Equazioni di secondo grado

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Equazioni (superiori)

Ci proponiamo di fornire in questa lezione una trattazione completa riguardante le equazioni di secondo grado. Il nostro obiettivo in particolare sarà quello di capire come risolvere le equazioni di secondo grado, a partire dalle equazioni di secondo grado complete che sono quelle della forma più generale.

Nella prima parte della lezione chiariremo quindi cosa sono le equazioni di secondo grado in forma normale, mostrandone la formula risolutiva ed alcuni esercizi di esempio. In tal modo sarete in grado fin da subito di risolvere le equazioni di secondo grado.

Nella seconda parte forniremo invece un’introduzione graduale alle equazioni di secondo grado, partendo da equazioni che sappiamo risolvere direttamente grazie alle nostre conoscenze sulle equazioni di primo grado, sui polinomi e sui radicali. Andando avanti considereremo la risoluzione di equazioni di secondo grado di varie forme, fino ad arrivare al caso generale. E in questa fase dimostreremo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado introdotta all’inizio della lezione.

L’obiettivo è dunque quello di acquisire nella modo più immediato possibile gli strumenti per poter risolvere le equazioni di secondo grado, senza però tralasciare uno studio approfondito delle equazioni di secondo grado nelle loro varie forme e dei relativi metodi risolutivi. Infatti, in alcuni casi le equazioni di secondo grado possono essere risolte in modo più immediato senza l’uso della formula generale. E nel corso della lezione distingueremo accuratamente i casi nei quali è necessario utilizzare la formula generale, e i casi nei quali sarà possibile l’utilizzo di tecniche risolutive più semplici.

Cominciamo allora subito lo studio delle equazioni di secondo grado.

Cos’è un’equazione di secondo grado e come si risolve. Formula risolutiva generale.

Un’equazione di secondo grado in forma normale è un’equazione del tipo:

ax^2+bx+c=0, \qquad a,b,c \in \mathbb{R}, \quad a \neq 0

ove {a, \: b, \: c} sono coefficienti reali. L’equazione è detta di secondo grado poiché effettivamente al primo membro abbiamo un polinomio di secondo grado. Infatti, il monomio (o termine) di grado massimo ha grado {2}. Affinché l’equazione sia di secondo grado, chiaramente dovrà essere {a \neq 0}.

Un’equazione di secondo grado si dice completa se anche i coefficienti { b, \:c } sono entrambi diversi da zero.

Esempi di equazioni di secondo grado in forma normale sono:

2x^2+3x-7=0; \qquad 9x^2+2x+4=0

Precisiamo fin da subito che un’equazione di secondo grado può anche presentarsi in una forma diversa da quella normale. Ad esempio:

3x^2+7x=9x+5

In tal caso basterà utilizzare i principi di equivalenza e le regole conseguenti, in modo da ridurre l’equazione alla forma normale. In particolare, dovremo trasportare al primo membro i termini attualmente al secondo membro, e inoltre dovremo sommare tra loro i termini simili:

\begin{align*} & 3x^2+7x-9x-5=0 \\ \\  \quad &3x^2-2x-5=0 \end{align*}

Ricordiamo che nel trasportare i termini da un membro all’altro occorre cambiarne il segno.

Ora, perché è importante ridurre un’equazione di secondo grado alla forma normale? Questo perché una volta che un’equazione di secondo grado si presenta in forma normale, questa può essere risolta applicando l’opportuna formula risolutiva. E in particolare, per tutte le equazioni di secondo grado è applicabile sotto determinate ipotesi la seguente formula risolutiva generale:

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

La formula consente di ricavare le due eventuali soluzioni reali {x_1} e {x_2}. Il simbolo {\pm} indica che per la soluzione {x_1} dovremo considerare il simbolo {+}, mentre per {x_2} dovremo considerare il simbolo {-}.

