Domini piani

I domini piani sono delle regioni del piano cartesiano. In questo breve corso di lezioni (destinato agli studenti delle scuole superiori) ci occuperemo esclusivamente di domini piani delimitati da rette, ovvero di domini piani dati da poligoni. Il nostro obiettivo sarà quello di studiare le proprietà di particolari funzioni di due variabili relativamente ad un dominio piano di tale tipo. Nello specifico, ci occuperemo del problema della determinazione dei punti di massimo e di minimo di funzioni lineari di due variabili reali a valori reali, relativamente ad un opportuno dominio piano rappresentato da un poligono.

Nella prima lezione introdurremo il concetto di disequazione lineare in due incognite, e mostreremo nello specifico come le disequazioni lineari in due incognite possano essere utilizzate per rappresentare dei semipiani.

A tal punto, nelle successive lezioni studieremo degli enti geometrici utilizzando proprio il concetto di semipiano. In particolare, mostreremo come un angolo è una regione di piano che può essere ottenuta, sotto opportune ipotesi, dall’intersezione di due semipiani. Procederemo poi introducendo la definizione di striscia, la quale può essere ancora ottenuta dall’intersezione di due semipiani, tuttavia sotto delle ipotesi differenti rispetto a quelle relative alla definizione di angolo.

Inoltre, vedremo come dall’intersezione di almeno tre semipiani sia possibile ottenere un poligono, occupandoci di triangoli e quadrilateri.

Proseguiremo poi mostrando come una semiretta e un segmento possano essere ottenuti rispettivamente dall’intersezione di un semipiano e di una retta e di una striscia ed una retta.

Nell’ultima lezione introdurremo il concetto di funzione lineare di due variabili reali e a valori reali, e mostreremo come ricercarne i punti di massimo e di minimo relativamente ad un certo dominio piano.

Per le particolarità delle funzioni lineari di due variabili reali, vedremo in particolare che i punti di massimo e di minimo relativamente ad un certo dominio piano del tipo poligono si troveranno sempre in corrispondenza di un vertice del poligono e/o di un suo lato.

Questa breve serie di lezioni è destinata agli studenti delle scuole superiori, ma può essere anche utilizzata dagli studenti universitari come introduzione allo studio delle funzioni reali di due variabili reali. Il caso che qui presenteremo, relativamente alle funzioni lineari di due variabili reali ristrette a domini piani delimitati da rette (poligoni), è quello più semplice.

Nel corso delle lezioni sui domini piani utilizzeremo spesso il concetto di retta ed in particolare le equazioni esplicite ed implicite di una retta, ma nessun problema: richiameremo tutti i concetti necessari in ciascuna lezione.

Lezioni sui domini piani


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