori dei parametri corrispondenti ad un valore della {x} che rende nullo il denominatore dell’equazione fratta da risolvere.

Ma vediamo subito gli esercizi relativi alle equazioni fratte letterali di primo grado. Nel risolvere le equazioni metteremo in pratica quanto già visto sulle equazioni fratte di primo grado e sulle equazioni di primo grado intere parametriche.

Esercizio 1

Cominciamo gli esercizi sulle equazioni fratte letterali di primo grado con un esercizio di livello base:

\dfrac{2x-a}{x}-\dfrac{4x}{2x-a}=0

Mettiamo i termini a denominatore comune:

\dfrac{(2x-a)^2-4x^2}{x(2x-a)}=0

Sviluppiamo il quadrato al numeratore:

\dfrac{\cancel{4x^2}-4ax+a^2-\cancel{4x^2}}{x(2x-a)}=0

Otteniamo l’equazione:

\dfrac{-4ax+a^2}{x(2x-a)} =0

L’equazione è della forma {N(x,a)/D(x,a) = 0} e possiamo quindi eliminare il denominatore, a patto di imporlo diverso da zero:

-4ax+a^2 = 0, \quad \text{con} \quad x(2x-a) \neq 0

In merito alla condizione sul denominatore, applicando la legge di annullamento del prodotto abbiamo:

x(2x-a) \neq 0 \quad \iff \quad x \neq 0 \quad \wedge \quad 2x-a \neq 0

ovvero:

x \neq 0 \quad \wedge \quad x \neq \dfrac{a}{2}

Dovremo quindi escludere per l’equazione fratta le soluzioni {x=0} e {x=\dfrac{a}{2}}.

Risolviamo l’equazione parametrica intera:

-4ax+a^2 = 0

Osserviamo che siamo in presenza di un’equazione di primo grado in forma normale del tipo {ax+b=0} ma con coefficiente della {x} e termine noto dipendenti dal parametro {a}. In particolare, il coefficiente della {x} è pari a {-4a} mentre il termine noto è pari ad {a^2}.

Ora, l’equazione sarà indeterminata se avremo {-4a=0} e allo stesso tempo {a^2=0} (coefficiente della {x} e termine noto entrambi nulli).

Per il coefficiente parametrico del termine in {x} abbiamo:

-4a=0 \quad \iff \quad a= 0

e osserviamo che per tale valore del parametro {a} si annulla anche il termine noto {a^2}. Di conseguenza per {a=0} l’equazione fratta di partenza è indeterminata e in particolare sarà verificata per ogni valore reale ad eccezione del valore {x=0}. Infatti tale valore è escluso dalle condizioni precedentemente poste per eliminare il denominatore.

NOTA: qui intendiamo la definizione di equazione indeterminata nel senso di un’equazione che è verificata per ogni valore del suo campo di esistenza.

L’equazione invece non potrà mai essere impossibile perché se è nullo il coefficiente della {x} è anche nullo il termine noto. Ricordiamo che affinché un’equazione di primo grado sia impossibile dovremo avere coefficiente della {x} nullo ma termine noto diverso da zero.

Infine, se {-4a \neq 0}, ovvero {a \neq 0}, l’equazione sarà determinata (coefficiente della {x} diverso da zero). In questo caso avremo la soluzione parametrica:

x=-\dfrac{a^2}{-4a}=\dfrac{a}{4}, \qquad a \neq 0 

La soluzione è accettabile anche per l’equazione fratta di partenza poiché rispetta le condizioni poste per eliminare il denominatore. Infatti la {x} risulterà sempre diversa da {0} e diversa da {\dfrac{a}{4}}.