Per maggior chiarezza, possiamo anche rappresentare due distinte formule:

\begin{align*} &x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \\ \\ &x_2 = \dfrac{-b -\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align*}

Ora, perché diciamo eventuali soluzioni? Ciò è dovuto al fatto che un’equazione di secondo grado può anche non avere soluzioni reali. Infatti, osserviamo attentamente la formula risolutiva. In essa compare un radicale con indice pari. Di conseguenza, il radicale esiste soltanto se il suo argomento è positivo o al più nullo, ovvero se e solo se la quantità {b^2-4ac} è maggiore o uguale a zero. Tale quantità si chiama discriminante ed in base al suo valore è possibile capire se l’equazione di secondo grado data ammette soluzioni reali o no.

Così, indicato con {\Delta = b^2-4ac} il discriminante delle equazioni di secondo grado, abbiamo:

• se {\Delta > 0}, l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte (due soluzioni reali una diversa dall’altra);
• se {\Delta = 0}, l’equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti (due soluzioni reali uguali tra loro);
• infine, se {\Delta < 0}, l’equazione non ammette soluzioni reali. Infatti, il radicale presente nella formula risolutiva non esiste, e pertanto la formula stessa è in questo caso priva di significato.

Qualora sia {\Delta \geq 0}, l’equazione di secondo grado si dice determinata (infatti ammette due soluzioni reali), invece se {\Delta < 0} l’equazione si dice impossibile (non ammette soluzioni reali).

Passiamo ora a degli esercizi di esempio, precisando sin d’ora che per saper risolvere senza problemi le equazioni di secondo grado è necessario conoscere le proprietà dei radicali. Di queste ci siamo dedicati ampliamente nel corso di lezioni dedicato ai radicali.

Esercizi di esempio sulle equazioni di secondo grado

Esercizio 1

Risolvere la seguente equazione di secondo grado:

5x^2+\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{5}=0

L’equazione si presenta già in forma normale. Infatti, al primo membro abbiamo un polinomio di secondo grado con termini non simili tra loro. Al secondo membro invece non abbiamo alcun termine. L’equazione è inoltre completa (coefficienti {a, \: b, \: c} tutti diversi da zero). In particolare abbiamo {a=5, \: b=\dfrac{1}{3}} e infine {c=-\dfrac{1}{5}}.

Intanto, vediamo se esistono soluzioni. Dobbiamo controllare che il discriminante {\Delta = b^2-4ac} sia maggiore o uguale a zero:

\begin{align*} & \Delta=b^2-4ac=\left( \dfrac{1}{3}\right)^2- 4 \cdot 5 \cdot \left( -\dfrac{1}{5}\right)= \\ \\& =\dfrac{1}{9}-20 \cdot \left( -\dfrac{1}{5}\right) = \dfrac{1}{9}+4=\dfrac{1+36}{9}=\dfrac{37}{9}>0 \end{align*}

Poiché abbiamo {\Delta > 0} possiamo dire che l’equazione ammette due soluzioni reali. Inoltre, poiché abbiamo anche {\Delta \neq 0}, le due soluzioni saranno distinte, ovvero diverse tra loro.

Applicando la formula risolutiva possiamo quindi scrivere:

\begin{align*} &x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \dfrac{-\dfrac{1}{3} \pm \sqrt{\left( \dfrac{1}{3}\right)^2-4 \cdot 5 \cdot \left( -\dfrac{1}{5}\right)}}{2 \cdot 5 } = \\ \\ & = \dfrac{-\dfrac{1}{3}\pm \sqrt{\dfrac{37}{9}}}{10}= \end{align*}

A questo punto dobbiamo considerare separatamente i simboli {+} e {-}, ottenendo le due soluzioni {x_1} e {x_2}. Cominciamo dalla soluzione {x_1} (sostituiamo al {\pm} il {+}):

\begin{align*} & x_1 = \dfrac{-\dfrac{1}{3}+\sqrt{\dfrac{37}{9}}}{10}=\dfrac{-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\sqrt{37}}{10}=\dfrac{\dfrac{1}{3}\left( -1+\sqrt{37}\right)}{10}=\\ \\ & =  \dfrac{1}{3}\cdot(-1+\sqrt{37})\cdot \dfrac{1}{10} =\dfrac{-1+\sqrt{37}}{3\cdot 10} = \dfrac{-1 + \sqrt{37}}{30}\end{align*}

Osserviamo che nel primo passaggio abbiamo portato fuori un fattore dal radicale {\sqrt{\dfrac{37}{9}}}.

