Parabola con asse verticale

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Parabola (scuole superiori)

L’equazione di una parabola con asse di simmetria verticale è data da y = ax² + bx + c, con a,b,c coefficienti reali e a ≠ 0. La direttrice della parabola è orizzontale (perpendicolare all’asse di simmetria) e la concavità è rivolta verso l’alto se a > 0, verso il basso se a < 0.

Dopo aver visto i due casi relativi a parabole con asse di simmetria verticale ed orizzontale, in questa lezione esaminiamo nel dettaglio il caso relativo ad una parabola con asse di simmetria verticale (o, più brevemente, con asse verticale).

La parabola con asse verticale è di speciale interesse in quanto consente di risolvere le disequazioni di secondo grado. In questa lezione vedremo in particolare come determinare l’equazione di una tale parabola a partire dalle coordinate di un certo punto denominato fuoco e dalla distanza con segno che ha la direttrice rispetto all’asse delle x. Viceversa, vedremo anche come sia possibile ricavare le coordinate del fuoco, del vertice e l’equazione della direttrice a partire dall’equazione di una data parabola.

Ci occuperemo poi nel dettaglio del concetto di concavità di una parabola con asse verticale, mostrando i casi nei quali la concavità risulta rivolta verso l’alto o verso il basso.

Nel corso della lezione ci concentreremo sulle varie formule riguardanti la parabola ed i relativi esempi di utilizzo, mentre soltanto alla fine della lezione forniremo le dimostrazioni delle formule più importanti. Con ciò integreremo le nozioni già esposte nella precedente lezione, nell’ambito di un approccio più mirato e graduale.

Equazione di una parabola con asse verticale

L’equazione di una parabola con asse di simmetria verticale è data da:{y=ax^2+bx+c}con {a,b,c} coefficienti reali con {a \neq 0}.

L’equazione discende direttamente dalla definizione di parabola come luogo geometrico.

La parabola è il luogo geometrico di punti del piano tali che ciascun punto presenta la medesima distanza rispetto ad una particolare retta {s} detta direttrice e rispetto ad un fissato punto {F} detto fuoco, non appartenente alla direttrice.

Nel caso di una parabola con asse verticale, la direttrice è una retta orizzontale. Si tratta quindi di una retta avente equazione della forma:

s: y=d, \qquad d \in \R

ove {d} è l’ordinata in comune a tutti i punti della direttrice, che può essere anche vista come la distanza con segno della direttrice rispetto all’asse {x}.

Importante. Secondo le convenzioni qui adottate indichiamo con {s} la direttrice e con {d} il valore al secondo membro dell’equazione della direttrice.

Il fuoco è un punto che può essere scelto arbitrariamente, ma a patto che non appartenga alla direttrice:

F=(x_F, y_F), \qquad y_F \neq d, \quad x_F, \: y_F \in \R

Osserviamo che poiché i punti della direttrice hanno tutti ordinata {d}, affermare che il fuoco non appartiene alla direttrice equivale ad affermare che la sua ordinata è diversa da {d}, da cui la condizione {y_F \neq d}.

Una volta scelti il fuoco {F} e la direttrice {s}, la parabola risulta determinata, e può essere disegnata tenendo conto della sua definizione come luogo geometrico. In particolare, la parabola sarà data da tutti i punti {P=(x,y)} del piano tali da avere la stessa distanza dal fuoco e dalla direttrice.

Il punto {H} è determinato dall’intersezione tra la direttrice {s} e la retta verticale passante per il punto {P}. Osserviamo che la distanza {\overline{PH}} coincide con la distanza tra la retta direttrice e il punto {P}. Inoltre, la distanza tra il generico punto {P=(x,y)} della parabola e il fuoco {F} è data da {\overline{PF}}.

Così, utilizzando tali distanze, dalla definizione di parabola come luogo geometrico discende l’uguaglianza:

\overline{PH}=\overline{PF}

ed è proprio da tale uguaglianza, come vedremo alla fine della lezione, che si ottiene l’equazione della parabola con asse di simmetria verticale.

Per concludere, l’asse di simmetria della parabola in esame ha equazione:

x=x_F

ed effettivamente è una retta verticale. Osserviamo che la direttrice e l’asse di simmetria di una parabola sono tra loro perpendicolari.

Come determinare l’equazione di una parabola con asse verticale a partire dalle coordinate del fuoco e dall’equazione della direttrice

Siano date le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice di una parabola con asse di simmetria verticale:

F=(x_F, y_F), \qquad s:y=d

E’ possibile scrivere l’equazione della parabola avente per fuoco il punto {F} e per direttrice la retta {s} calcolando i coefficienti {a,b,c} dell’equazione della parabola mediante le formule:

a=\dfrac{1}{2(y_F-d)}; \qquad b=-\dfrac{x_F}{y_F-d}; \qquad c=\dfrac{x_F^2+y_F^2-d^2}{2(y_F-d)} \qquad (*)

Le formule discendono dalla definizione di parabola come luogo geometrico e rappresentano delle sostituzioni che consentono di scrivere in forma compatta l’equazione della parabola stessa.