Esercizio 2

Risolvere l’equazione fratta parametrica:

\dfrac{x+a}{x}-\dfrac{x-3}{x+2}=0

Mettiamo i termini a denominatore comune:

\dfrac{(x+2)(x+a)-x(x-3)}{x(x+2)}=0

Svolgendo i calcoli al numeratore otteniamo:

\dfrac{\cancel{x^2}+ax+2x+2a-\cancel{x^2}+3x}{x(x+2)}=0

Sommando i termini simili sempre a numeratore:

\dfrac{5x+ax+2a}{x(x+2)}=0

Raccogliamo la {x} al numeratore in modo da capire quale è il coefficiente parametrico del termine in {x}:

\dfrac{(5+a)x+2a}{x(x+2)}=0

A questo punto possiamo eliminare il denominatore imponendo le opportune condizioni:

(5+a)x+2a=0, \quad \text{con} \quad x(x+2) \neq 0

La condizione {x(x+2) \neq 0 } equivale a richiedere che si abbia {x \neq 0} e allo stesso tempo {x \neq -2}.

Ora risolviamo l’equazione intera:

(5+a)x+2a=0

Osserviamo che {5+a=0} se {a=-5}, e per questo valore del parametro {a} il termine noto {2a} risulta diverso da zero. Di conseguenza, per {a= -5 } l’equazione intera è impossibile.

L’equazione invece non sarà mai indeterminata poiché non esiste alcun valore della {a} che rende nulli contemporaneamente il coefficiente della {x} e il termine noto.

Infine l’equazione è determinata per {a \neq -5} ed ha la soluzione parametrica:

x=-\dfrac{2a}{5+a}, \qquad a \neq -5

Ora vediamo se questa soluzione parametrica è accettabile per l’equazione fratta di partenza. Ricordiamo che per le condizioni poste per eliminare il denominatore deve essere {x \neq 0} e {x \neq -2}. Dobbiamo così verificare se le equazioni seguenti ammettono soluzioni, e nel caso escludere i corrispondenti valori per il parametro {a}:

-\dfrac{2a}{5+a}=0; \qquad -\dfrac{2a}{5+a}=-2

Ci ritroviamo a questo punto con due equazioni fratte nell’incognita {a}.Otteniamo rispettivamente:

\begin{align*} a = 0  \quad \text{con} \quad a \neq -5 ; \qquad & \dfrac{-2a}{5+a}+2 = 0 , \\ \\ & \dfrac{\cancel{-2a}+10+\cancel{2a}}{5+a}= 0 , \\ \\ & 10=0, \quad \text{con} \quad a \neq -5, \\ \\ &\text{impossibile} \end{align*}

Quindi, tornando indietro all’equazione fratta di partenza, per rispettare le sue condizioni di esistenza dovremo avere {a \neq -5} e allo stesso tempo {a \neq 0} . Così la soluzione parametrica precedentemente ottenuta:

x=-\dfrac{2a}{5+a}, \qquad a \neq -5

non potrà essere accettabile per {a=0}. Così l’equazione fratta di partenza sarà determinata per un insieme più ristretto dei valori del parametro {a} ed in particolare avremo la soluzione parametrica:

x=-\dfrac{2a}{5+a}, \qquad a \neq -5, \quad  a \neq 0

Infine osserviamo che per {a=0} l’equazione fratta di partenza risulta impossibile. E ciò si aggiunge al valore del parametro {a=-5} per il quale già avevamo visto che l’equazione di partenza è impossibile.

Osserviamo infatti che per {a=0} si ha:

x=-\dfrac{2 \cdot 0}{5+0}=0

e tale valore della {x} non è accettabile per le condizioni di esistenza dell’equazione fratta precedentemente poste (denominatore diverso da zero).