Ora calcoliamo la soluzione {x_2} (nella formula, sostituiamo al simbolo {\pm} il {-}):

\begin{align*} & x_2 = \dfrac{-\dfrac{1}{3}-\sqrt{\dfrac{37}{9}}}{10}=\dfrac{-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\sqrt{37}}{10}=\dfrac{\dfrac{1}{3}\left( -1-\sqrt{37}\right)}{10}=\\ \\ & =  \dfrac{1}{3}\cdot(-1-\sqrt{37})\cdot \dfrac{1}{10} =\dfrac{-1-\sqrt{37}}{3\cdot 10} = \dfrac{-1 - \sqrt{37}}{30}\end{align*}

Otteniamo in conclusione per l’equazione di partenza le due soluzioni:

x_1 = \dfrac{-1+\sqrt{37}}{30}; \qquad x_2 = \dfrac{-1-\sqrt{37}}{30}

oppure, più sinteticamente:

x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{37}}{30}

In tal modo esprimiamo in forma sintetica entrambe le soluzioni.

Osservazione. Una volta determinata la soluzione {x_1}, per determinare {x_2} basta semplicemente cambiare il segno davanti al radicale della soluzione {x_1}. Tuttavia, nell’utilizzare questo accorgimento occorre in generale fare attenzione a cambiare il segno giusto. Infatti, può accadere di avere nell’espressione delle soluzioni di un’equazione di secondo grado più di un radicale.

Esempio 2

Risolvere l’equazione di secondo grado:

3x^2-7x+2=0

L’equazione anche in questo caso è già in forma normale. Osserviamo che abbiamo {a=3, \: b= -7} e {c=2}. L’equazione è completa poiché non abbiamo coefficienti nulli.

Vediamo se {\Delta \geq 0}:

\Delta = b^2-4ac=(-7)^2-4 \cdot 3 \cdot 2 = 49-24 > 0

Applichiamo la formula risolutiva:

\begin{align*} & x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2-4 \cdot 3 \cdot 2 }}{2 \cdot 3} = \\ \\ & =\dfrac{7\pm \sqrt{49-24}}6{}=\dfrac{7 \pm \sqrt{25}}{6} =\dfrac{7 \pm 5}{6}\end{align*}

Otteniamo quindi per l’equazione di partenza le due soluzioni:

x_1 = \dfrac{7+5}{6}=\dfrac{12}{6}=2; \qquad x_2=\dfrac{7-5}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}

Osservazione. E’ anche possibile provare ad applicare direttamente la formula risolutiva senza calcolare preventivamente il discriminante {\Delta}. In tal caso, basterà fermarsi se il discriminante è negativo (infatti non possiamo estrarre la radice quadrata di un numero negativo). In tal caso diremo che l’equazione non ammette soluzioni reali, ed è quindi impossibile.

Esempio 3

Risolvere la seguente equazione di secondo grado:

4 \left( x+\dfrac{1}{2}\right) \cdot\left( x-\dfrac{1}{2}\right)-3(x^2-2x)=x+4

L’equazione non è in forma normale. Infatti, abbiamo dei termini al secondo membro ed inoltre al primo membro abbiamo dei calcoli da eseguire (e quindi ci ritroveremo con dei termini simili da sommare).

In questi casi, il primo passo consiste nello svolgere tutti i prodotti. A tal punto, si procederà trasportando tutti i termini al primo membro sommando poi tutti i termini simili. In questo modo ci ritroveremo con un’equazione di secondo grado in forma normale, per la quale sarà eventualmente possibile determinare le soluzioni grazie alla formula risolutiva.