Nel nostro caso, le formule risultano particolarmente utili poiché consentono di determinare i coefficienti {a,b,c} a partire dalle coordinate del fuoco e dall’equazione della direttrice, permettendo così di scrivere l’equazione di una parabola con asse verticale nella forma {y=ax^2+bx+c}.

Esempio 1

Scrivere l’equazione di una parabola con asse di simmetria verticale avente fuoco {F=(-4,7)} e direttrice {s: y=-9}. Determinare inoltre l’equazione dell’asse di simmetria della parabola.

Essendo {F=(x_F, y_F)=(-4, 7)} abbiamo:

x_F=-4, \qquad y_F=7

Essendo inoltre l’equazione della direttrice:

s: y=-9

si ha {d=-9} (l’equazione della direttrice è infatti della forma {y=d}). Così, applicando le formule * abbiamo:

\begin{align*} & a=\dfrac{1}{2(y_F-d)}=\dfrac{1}{2[7-(-9)]}=\dfrac{1}{2\cdot16}=\dfrac{1}{32}; \\ \\ &b=\dfrac{-x_F}{y_F-d}= \dfrac{-(-4)}{7-(-9)}= \dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4};\\ \\ & c=\dfrac{x_F^2+y_F^2-d^2}{2(y_F-d)}=\dfrac{(-4)^2+7^2-(-9)^2}{2[7-(-9)]}=\dfrac{16+49-81}{32}=-\dfrac{1}{2}\end{align*}

Per cui sostituendo i valori appena ottenuti per i coefficienti {a,b,c} nella generica equazione di una parabola con asse verticale:

y=ax^2+bx+c

otteniamo per la parabola in esame l’equazione:

y=\dfrac{1}{32}x^2+\dfrac{1}{4}x-\dfrac{1}{2}

Infine, l’equazione dell’asse di simmetria è della forma:

x=x_F

e quindi nel nostro caso:

x=-4

Coordinate del fuoco e del vertice, equazioni dell’asse di simmetria e della direttrice di una parabola con asse verticale a partire dalla sua equazione

Vogliamo ora determinare le coordinate del fuoco, del vertice ed inoltre le equazioni dell’asse di simmetria e della direttrice di una parabola con asse verticale a partire dalla sua equazione. In particolare, ciò che utilizzeremo sono i valori dei coefficienti {a,b,c} presenti nell’equazione fornita dal testo del problema.

Sia allora data l’equazione di una parabola con asse verticale:

y=ax^2+bx+c, \qquad a \neq 0, \quad a,b,c \in \R

Per determinare le coordinate del fuoco e del vertice, nonché le equazioni dell’asse di simmetria e della direttrice è possibile utilizzare delle formule contenenti delle espressioni in funzione dei coefficienti {a,b,c} dell’equazione della parabola.

In particolare, le coordinate del fuoco sono date da:

F=\left( x_F, y_F\right)=\left( -\dfrac{b}{2a}, \dfrac{1-\Delta}{4a}\right)

ove {\Delta = b^2-4ac} è una quantità a noi già nota, ovvero il discriminante relativo alle equazioni di secondo grado.

Le coordinate del vertice sono date da:

V=(x_V, y_V)=\left( -\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{\Delta}{4a}\right)

Infine, l’equazione della direttrice della parabola è:

s:y=-\dfrac{1+\Delta}{4a}

mentre l’equazione dell’asse di simmetria è:

x=-\dfrac{b}{2a}

in quanto effettivamente dalla formula delle coordinate del fuoco si ha {x_F=-\dfrac{b}{2a}}.

Una parabola con asse verticale di equazione {y=ax^2+bx+c} ha coordinate del fuoco e del vertice esprimibili come:{\begin{align*} &F=\left(- \dfrac{b}{2a}, \dfrac{1-\Delta}{4a}\right); \qquad V=\left( -\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{\Delta}{4a}\right)\end{align*}}ove {\Delta=b^2-4ac}.

L’equazione della direttrice {s} e l’equazione dell’asse di simmetria si determinano infine come:{\begin{align*} & s: y=-\dfrac{1+ \Delta}{4a} \qquad \text{direttrice}; \\ \\ & x=-\dfrac{b}{2a} \qquad \text{asse di simmetria}\end{align*}}

Osserviamo che fuoco e vertice condividono la stessa ascissa. Entrambi infatti giacciono sull’asse di simmetria (vedi la precedente figura). Inoltre, l’ordinata del vertice può anche essere calcolata sostituendo il valore dell’ascissa del fuoco (e quindi del vertice) nell’equazione della parabola.

Le formule appena scritte relative alle coordinate del fuoco e all’equazione della direttrice si ottengono ribaltando le *. La formula per l’ordinata del vertice si ottiene invece sostituendo nell’equazione di una generica parabola con asse verticale l’espressione {-\dfrac{b}{2a}} relativa all’ascissa del fuoco (e quindi all’ascissa del vertice). Ciò perché il vertice è un punto che appartiene alla parabola.

L’equazione dell’asse di simmetria è infine data dall’equazione della retta verticale passante per il fuoco e per il vertice.

Ma vediamo subito un esempio su come determinare le coordinate del fuoco e del vertice e le equazioni della direttrice e dell’asse di simmetria di una parabola con asse verticale, a partire dalla sua equazione.