In conclusione:

• per {a=0} oppure {a=-5} l’equazione di partenza è impossibile;
• per {a \neq -5} e contemporaneamente {a \neq 0} l’equazione di partenza è determinata con soluzione parametrica: {x=-\dfrac{2a}{5+a}}

Esercizio 3

Continuiamo gli esercizi sule equazioni fratte letterali di primo grado con la seguente:

\dfrac{b}{x}+\dfrac{7bx-3}{x^2+5x}=\dfrac{b-3}{x+5}

Portiamo tutto al primo membro:

\dfrac{b}{x}+\dfrac{7bx-3}{x^2+5x}-\dfrac{b-3}{x+5}=0

Raccogliamo una {x} nel denominatore della seconda fraziona algebrica:

\dfrac{b}{x}+\dfrac{7bx-3}{x(x+5)}-\dfrac{b-3}{x+5}=0

Mettiamo tutti i termini a denominatore comune:

\dfrac{b(x+5)+7bx-3-x(b-3)}{x(x+5)}=0

Ovvero:

\dfrac{\cancel{bx}+5b+7bx-3-\cancel{bx}+3x}{x(x+5)}=0

Sommando i termini simili:

\dfrac{3x+7bx+5b-3}{x(x+5)}=0

Raccogliamo la {x} nei primi due termini:

\dfrac{(3+7b)x+5b-3}{x(x+5)}=0

Eliminiamo il denominatore imponendolo diverso da zero:

(3+7b)x+5b-3=0, \qquad x(x+5) \neq 0 \quad \iff \quad x \neq 0 \: \wedge \: x  \neq -5

Per {3+7b \neq 0} ovvero {b \neq -\dfrac{3}{7}} l’equazione intera è determinata ed ha soluzione:

x=-\dfrac{5b-3}{3+7b}=\dfrac{3-5b}{3+7b}

Adesso dobbiamo controllare se tale soluzione è accettabile anche per l’equazione fratta di partenza. In particolare, dobbiamo escludere i valori del parametro {b} per i quali si abbia {x=0} oppure {x=-5}. Dobbiamo quindi escludere le eventuali soluzioni delle seguenti equazioni fratte nella variabile {b}:

\dfrac{3-5b}{3+7b}=0; \qquad \dfrac{3-5b}{3+7b}=-5

Cominciamo dalla prima:

3-5b=0 , \qquad \text{con} \quad 3+7b \neq 0 \iff \quad b \neq -\dfrac{3}{7}

Otteniamo:

b=\dfrac{3}{5}

Così intanto l’equazione fratta non ha significato per {b=3/5} in quanto per tale valore del parametro si annulla il denominatore.

Passiamo ora alla seconda equazione fratta nella variabile {b}:

\begin{align*} & \dfrac{3-5b}{3+7b}=-5; \qquad \dfrac{3-5b}{3+7b}+5=0; \\ \\ &\dfrac{3-5b+5(3+7b)}{3+7b}=0; \\ \\ & \dfrac{3-5b+15+35b}{3+7b} =0; \\ \\ & \dfrac{30b+18}{3+7b}=0; \\ \\ & 30b+18=0, \qquad \text{con} \quad 3+7b \neq 0 \: \iff \: b \neq -\dfrac{3}{7} \\ \\ & 5b+3=0 \quad \Rightarrow \quad b=-\dfrac{3}{5}\end{align*}

Per cui l’equazione fratta di partenza non è definita nemmeno per {b=-\dfrac{3}{5}}.

Di conseguenza l’equazione fratta sarà determinata per {b \neq -\dfrac{3}{7}} e {b \neq \pm \dfrac{3}{5}} con soluzione parametrica:

x=\dfrac{3-5b}{3+7b}

Riprendiamo a questo punto l’equazione intera:

(3+7b)x+5b-3=0

Ora già sappiamo che per {a=-\dfrac{3}{7}} il coefficiente della {x} si annulla. Vediamo se si annulla anche il termine noto oppure no:

5b-3 \quad \text{con} \quad b=-\dfrac{3}{7}  \quad \Rightarrow 5 \cdot \left( -\dfrac{3}{7}\right)-3 \neq 0

Di conseguenza per {a=-\dfrac{3}{7}} l’equazione fratta è impossibile (coefficiente della {x} nullo ma termine noto diverso da zero).