Eseguiamo i prodotti al primo membro (conviene qui aiutarci con il prodotto notevole somma per differenza):

\begin{align*} &4 \left( x+\dfrac{1}{2}\right) \cdot\left( x-\dfrac{1}{2}\right)-3(x^2-2x)=x+4 \\ \\ & 4 \left( x^2-\dfrac{1}{4}\right) -3x^2+6x=x+4 \\ \\ & 4x^2-1-3x^2+6x=x+4 \\ \\ &4x^2-1-3x^2+6x-x-4 = 0 \\ \\ &(4-3)x^2+(6-1)x+(-1-4)=0 \\ \\& x^2+5x-5=0\end{align*}

Ora ci ritroviamo con un’equazione di secondo grado in forma normale, con {a=1, \: b = 5, \: c=-5}. Vediamo se esistono soluzioni controllando il segno del discriminante:

\Delta = b^2-4ac = 5^2- 4 \cdot 1 \cdot (-5)  = 25+20=45>0

Possiamo quindi già dire che l’equazione ha due soluzioni reali e distinte. Calcoliamole:

\begin{align*} & x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \\ \\ & =\dfrac{-5 \pm \sqrt{25+20}}{2}=\dfrac{-5 \pm \sqrt{45}}{2}= \dfrac{-5 \pm 3\sqrt{5}}{2}\end{align*}

Osserviamo che abbiamo portato fuori un fattore dal radicale {\sqrt{45}}. In particolare:

\sqrt{45}=\sqrt{9 \cdot 5}=\sqrt{3^2 \cdot 5} = 3 \sqrt{5}

Otteniamo quindi le due soluzioni:

x_1 = \dfrac{-5 +3\sqrt{5}}{2}; \quad x_2 = \dfrac{-5 -3\sqrt{5}}{2}

Esempio 4

Risolvere la seguente equazione di secondo grado:

x^2+x \left( \sqrt{2}-\sqrt{3}\right)-\dfrac{\sqrt{6}}{2}+\dfrac{5}{4}=0

Siamo di nuovo in presenza di un’equazione di secondo grado non in forma normale. Infatti, anche se il secondo membro è privo di termini, abbiamo comunque dei termini simili al primo membro.

Prestiamo attenzione a non calcolare il prodotto {x \left( \sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}. Infatti, in un’equazione ridotta in forma normale abbiamo un solo termine in {x}. Di conseguenza, l’espressione numerica {\sqrt{2}-\sqrt{3}} rappresenta il coefficiente del termine in {x} (ovvero il coefficiente {b}).

Così, l’unica cosa che dobbiamo fare per portare l’equazione alla forma normale è sommare i termini numerici tra loro. Abbiamo:

x^2+x \left( \sqrt{2}-\sqrt{3}\right)+\dfrac{-2\sqrt{6}+5}{4}=0

Ora ci ritroviamo con un’equazione di secondo grado in forma normale, con {a=1, \: b = \sqrt{2}-\sqrt{3}} e infine {c-\dfrac{-2\sqrt{6}+5}{4}}.

Calcoliamo il discriminante {\Delta}:

\begin{align*} & \Delta=b^2-4ac=\left( \sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2-4 \cdot 1 \cdot \left( \dfrac{-2\sqrt{6}+5}{4}\right) = \\ \\ & =(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2-2\sqrt{2}\sqrt{3}+2\sqrt{6}-5=\\ \\ & = \cancel{2}+\cancel{3}-\cancel{2\sqrt{6}}+\cancel{2\sqrt{6}}-\cancel{5}=0\end{align*}

Il discriminante è nullo per cui avremo per l’equazione data due soluzioni uguali e coincidenti. Applicando la formula risolutiva generale delle equazioni di secondo grado abbiamo:

x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\sqrt{2}+\sqrt{3} \pm 0}{2 \cdot 1}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}

Ora, attenzione. Anche se otteniamo per le soluzioni un solo valore, in realtà le soluzioni sono due ed uguali tra loro. Così, per maggior chiarezza, le soluzioni dell’equazione data sono:

x_1 = \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}; \qquad x_2 = \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}

Ricordiamo quindi che se il discriminante {\Delta} è maggiore o uguale a zero, allora un’equazione di secondo grado ha sempre due soluzioni.