Esempio 2

Determinare fuoco, vertice, equazione della direttrice ed equazione dell’asse di simmetria della parabola di equazione {y=4x^2+3x-5}.

Confrontiamo l’equazione data con la generica equazione di una parabola con asse di simmetria verticale:

y=ax^2+bx+c

Dal confronto si ha {a=4, \: b=3} e infine {c=-5}. Attenzione al segno del termine {c}, che è negativo.

Poiché nelle formule interviene il determinante {\Delta}, conviene prima di tutto calcolarne il valore:

\Delta = b^2-4ac=3^2-4 \cdot 4 \cdot (-5)=9+80=89

Cominciamo calcolando le coordinate del fuoco. Basta in particolare sostituire nella formula opportuna i valori dei coefficienti {a,b,c} appena determinati:

\begin{align*} &F=\left( -\dfrac{b}{2a}, \dfrac{1-\Delta}{4a}\right)=\left( -\dfrac{3}{2 \cdot 4}, \dfrac{1-89}{4 \cdot 4}\right)=\left( -\dfrac{3}{8},-\dfrac{88}{16}\right)=\left( -\dfrac{3}{8}, -\dfrac{11}2{}\right)\end{align*}

Proseguiamo calcolando le coordinate del vertice:

V=\left( -\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{\Delta}{4a}\right)=\left( -\dfrac{3}{8},-\dfrac{89}{4 \cdot 4}\right)=\left( -\dfrac{3}{8},-\dfrac{89}{16}\right)

Veniamo ora all’equazione della direttrice:

\begin{align*} & y=-\dfrac{1+\Delta}{4a}; \\ \\ & -\dfrac{1+\Delta}{4a}=-\dfrac{1 + 89}{4 \cdot 4}=-\dfrac{90}{16}=-\dfrac{45}{8}; \\ \\ & \Rightarrow \quad s: y=-\dfrac{45}{8} \end{align*}

Infine, per l’asse di simmetria:

\begin{align*} &x=x_F \quad \Rightarrow \quad x=-\dfrac{3}{8}\end{align*}

ed abbiamo terminato.

A seguire riportiamo la verifica effettuata con il risolutore Wolfram|Alpha delle coordinate del fuoco e del vertice della parabola in esame.

Concavità di una parabola con asse verticale

Possiamo immaginare una parabola come se fosse un bicchiere. Se un bicchiere è rivolto verso l’alto, l’acqua rimane dentro il bicchiere. Se invece il bicchiere è rivolto verso il basso, l’acqua cade dal bicchiere.

Così, se il bicchiere è rivolto verso l’alto diciamo che la concavità della parabola è rivolta verso l’alto e l’acqua rimane nel bicchiere, mentre se il bicchiere è rivolto verso il basso, diciamo che la concavità della parabola è rivolta verso il basso e l’acqua cade dal bicchiere.

Ora, la concavità di una parabola dipende in generale dalla posizione del fuoco rispetto alla direttrice. Nel caso di una parabola con asse di simmetria verticale, se il fuoco si trova al di sopra della direttrice, la parabola rivolge la concavità verso l’alto, viceversa se il fuoco si trova al di sotto della direttrice, la parabola rivolge la concavità verso il basso.

Ciò è una diretta conseguenza della definizione di parabola come luogo geometrico, tuttavia possiamo anche rendercene conto osservando che se ad esempio il fuoco è al di sopra della direttrice, tutti i punti della parabola dovranno necessariamente trovarsi al di sopra della direttrice stessa. Ciò discende dal fatto che ogni punto della parabola deve avere una certa distanza diversa da zero rispetto alla direttrice.

Come possiamo vedere, se il fuoco è al di sopra della direttrice, l’ordinata {y_F} del fuoco risulta maggiore dell’ordinata {d} comune ai punti della direttrice. In altre parole, l’ordinata {y_F} del fuoco è maggiore della distanza con segno {d} della direttrice rispetto all’asse {x}.

In modo del tutto simile, se la concavità della parabola è rivolta verso il basso allora il fuoco si trova al di sotto della direttrice, e quindi si ha {y_F < d}.

Ora, quello che a noi interessa è trovare un modo rapido per stabilire, a partire dall’equazione di una parabola con asse verticale, se questa rivolge la propria concavità verso l’alto oppure verso il basso. Le relazioni {y_F > d} e {y_F < d} risultano piuttosto scomode, poiché richiedono di calcolare l’ordinata del fuoco {y_F} e la quantità {d}.

Ma per le formule introdotte in precedenza, osserviamo che si ha:

y_F=\dfrac{1-\Delta}{4a}, \qquad d=-\dfrac{1+\Delta}{4a}

Così è possibile riscrivere ad esempio la disuguaglianza {y_F> d}, riguardante il caso della parabola con concavità rivolta verso l’alto, in funzione dei soli coefficienti presenti nell’equazione della parabola stessa. Ed in particolare, è possibile vedere che procedendo in questo modo otteniamo una relazione contenente il solo coefficiente {a}. Nello specifico, alla condizione {y_F > d} segue la condizione {a>0}.

Allo stesso tempo, da precedenti formule si ha anche:

a=\dfrac{1}{2(y_F-d)}

da cui risulta che se {a > 0} allora deve essere anche {y_F > d}.

