Lo studio della parabola è sicuramente uno degli argomenti più importanti della geometria analitica. Infatti, la parabola ha numerose applicazioni nel campo della fisica e della tecnologia. Di conseguenza, qui su SìMatematica proponiamo un corso di lezioni sulla parabola piuttosto articolato, destinato agli studenti delle scuole superiori.
Nella prima lezione forniremo un’introduzione alla parabola relativa ed entrambi i casi di parabole con asse di simmetria verticale ed orizzontale. L’obiettivo della lezione è quello di fornire fin da subito una panoramica completa sulla parabola, partendo dalla sua definizione come luogo geometrico per poi arrivare all’equazione della parabola ed ai procedimenti per scrivere l’equazione di una parabola a partire dalle coordinate del fuoco e dall’equazione della direttrice, e viceversa per calcolare le coordinate del fuoco e del vertice e l’equazione della direttrice a partire dall’equazione della parabola. Come vedremo, il fuoco e la direttrice sono rispettivamente un punto ed una retta particolari che consentono di individuare univocamente una parabola nel piano cartesiano.
Nelle successive due lezioni riprenderemo i concetti visti nella lezione introduttiva, analizzando però nello specifico i casi di parabola con asse verticale e di parabola con asse orizzontale. In ciascun caso vedremo la corrispondente definizione di parabola come luogo geometrico e forniremo le formule da utilizzare negli esercizi, rivedendo nel dettaglio le dimostrazioni già presentate nella lezione introduttiva.
Nella lezione ancora successiva ci occuperemo del problema della ricerca dei punti di intersezione di una parabola con una retta. In altre parole, mostreremo come determinare gli eventuali punti di intersezione tra una data parabola con asse verticale od orizzontale ed una retta del piano. Analizzeremo nel dettaglio le varie situazioni che si possono presentare, partendo dal caso più generale di una retta non parallela agli assi coordinati fino ad arrivare al caso particolare di una retta parallela ad uno degli assi coordinati. Nello specifico, vedremo che se la retta in esame è parallela all’asse di simmetria della parabola data, allora la retta risulterà sempre secante alla parabola con un unico punto di intersezione. E ciò si giustifica osservando che la parabola è una curva aperta. Nel caso generale di una retta non parallela agli assi coordinati, invece, avremo modo di concludere che potremo avere in alternativa due punti di intersezione (retta secante alla parabola), un solo punto di intersezione (retta tangente alla parabola) oppure nessun punto di intersezione (retta esterna alla parabola).
Dal punto di vista analitico, mostreremo come calcolare le coordinate degli eventuali punti di intersezione tra una parabola e una retta mettendo a sistema le rispettive equazioni. Ciò consentirà di ottenere, per confronto, l’equazione risolvente del sistema, dalla quale sarà possibile calcolare le coordinate dei punti di intersezione cercati. E sottolineiamo fin d’ora che l’esistenza o meno di tali punti di intersezione dipenderà dal valore del determinante di tale equazione risolvente.
Proseguendo nel corso di lezioni, ci occuperemo poi dei due casi particolari di una parabola con vertice nell’origine e di una parabola passante per l’origine, esaminando le corrispondenti equazioni.
Ampio spazio sarà poi dato alla retta tangente ad una parabola in un punto appartenente alla parabola stessa ed alla ricerca delle rette tangenti alla parabola condotte per un punto esterno alla parabola stessa. Nel primo caso, ovvero per la ricerca della retta tangente ad una parabola in un punto appartenente alla parabola stessa, mostreremo l’utilizzo di due metodi: determinante dell’equazione risolvente uguale a zero e formule di sdoppiamento.
Verso la fine del corso sulla parabola studieremo le condizioni per determinare l’equazione di una parabola, dedicando una lezione a ciascuno dei possibili casi che si possono presentare: parabola passante per tre punti, parabola con fuoco e vertice, parabola con vertice e punto, parabola con vertice e direttrice, parabola con due punti e retta tangente ed infine parabola con un punto ed equazioni dell’asse di simmetria e della direttrice. In tutti i casi vedremo come ricavare l’equazione della parabola in esame a partire dalle condizioni date, presentando ove possibile più metodi risolutivi. In particolare, distingueremo tra metodi più basati sull’algebra e metodi che invece fanno uso di considerazioni di carattere prevalentemente geometrico.
A conclusione del corso di lezioni sulla parabola studieremo le parabole congruenti o sovrapponibili, discuteremo le proprietà del fuoco di una parabola ed infine mostreremo come calcolare, grazie al teorema di Archimede, l’area di un segmento parabolico individuato sulla parabola in esame da una data retta del piano.
Come utile approfondimento, è pure disponibile una lezione sulle parabole con asse di simmetria obliquo.
Ed ecco immediatamente a seguire l’indice relativo alle lezioni sulla parabola di SìMatematica. Nelle lezioni sono presenti teoria, numerosi esercizi di esempio svolti e commentati ed infine le dimostrazioni più importanti.
Lezioni sulla parabola (geometria analitica)
- Introduzione alla parabola
- Parabola con asse verticale
- Parabola con asse orizzontale
- Intersezioni di una parabola con una retta
- Parabola con vertice nell’origine e passante per l’origine
- Tangente ad una parabola in un punto
- Tangenti ad una parabola condotte da un punto esterno
- Parabola passante per tre punti
- Parabola con fuoco e vertice
- Determinare l’equazione di una parabola con vertice e punto
- Parabola con vertice e direttrice
- Parabola con due punti e retta tangente
- Determinare l’equazione di una parabola con un punto e le equazioni dell’asse e della direttrice
- Proprietà del fuoco di una parabola
- Segmento parabolico (teorema di Archimede)