Esercizi sulla circonferenza (scuole superiori)

Proponiamo in questa sezione una raccolta di esercizi sulla circonferenza per le scuole superiori, svolti e commentati. Gli esercizi si riferiscono in particolare alla circonferenza vista dal punto di vista della geometria analitica. L’indice delle schede di esercizi è disponibile in fondo a questa pagina.

Gli esercizi sulla circonferenza qui offerti sono organizzati per categorie. Nello specifico, sono disponibili a seguire delle schede di esercizi ciascuna riguardante un determinato argomento.

Nella prima scheda ci concentriamo sull’equazione della circonferenza, con esercizi che spiegano:

come scrivere l’equazione di una circonferenza, nelle due varianti con centro e raggio e forma canonica;
come ricavare il centro e il raggio di una circonferenza a partire dall’equazione in forma canonica, sia utilizzando le formule, sia ricorrendo al metodo del completamento dei quadrati;
infine, come passare dall’equazione in forma canonica di una circonferenza alla forma con centro e raggio, ove possibile, e viceversa.

Nella seconda scheda passeremo a considerare un problema molto ricorrente in geometria analitica, ovvero come determinare l’equazione della retta tangente a una circonferenza in un punto appartenente alla circonferenza stessa. Per poter scrivere l’equazione di tale retta mostreremo due metodi:

come determinare l’equazione della retta tangente a una circonferenza in un suo punto mediante la relazione di perpendicolarità fra rette;
inoltre, come determinare l’equazione della retta tangente a una circonferenza in un punto utilizzando le formule di sdoppiamento della circonferenza.

Il metodo basato sulla relazione di perpendicolarità fra rette si basa sul fatto che la retta tangente ad una circonferenza in un dato punto è perpendicolare alla retta passante per quello stesso punto e per il centro della circonferenza. Così, a partire dalle coordinate del centro della circonferenza e da quelle del punto di tangenza è possibile ricavare il coefficiente angolare della retta passante per il centro e per tale punto. Inoltre, per la detta relazione di perpendicolarità si può concludere che il coefficiente angolare della retta tangente cercata è l’opposto del reciproco del coefficiente angolare ricavato. Di conseguenza, è possibile determinare l’equazione della retta tangente nel punto dato, poiché questa passa per tale punto e di essa conosciamo il coefficiente angolare.

Le formule di sdoppiamento consentono invece di determinare l’equazione della retta tangente a una circonferenza in un suo punto senza dover ricorre a particolari proprietà, tuttavia si ha lo svantaggio di dover ricordare a memoria tali formule.

Il metodo che utilizza la relazione di perpendicolarità fra rette è più ragionato, ma richiede determinati accorgimenti nel caso in cui la retta tangente cercata sia verticale oppure orizzontale. Ma niente panico: vedremo nel dettaglio tutti questi aspetti negli svolgimenti degli esercizi.

Nella terza scheda ci occuperemo delle condizioni per determinare l’equazione di una circonferenza. In altre parole, mostreremo quali sono le condizioni necessarie e sufficienti per individuare una circonferenza nel piano cartesiano.

Mostreremo in particolare come determinare l’equazione di una circonferenza a partire da:

coordinate di tre punti del piano non allineati per i quali passa la circonferenza;
coordinate del centro e di un punto della circonferenza;
ancora, coordinate di due punti della circonferenza ed equazione di una retta passante per il centro della circonferenza stessa;
infine, coordinate del centro ed equazione di una retta tangente alla circonferenza stessa.

Riassumiamo brevemente i ragionamenti corrispondenti a ciascun caso.

Per quanto sappiamo dalla geometria euclidea, per tre punti del piano non allineati tra loro passa un’unica circonferenza. Così, disponendo delle coordinate di tre punti del piano non allineati è possibile scrivere l’equazione della circonferenza che passa per essi. Ora, tali punti saranno tali da rispettare tutti i e tre la condizione di appartenenza alla circonferenza. Quindi, una prima idea è quella di mettere a sistema le equazioni che corrispondono a ciascuna condizione di appartenenza alla circonferenza per ogni punto dato. In tal modo, si ricavano i coefficienti ${a,b,c}$ che consentono di scrivere l’equazione in forma canonica della circonferenza cercata.

Un metodo alternativo si basa sul fatto che il centro di una circonferenza è il punto di intersezione tra gli assi di due segmenti aventi ciascuno per estremi due punti appartenenti alla circonferenza. Così, l’idea è quella di scrivere le equazioni di tali assi sfruttando quanto sappiamo sulla retta, e quindi determinare il centro della circonferenza dalla loro intersezione. A questo punto la strada è in discesa, poiché il raggio si può calcolare come la distanza tra due qualsiasi punti della circonferenza. Disponendo di centro e raggio, è possibile infine scrivere l’equazione della circonferenza corrispondente.

Proseguendo con la quarta scheda, ci occuperemo diffusamente di esercizi sui fasci di circonferenze. In particolare, ci occuperemo di tutti e quattro i casi possibili:

circonferenze secanti;
circonferenze tangenti;
ancora, circonferenze concentriche;
infine, il caso di circonferenze non concentriche e senza punti in comune.

Prima di introdurre ciascun caso, rivedremo in generale come rappresentare l’equazione di un fascio di circonferenze, ricordando le definizioni di circonferenze generatrici, punti base, asse radicale ed asse centrale. Nel corso degli esercizi vedremo in particolare come classificare un fascio di circonferenze.

Questa raccolta di esercizi si conclude infine con una serie di esercizi di riepilogo sulla circonferenza, nei quali rivedremo tutti gli argomenti trattati relativamente alla circonferenza.

Nota. Gli esercizi sull’intersezione tra circonferenza e retta sono già compresi nella lezione teorica.
Inoltre, per la determinazione delle rette tangenti a una circonferenza condotte per un punto esterno gli esercizi sono ancora compresi nella lezione teorica corrispondente. Ed è tra l’altro disponibile una risposta che tratta in maniera più sintetica l’argomento delle rette tangenti a una circonferenza condotte per un punto esterno ad essa.

Prima di passare all’indice degli esercizi, precisiamo che in fondo a ciascuna scheda è disponibile un link che rimanda alla lezione teorica correlata. In tal modo, in caso di dubbi potrete avere accesso agli argomenti teorici necessari per meglio comprendere gli esercizi sulla circonferenza presentati in ogni scheda.

Ricordiamo infine le lezioni sulla circonferenza di SìMatematica per le scuole superiori, seguendo le quali potrete affrontare tutti i principali argomenti relativi alla circonferenza dal punto di vista della geometria analitica.

Esercizi sulla circonferenza, svolti e commentati (geometria analitica)

Buono studio a tutti voi con SìMatematica!

Home