Quindi in conclusione, se {a > 0}, ovvero se {a} è positivo, la concavità di una parabola con asse verticale è rivolta verso l’alto. Viceversa, se la concavità di una parabola con asse verticale è rivolta verso l’alto, allora si ha come conseguenza {a > 0}.

In modo del tutto simile, è possibile concludere che se {a <0 }, ovvero se {a} è negativo, la concavità di una parabola con asse verticale è rivolta verso il basso. Viceversa, se la concavità di una parabola è rivolta verso il basso, allora {a} è negativo.

Possiamo quindi affermare quanto segue.

La concavità di una parabola con asse di simmetria verticale è rivolta verso l’alto se e solo se il coefficiente {a} della corrispondente equazione è positivo, mentre è rivolta verso il basso se e solo se il coefficiente {a} è negativo.

E’ dunque possibile stabilire se la concavità di una parabola con asse verticale è rivolta verso l’alto o verso il basso da una rapida osservazione della sua equazione. Se il coefficiente {a} risulta positivo, la concavità è rivolta verso l’alto, diversamente la concavità è rivolta verso il basso. In altre parole, per dedurre la concavità di una parabola dobbiamo guardare il segno del termine in {x^2}, e quindi del termine di secondo grado. Ed il legame tra concavità della parabola e segno del termine di secondo grado esiste sia per le parabole con asse di simmetria verticale, sia per le parabole con asse di simmetria orizzontale (di quest’ultimo caso ci occuperemo nella prossima lezione).

Allo stesso tempo, osservando il grafico di una parabola con asse verticale, se questa ha concavità rivolta verso l’alto il coefficiente {a} della sua equazione dovrà essere necessariamente positivo. Se invece abbiamo il grafico di una parabola con concavità rivolta verso il basso, il coefficiente {a} della corrispondente equazione dovrà essere necessariamente negativo.

Esempio 3

Stabilire la concavità delle parabole {\mathscr{P}_1: y=5x^2+3x-7} e {\mathscr{P_2}: y=-3x^2+4x+9}.

Osserviamo che entrambe le parabole sono con asse di simmetria verticale, in quanto le rispettive equazioni sono della forma {y=ax^2+bx+c}.

Nella prima parabola il coefficiente {a} è uguale a {5}, e quindi è positivo. Di conseguenza, la parabola rivolge la propria concavità verso l’alto.

Nella seconda parabola il coefficiente {a} è uguale a {-3}, e quindi è negativo. Di conseguenza, la parabola rivolge la propria concavità verso il basso.

Dimostrazioni relative alla parabola con asse verticale

Dopo aver visto le formule sulla parabola con asse di simmetria verticale ed aver presentato i relativi esercizi di esempio, in questa parte della lezione intendiamo riportare le dimostrazioni relative a tutti i più importanti concetti sin qui affrontati.

Abbiamo già visto le dimostrazioni nella lezione introduttiva alla parabola. Tuttavia, in questa lezione ci concentreremo sul solo caso di parabole con asse di simmetria verticale, e commenteremo più nel dettaglio i singoli passaggi.

Dimostrazione dell’equazione della parabola

Vediamo come ricavare l’equazione di una parabola con asse verticale, ovvero l’equazione:

y=ax^2+bx+c, \qquad a \ne0, \quad a,b,c \in \R

La dimostrazione dell’equazione della parabola con asse verticale parte dalla definizione di parabola come luogo geometrico, ed in particolare dall’uguaglianza:

\overline{PF}=\overline{PH}

ovvero, la distanza tra il fuoco ed un qualunque punto della parabola è uguale alla distanza fra quello stesso punto e la retta direttrice.

Osserviamo che il punto {H} ha coordinate:

H=(x_H, y_H)=(x, d)

Infatti tale punto ha la stessa ascissa del punto {P} della parabola considerato, e la stessa ordinata degli altri punti appartenenti alla direttrice {s}.

Utilizzando la formula della distanza fra due punti del piano cartesiano, si ha:

\begin{align*} &\overline{PF} = \sqrt{(x_F-x)^2+(y_F-y)^2}; \\ \\ & \overline{PH}=\sqrt{(x_H-x)^2+(y_H-y)^2}=\sqrt{(x-x)^2+(d-y)^2}=\\ \\ & =\sqrt{(d-y)^2}=|d-y|=|y-d|\end{align*}

Nel calcolo della distanza {\overline{PH}}, osserviamo che i punti {P} e {H} sono allineati verticalmente. Di conseguenza, la quantità {x_H-x} è uguale a {x-x}, ovvero zero. Inoltre, abbiamo {\sqrt{(d-y)^2}=|d-y|} per una nota proprietà dei radicali. Infine, {|d-y|} risulta uguale a {|y-d|} poiché la differenza in valore assoluto tra due stesse quantità fornisce lo stesso risultato a prescindere da quale quantità sia il minuendo e quale il sottraendo. Ciò discende dalla definizione di valore assoluto come numero “forzato positivo”.

Ottenute delle espressioni per le distanze {\overline{PF}} e {\overline{PH}}, l’uguaglianza {\overline{PF}=\overline{PH}} diviene:

\sqrt{(x_F-x)^2+(y_F-y)^2}=|y-d|

Ci ritroviamo a questo punto con un’equazione irrazionale con un valore assoluto al secondo membro.