Infine, l’equazione fratta di partenza è impossibile anche per i valori del parametro {a= \pm \dfrac{3}{5}} poiché in corrispondenza di essi la soluzione parametrica assume valori della {x} che annullano uno dei denominatori dell’equazione fratta di partenza.

Esercizio 4

Concludiamo questa serie di esercizi sulle equazioni fratte letterali (parametriche) con la seguente equazione:

\dfrac{2a-x}{x^2-7x+12}-\dfrac{4a}{x-3}=\dfrac{5a}{x-4}

Osserviamo che si ha {(x-3)(x-4)=x^2-4x-3x+12} e di conseguenza possiamo riscrivere l’equazione come segue:

\dfrac{2a-x}{(x-3)(x-4)}-\dfrac{4a}{x-3}=\dfrac{5a}{x-4}

Portiamo tutti i termini al primo membro:

\dfrac{2a-x}{(x-3)(x-4)}-\dfrac{4a}{x-3}-\dfrac{5a}{x-4}=0

Mettiamo tutti i termini a denominatore comune:

\dfrac{2a-x-4a(x-4)-5a(x-3)}{(x-3)(x-4)}=0

Svolgendo i calcoli al numeratore:

\dfrac{2a-x-4ax+16a-5ax+15a}{(x-3)(x-4)}=0

e quindi:

\dfrac{-x-9ax+33a}{(x-3)(x-4)}=0

Raccogliamo la {x} nei primi due termini al numeratore:

\dfrac{(-1-9a)x+33a}{(x-3)(x-4)}=0

Eliminiamo il denominatore ponendo le opportune condizioni:

(-1-9a)x+33a=0, \quad \text{con} \quad x \neq 3  \: \wedge \: x \neq 4

L’equazione intera {(-1-9a)x+33a=0} è determinata per {-1-9a \neq 0}, ovvero per {a \neq -\dfrac{1}{9}} ed ammette la soluzione parametrica:

x=-\dfrac{33a}{-1-9a}=\dfrac{33a}{1+9a}

A questo punto dobbiamo controllare per quali valori del parametro {a} tale soluzione parametrica è accettabile anche per l’equazione fratta di partenza. Per le condizioni poste precedentemente per l’eliminazione del denominatore, dovremo escludere i valori del parametro {a} per i quali abbiamo {x=3} oppure {x=4}.

Dobbiamo quindi escludere le soluzioni delle seguenti due equazioni nella variabile {a}:

\dfrac{33a}{1+9a}=3; \qquad \dfrac{33a}{1+9a}=4

Omettendo per brevità i passaggi otteniamo rispettivamente:

a=\dfrac{1}{2}; \qquad a=-\dfrac{4}{3}

Quindi l’equazione fratta di partenza sarà determinata per {a \neq -\dfrac{1}{9}}, {a \neq \dfrac{1}{2}} e {a \neq -\dfrac{4}{3}} con soluzione parametrica:

x=\dfrac{33a}{1+9a}

Riprendiamo adesso l’equazione intera:

(-1-9a)x+33a=0

Ora, già sappiamo che per {a=-\dfrac{1}{9}} si annulla il coefficiente della {x}. Vediamo cosa succede per tale valore al termine noto in modo da stabilire se per esso l’equazione fratta è indeterminata o impossibile. Abbiamo:

33a \quad \text{con} \quad a = -\dfrac{1}{9} \quad \Rightarrow \quad  33 \cdot \left( -\dfrac{1}{9}\right) \neq 0

di conseguenza per {a= -\dfrac{1}{9}} l’equazione intera è impossibile e lo è anche l’equazione fratta di partenza.

Infine, l’equazione fratta di partenza è impossibile anche per i valori del parametro {a=\dfrac{1}{2}} e {a=-\dfrac{4}{3}}. Infatti, per tali valori del parametro otteniamo delle soluzioni {x} non accettabili perché annullano rispettivamente un denominatore dell’equazione fratta di partenza.

Per quanto riguarda le equazioni fratte letterali di primo grado è tutto. Buon proseguimento!