Concludiamo questa carrellata di esempi con un’equazione impossibile.

Esempio 5

Risolvere la seguente equazione:

4x-(x-1)^3+\dfrac{2-x}{2}=-x^2(x+2)-3x

Eseguiamo tutti i calcoli al primo e al secondo membro, per poi portare tutti i termini al primo membro:

\begin{align*} &4x-(x-1)^3+\dfrac{2-x}{2}=-x^2(x+2)-3x \\ \\ & 4x-(x^3-3x^2+3x-1)+\dfrac{2-x}{2} = -x^3-2x^2-3x \\ \\ & 4x-\cancel{x^3}+3x^2-\cancel{3x}+1+\dfrac{2-x}{2}= \cancel{-x^3}-2x^2-\cancel{3x} \\ \\ & 4x+3x^2+1+\dfrac{2-x}{2}+2x^2=0 \\ \\ &(3+2)x^2+4x+1+\dfrac{2}{2}-\dfrac{x}{2} = 0 \\ \\ &5x^2+\left( 4-\dfrac{1}{2}\right)x+ 2=0 \\ \\ & 5x^2+\dfrac{7}{2}x+2=0\end{align*}

Vediamo quanto vale il discriminante:

\Delta = b^2-4ac=\left( \dfrac{7}{2}\right)^2-4 \cdot 5 \cdot 2 = \dfrac{49}{4}-40=\dfrac{49-160}{4} < 0

Il discriminante è minore di zero e di conseguenza l’equazione di partenza è impossibile, ovvero non ammette soluzioni reali.

Metodi risolutivi specifici per le equazioni di secondo grado non complete

Ora che abbiamo visto come risolvere le equazioni di secondo grado nella loro forma più generale (equazioni di secondo grado complete), possiamo spostare la nostra attenzione su equazioni di secondo grado incomplete, ovvero equazioni nelle quali almeno uno fra i coefficienti {b} e {c} è nullo.

In particolare, presentiamo subito nella tabella a seguire le forme delle equazioni di secondo grado che conviene conoscere e saper risolvere con metodi ad esse dedicate, riproponendo anche il caso delle equazioni di secondo grado complete in forma normale:

L’obiettivo del considerare le varie casistiche è duplice. In primo luogo, vogliamo capire come poter risolvere alcune equazioni di secondo grado senza dover utilizzare la formula generale. Questa infatti in alcuni casi risulta inutilmente laboriosa. In secondo luogo, vogliamo giustificare la formula risolutiva generale delle equazioni di secondo grado.

Come vedremo, possiamo risolvere le equazioni di secondo grado più semplici facendo leva unicamente su quello che sappiamo sulle equazioni di primo grado, sui radicali e sui polinomi (in particolare sul quadrato di un binomio). Mettendo insieme tutte queste nozioni, arriveremo alla formula risolutiva delle equazioni di secondo grado in forma generale. E di tale formula forniremo quindi dimostrazione.

A seguire presenteremo anche metodi risolutivi in più rispetto alla tabella. Tali metodi non hanno una grande valenza pratica, ma saranno utili per poter ricavare la formula risolutiva generale per le equazioni di secondo grado.

Precisiamo ancora una volta che con la formula risolutiva generale è possibile risolvere tutte le equazioni di secondo grado. Tuttavia, applicare la formula risolutiva alle equazioni di secondo grado incomplete risulta in diversi casi poco comodo. E proprio per questo è utile conoscere i metodi risolutivi specifici presentati nella tabella.