Osserviamo che è possibile elevare al quadrato entrambi i membri dell’equazione, senza alcuna discussione. Non è infatti necessaria alcuna condizione di concordanza dei segni, in quanto entrambi i membri dell’equazione sono positivi. Effettivamente, il primo membro è una radice quadrata, e quindi una quantità sempre positiva in quanto radicale con indice pari. Il secondo membro è un valore assoluto e quindi anch’esso per definizione una quantità positiva.

Così elevando entrambi i membri al quadrato abbiamo:

\left[\sqrt{(x_F-x)^2+(y_F-y)^2}\right]^2=(y-d)^2

ovvero:

(x_F-x)^2+(y_F-y)^2=(y-d)^2

Osserviamo che elevare al quadrato una quantità sotto radice quadrata equivale a togliere il simbolo di radice da quella quantità.

Ora calcoliamo tutti i quadrati di binomi presenti:

x_F^2-2x_Fx+x^2+y_F^2-2y_Fy+y^2=y^2-2dy+d^2

Facciamo caso che è possibile cancellare i termini {y^2}, in quanto uguali tra loro e presenti in membri diversi:

x_F^2-2x_Fx+x^2+y_F^2-2y_Fy+\cancel{y^2}=\cancel{y^2}-2dy+d^2

Ci ritroviamo così con l’uguaglianza:

x_F^2-2x_Fx+x^2+y_F^2-2y_Fy=-2dy+d^2

A questo punto ciò che desideriamo è ottenere un’equazione nella quale risulti esplicitata la variabile {y}. Cominciamo allora isolando i termini che contengono la variabile {y} stessa:

2y_Fy-2dy=x_F^2-2x_Fx+x^2+y_F^2-d^2

Ora raccogliamo la {y} al primo membro, in modo da poterla poi isolare:

2y(y_F-d)=x_F^2-2x_Fx+x^2+y_F^2-d^2

Procediamo ordinando i termini al secondo membro come segue:

2y(y_F-d)=x^2-2x_Fx+x^2_F+y^2_F-d^2

Adesso dividiamo tutti i termini per la quantità {2(y_F-d)}, in modo da isolare la {y}. In forza del secondo principio di equivalenza, ciò richiede di porre la condizione {y_F-d \neq 0}. Ma questo non è un problema, poiché effettivamente il fuoco non appartiene alla direttrice, e di conseguenza l’ordinata del fuoco sarà certamente diversa dall’ordinata {d} comune ai punti della direttrice. Abbiamo quindi:

\dfrac{\cancel{2}y\cancel{(y_F-d)}}{\cancel{2(y_F-d)}}=\dfrac{x^2}{2(y_F-d)}-\dfrac{\cancel{2}x_F}{\cancel{2}(y_F-d)}x+\dfrac{x_F^2+y_F^2-d^2}{2(y_F-d)}

otteniamo quindi:

y=\dfrac{1}{2(y_F-d)}x^2-\dfrac{x_F}{y_F-d}x+\dfrac{x_F^2+y_F^2-d^2}{2(y_F-d)}

Ora, l’equazione assume una forma più compatta se poniamo le sostituzioni:

a=\dfrac{1}{2(y_F-d)}; \qquad b=-\dfrac{x_F}{y_F-d}; \qquad c=\dfrac{x_F^2+y_F^2-d^2}{2(y_F-d)}

Perveniamo in questo modo all’equazione:

y=ax^2+bx+c

che è quindi l’equazione di una parabola con asse verticale, poiché discende direttamente dalla sua definizione come luogo geometrico.

Abbiamo quindi visto come si effettua la dimostrazione dell’equazione di una parabola con asse di simmetria verticale. Inoltre, le sostituzioni poste per i coefficienti {a,b,c} consentono di ricavare i valori dei coefficienti stessi a partire dalle coordinate del fuoco e dall’ordinata dei punti della retta direttrice di una parabola con asse verticale, come visto nell’esempio 1.

Dimostrazione delle formule per determinare le coordinate del fuoco, del vertice e dell’equazione della direttrice

Vediamo di ricavare e quindi dimostrare le formule che consentono di ricavare le coordinate del fuoco e del vertice e di determinare le equazioni dell’asse di simmetria e della direttrice di una parabola con asse di simmetria verticale, della quale è data l’equazione.

Il punto di partenza per la dimostrazione è dato dall’equazione di una parabola con asse di simmetria verticale:

y=ax^2+bx+c, \qquad a \neq 0, \quad a,b,c \in \R

In particolare, i dati di partenza in nostro possesso sono i valori dei coefficienti {a,b,c}.

Per le sostituzioni poste per ricavare l’equazione di una parabola con asse di simmetria verticale, si ha:

a=\dfrac{1}{2(y_F-d)}; \qquad b=-\dfrac{x_F}{y_F-d}; \qquad c=\dfrac{x_F^2+y_F^2-d^2}{2(y_F-d)}

L’idea è quella di “ribaltare” le formule in modo da ricavare i valori di {x_F, y_F} e {d} in funzione dei coefficienti {a,b,c}. In tal modo, sarà possibile calcolare le coordinate del fuoco e l’ordinata {d} dei punti della direttrice a partire dai valori dei coefficienti {a,b,c}. Osserviamo che una volta noto {d}, l’equazione della direttrice si scrive immediatamente come {y=d}.

Ora, poiché le precedenti uguaglianze relative ai coefficienti {a,b,c} devono valere contemporaneamente, procediamo mettendo tali uguaglianze a sistema:

\begin{cases} a=\dfrac{1}{2(y_F-d)} \\ \\ b=-\dfrac{x_F}{y_F-d}\\ \\ c=\dfrac{x_F^2+y_F^2-d^2}{2(y_F-d)}  \end{cases}

Osserviamo che il sistema è in tre equazioni in tre incognite. Per risolverlo, possiamo procedere per sostituzione. In particolare, l’idea è quella di ricavare delle espressioni per {x_F} ed {y_F} dalle prime due equazioni, e quindi sostituirle nella terza equazione. In tal modo, sarà possibile ricavare un’espressione anche per la quantità {d}.

A colpo d’occhio, la seconda equazione consente di ricavare facilmente un’espressione per l’ascissa del fuoco {x_F}:

\begin{cases} a=\dfrac{1}{2(y_F-d)} \\ \\ b=-\dfrac{x_F}{y_F-d} \quad \rightarrow \quad x_F=-b(y_F-d)\\ \\ c=\dfrac{x_F^2+y_F^2-d^2}{2(y_F-d)}  \end{cases}

Di qui in poi omettiamo le condizioni {y_F -d \neq 0}, poiché come ormai sappiamo il fuoco non appartiene alla direttrice e sono quindi necessariamente soddisfatte. Precisiamo inoltre che non è necessario porre nei passaggi a seguire nemmeno la condizione {a \neq 0}, poiché nell’equazione della parabola il coefficiente {a} è sempre diverso da zero.

Ora ricaviamo un’espressione per {y_F} dalla prima equazione:

\begin{cases} a=\dfrac{1}{2(y_F-d)} \quad \rightarrow y_F-d=\dfrac{1}{2a} \quad \rightarrow \: y_F=\dfrac{1}{2a}+d \\ \\ b=-\dfrac{x_F}{y_F-d} \quad \rightarrow \quad x_F=-b(y_F-d) \\ \\ c=\dfrac{x_F^2+y_F^2-d^2}{2(y_F-d)}  \end{cases}

A questo punto sostituiamo l’espressione appena ottenuta per {y_F} nell’espressione precedentemente scritta per {x_F}:

\begin{cases} a=\dfrac{1}{2(y_F-d)} \quad \rightarrow y_F-d=\dfrac{1}{2a} \quad \rightarrow \: y_F=\dfrac{1}{2a}+d \\ \\x_F=-b(y_F-d) \quad \rightarrow x_F=-b\left( \dfrac{1}{2a}+\cancel{d}-\cancel{d}\right)  \quad \rightarrow \:\boxed{x_F=-\dfrac{b}{2a}}\\ \\ c=\dfrac{x_F^2+y_F^2-d^2}{2(y_F-d)}  \end{cases}

E intanto abbiamo dimostrato la formula per l’ascissa del fuoco.

Ora consideriamo separatamente la terza equazione, e sostituiamo in essa le espressioni appena ottenute per {x_F} ed {y_F}:

 c=\dfrac{\left( -\dfrac{b}{2a}\right)^2+\left( \dfrac{1}{2a}+d\right)^2-d^2}{2\left(\dfrac{1}{2a}+\cancel{d}-\cancel{d}\right)}

Calcoliamo i quadrati al numeratore del secondo membro:

\begin{align*} & c=\dfrac{\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{1}{4a^2}+\cancel{2} \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}a}\cdot d+\cancel{d^2}-\cancel{d^2}}{\dfrac{1}{a}};\\ \\ &c=\dfrac{\dfrac{b^2+1+4ad}{4a^2}}{\dfrac{1}{a}}  \end{align*}

A questo punto ricordiamo che se dividiamo per un quantità, ciò equivale a moltiplicare per il reciproco di quella stessa quantità (vedi: frazioni algebriche). Così, dividere per {\dfrac{1}{a}} equivale a moltiplicare per {a}:

\begin{align*} & c=\dfrac{b^2+1+4ad}{4a^{\cancel{2}}} \cdot \cancel{a}; \\ \\ & c=\dfrac{b^2+1+4ad}{4a}\end{align*}

Ora portiamo tutto al primo membro. Per fare ciò, basta semplicemente trasportare {c} al secondo membro e quindi leggere l’uguaglianza in modo simmetrico. Scegliete comunque la strada per voi più comoda.

\dfrac{b^2+1+4ad}{4a}-c=0

Ora mettiamo tutti i termini a denominatore comune:

\dfrac{b^2+1+4ad-4ac}{4a}=0

E’ immediato riconoscere la quantità {b^2-4ac}, riordinando i termini:

\dfrac{1+4ad+b^2-4ac}{4a}=0

Poniamo {\Delta = b^2-4ac}:

\dfrac{1+4ad+\Delta}{4a}=0

A questo punto possiamo eliminare tranquillamente il denominatore, in quanto sappiamo che la condizione {4a \neq 0} sarà sicuramente rispettata. Infatti, nell’equazione della parabola con asse verticale (o orizzontale) deve essere {a \neq 0}:

1+4ad+\Delta =0

Infine isoliamo la quantità {d}:

4ad=-1-\Delta \quad \Rightarrow \quad d=\dfrac{-1-\Delta}{4a}

e quindi in conclusione, raccogliendo un segno meno al numeratore:

\boxed{d=-\dfrac{1+\Delta}{4a}}

Ora che abbiamo un’espressione per {d}, possiamo aggiustare l’espressione precedentemente ottenuta per {y_F}:

y_F=\dfrac{1}{2a}+d \quad \Rightarrow \quad y_F=\dfrac{1}{2a}-\dfrac{1+\Delta}{4a}

Sviluppando i calcoli (attenzione ai segni):

\begin{align*} &y_F=\dfrac{2-1-\Delta}{4a};\\ \\ & \boxed{y_F=\dfrac{1-\Delta}{4a}}\end{align*}

In definitiva abbiamo dimostrato le formule delle coordinate del fuoco e dell’ordinata {d} dei punti della direttrice (vedi le uguaglianze nei riquadri). In particolare l’equazione della direttrice è:

s: y=d \quad \Rightarrow \quad s:y=-\dfrac{1+ \Delta}{4a}

Vediamo ora come ricavare la formula per le coordinate del vertice di una parabola con asse verticale.

L’idea è quella di sostituire l’espressione per l’ascissa del fuoco (che coincide con l’ascissa del vertice) nell’equazione della parabola. Ciò si giustifica osservando che il vertice è un punto della parabola, e quindi le sue coordinate devono necessariamente soddisfare l’equazione della parabola stessa. Abbiamo:

\begin{align*} &y=ax^2+bx+c \quad \text{con} \quad x=-\dfrac{b}{2a} \\ \\ & \Rightarrow y=a\left( -\dfrac{b}{2a}\right)^2+b\left( -\dfrac{b}{2a}\right)+c; \\ \\ &y=a\cdot\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{2a}+c;\\ \\ & y=\dfrac{ab^2-2ab^2+4a^2c}{4a^2};\\ \\ & y=\dfrac{-ab^2+4a^2c}{4a^2} \end{align*}

Ora eseguiamo un raccoglimento al denominatore, riconoscendo la quantità {\Delta}:

\begin{align*} &y=\dfrac{-\cancel{a}(b^2-4ac)}{4a^{\cancel{2}}}; \\ \\ & \boxed{y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}}\end{align*}

Abbiamo così svolto tutte le dimostrazioni relative alle formule delle coordinate del fuoco, del vertice e alla formula dell’equazione della direttrice di una parabola con asse di simmetria verticale.

Dimostrazione della condizione per la concavità rivolta verso l’alto o verso il basso di una parabola con asse di simmetria verticale

E’ possibile verificare costruendo delle parabole a partire dalla definizione come luogo geometrico che la concavità di una parabola dipende dalla posizione del fuoco rispetto alla direttrice.

In particolare, per le parabole con asse di simmetria verticale:

• la concavità della parabola è rivolta verso l’alto se e solo se l’ordinata del fuoco è maggiore dell’ordinata dei punti della direttrice, ovvero {y_F > d};
• la concavità della parabola è rivolta verso il basso se e solo se l’ordinata del fuoco è minore dell’ordinata dei punti della direttrice, ovvero {y_F < d}.

Esiste in particolare una relazione tra il segno del coefficiente {a} nell’equazione:

y=ax^2+bx+c, \qquad a \neq 0, \quad a,b,c \in \R

e la concavità di una parabola. Il nostro obiettivo è nello specifico dimostrare che:

a > 0 \iff y_F > d, \qquad a < 0 \iff y_F< d

ovvero dimostrare che:

• se il coefficiente {a} è positivo la parabola rivolge la concavità verso l’alto, e viceversa se la parabola rivolge la concavità verso l’alto allora il coefficiente {a} è positivo. In altre parole, dobbiamo dimostrare che valgono entrambe le implicazioni {a > 0 \: \Rightarrow \: y_F > d} e {y_F> d \: \Rightarrow \: a > 0};
• se il coefficiente {a} è negativo la parabola rivolge la concavità verso il basso, e viceversa se la parabola rivolge la concavità verso il basso allora il coefficiente {a} è negativo.

La dimostrazione che dobbiamo effettuare segue la classica struttura della dimostrazione di una condizione necessaria e sufficiente. In particolare, se ad esempio scriviamo:

A \iff B

intendiamo che {A} è condizione necessaria e sufficiente per {B} e viceversa. In altre parole, ciò significa che valgono entrambe le implicazioni {A \: \Rightarrow B} e {B \: \Rightarrow \: A}. Di conseguenza, le proposizioni {A} e {B} sono logicamente equivalenti.

Nel nostro caso, dobbiamo dimostrare l’equivalenza logica tra la condizione {a>0} e l’affermare che la parabola rivolge la concavità verso l’alto. Inoltre, dobbiamo anche dimostrare l’equivalenza logica tra la condizione {a < 0} e l’affermare che la parabola rivolge la concavità verso il basso.

Cominciamo dimostrando che:

a > 0 \iff y_F > d

ricordando che la condizione {y_F > d} equivale ad affermare che la parabola rivolge la propria concavità verso l’alto.

Per dimostrare tale equivalenza logica, dobbiamo dimostrare le due implicazioni:

a>0 \quad \Rightarrow \quad y_F > d

e:

y_F>d \quad \Rightarrow \quad a > 0

Proviamo la prima implicazione. Tenendo conto che possiamo esprimere il coefficiente {a} come {\dfrac{1}{2(y_F-d)}}, si ha:

\begin{align*} &a > 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{1}{2(y_F-d)} > 0 \end{align*}

Per risolvere la disequazione, dobbiamo studiare i segni del numeratore e del denominatore al primo membro. In questo caso, il numeratore è sempre positivo e quindi ciò che conta è soltanto il segno della quantità {y_F-d}:

y_F -d > 0 \quad \Rightarrow \quad y_F>d

Dunque abbiamo intanto dimostrato l’implicazione:

a> 0 \quad \Rightarrow \quad y_F > d

Ciò significa che {a>0} è condizione sufficiente per poter affermare che la parabola rivolge la propria concavità verso l’alto.

Dimostriamo ora l’implicazione in senso inverso, ovvero la seconda implicazione:

y_F > d \quad \Rightarrow \quad a > 0

Ricordiamo che è possibile esprimere l’ordinata {y_F} del fuoco come:

y_F=\dfrac{1-\Delta}{4a}

Inoltre, possiamo esprimere la quantità {d} come:

d = -\dfrac{1+ \Delta}{4a}

Di conseguenza l’implicazione da dimostrare può essere riscritta come:

\underbrace{\dfrac{1-\Delta}{4a}}_{y_F}  > \underbrace{-\dfrac{1+ \Delta}{4a} }_{d}

Portiamo tutti i termini al primo membro. Ricordiamo che per trasportare una frazione algebrica da un membro all’altro di un’equazione basta cambiarne il segno davanti alla linea di fratto:

\dfrac{1-\Delta}{4a}+\dfrac{1+\Delta}{4a} > 0

E’ immediato ridurre i termini al primo membro allo stesso denominatore:

\dfrac{1-\cancel{\Delta}+1+\cancel{\Delta}}{4a} > 0

I {\Delta} si cancellano tra loro ed otteniamo la disuguaglianza:

\dfrac{1}{2a}>0

Tale disequazione si risolve studiando il segno di numeratore e denominatore. Nel nostro caso, è evidente che il segno della quantità al primo membro dipende soltanto da {a}. Per cui otteniamo in conclusione:

a > 0

E poiché siamo partiti dalla condizione {y_F > d}, risulta anche dimostrato che:

y_F> d \quad \Rightarrow \quad a >0

Quindi {a>0} è anche condizione necessaria affinché si abbia {y_F>d}, ovvero affinché la parabola rivolga la propria concavità verso l’alto.

In conclusione vale l’equivalenza logica tra le due condizioni {a>0} e {y_F>d}:

a> 0 \iff y_F> d

ed abbiamo così dimostrato che una parabola con asse verticale rivolge la propria concavità verso l’alto se e solo se il coefficiente {a} è positivo.

Procedendo allo stesso modo è infine possibile dimostrare che una parabola con asse verticale rivolge la propria concavità verso il basso se e solo se il coefficiente {a} è negativo.

In particolare, in questo secondo caso si tratta di dimostrare che:

a < 0 \iff  y_F < d

Cominciamo dimostrando l’implicazione:

a< 0 \quad \Rightarrow \quad y_F < d 

Si ha, tenendo conto come nel caso precedente che {a=\dfrac{1}{2(y_F-d)}}:

\begin{align*} &\dfrac{1}{2(y_F-d)}< 0 \quad \Rightarrow \quad y_F-d<0 \quad \Rightarrow y_F< d\end{align*}

e quindi:

a<0 \quad \Rightarrow \quad y_F< d

Dimostriamo ora l’implicazione:

y_F < d \quad \Rightarrow \quad  a <0

Si ha, tenendo conto che {y_F=\dfrac{1-\Delta}{4a}} e che {d = -\dfrac{1+ \Delta}{4a}}:

\begin{align*} &\dfrac{1-\Delta}{4a}< -\dfrac{1 +\Delta}{4a}; \\ \\ & \dfrac{1-\Delta+1+\Delta}{4a}<0;\\ \\ & \dfrac{2}{4a}<0 \quad \Rightarrow \quad a <0\end{align*}

Di conseguenza risulta anche dimostrata l’implicazione:

y_F< d \quad \Rightarrow \quad a < 0

Così valendo le implicazioni in entrambi i sensi possiamo in conclusione affermare che:

a < 0 \iff y_F < d

ovvero che una parabola con asse di simmetria verticale rivolge la propria concavità verso il basso se e solo se il coefficiente {a} è negativo.

Conclusioni

Per questa lezione sulla parabola con asse verticale è tutto. Nella prossima lezione rivedremo nel dettaglio il caso dell’equazione di una parabola con asse di simmetria orizzontale. Un saluto a tutti voi!