Equazioni di secondo grado spurie: ax²+bx=0

Nelle equazioni di secondo grado spurie il coefficiente {c} è uguale a zero. Di conseguenza esse assumono la forma:

ax^2+bx=0

Per risolvere equazioni di questo tipo non è necessario scomodare la formula risolutiva generale. Infatti, basta osservare che è possibile raccogliere la {x} al primo membro:

x(ax+b)=0

A questo punto ci ritroviamo al primo membro con un prodotto tra quantità di primo grado rispetto ad {x}. In pratica abbiamo un prodotto uguagliato a zero. Ma affinché un prodotto sia uguale a zero basta che almeno uno dei suoi fattori sia zero. Di conseguenza, per la legge di annullamento del prodotto abbiamo:

x = 0 \quad \vee \quad ax+b = 0

Di conseguenza, le soluzioni dell’equazione di secondo grado di partenza saranno date dall’unione delle soluzioni di ciascuna delle equazioni di primo grado appena scritte. Abbiamo quindi in conclusione:

x_1 = 0; \qquad x_2 = -\dfrac{b}{a}

Vediamo subito un esempio.

Esempio (equazione di secondo grado spuria)

Risolvere:

3x^2-\sqrt{5}x=0

L’equazione è spuria di secondo grado poiché il termine di grado massimo è di secondo grado e perché il coefficiente {c} è zero (in altre parole, nell’equazione non compare il termine noto).

Raccogliamo la {x}:

x(3x-\sqrt{5}) = 0

Applichiamo la legge di annullamento del prodotto:

x= 0 \quad \vee \quad 3x-\sqrt{5} = 0

Otteniamo per l’equazione di secondo grado di partenza le soluzioni:

x_1 = 0  \quad \vee \quad x_2= \dfrac{\sqrt{5}}{3}

Equazioni di secondo grado del tipo x²=r

Vediamo ora come è possibile risolvere alcune semplici equazioni di secondo grado basandoci su quello che sappiamo sui radicali. In particolare, vogliamo ora risolvere equazioni di secondo grado del tipo:

x^2=r, \qquad r \in \mathbb{R}

Equazioni di questo tipo non sono altro che equazioni di secondo grado ove il coefficiente {a} è uguale a {1}, il coefficiente {b} è uguale a zero (non abbiamo infatti nessun termine in {x}) e il coefficiente {c} è uguale a {-r}.

Ora, supposto {r \geq 0}, per risolvere l’equazione possiamo estrarre la radice quadrata di ciascun membro. E poiché per le proprietà dei radicali {\sqrt{x^2}=|x|}, abbiamo:

\sqrt{x^2}=\sqrt{r} \quad \Rightarrow \quad |x|=\sqrt{r}

Ora, ricordiamo che per la definizione di valore assoluto si ha:

|x|=x \: \text{se} \: x \geq 0, \quad |x|=-x \: \text{se} \: x < 0

Così a partire dall’equazione {|x|=\sqrt{r}} otteniamo le due equazioni:

x=\sqrt{r}; \qquad -x=\sqrt{r}

ovvero, moltiplicando per {-1} entrambi i membri della seconda equazione:

x=\sqrt{r}; \qquad x=-\sqrt{r}

Dato che abbiamo due differenti valori della {x}, distinguiamoli con dei numeri in pedice:

x_1 = \sqrt{r}; \qquad x_2=-\sqrt{r}

e queste sono le due soluzioni dell’equazione {x^2=r}, nell’ipotesi che {r} sia un numero reale positivo o al più nullo. Tra parentesi, se {r} è nullo l’equazione si dice monomia ed ha due soluzioni reali e coincidenti entrambe uguali a zero.

E se {r} è negativo? In questo caso, l’equazione {x^2=r} è impossibile. Infatti, la quantità {x^2} essendo un quadrato è sempre positiva o al più nulla, e non potrà quindi mai essere uguale ad una quantità negativa.

Esempio (equazione x²=r determinata)

Risolvere:

x^2 = 7

Abbiamo {r=7}. L’equazione ha due soluzioni date da {\pm \sqrt{r}}, e quindi {x_1 = \sqrt{7}} e {x_2=-\sqrt{7}}.

Esempio (equazione x²=r impossibile)

L’equazione:

x^2=-3

è impossibile poiché {r} è negativo. Intuitivamente, non esiste alcun valore della {x} in grado di soddisfare l’equazione poiché nessun quadrato può essere uguale ad un numero negativo.

Equazioni di secondo grado pure: ax²+c=0

Consideriamo ora equazioni di secondo grado pure, ovvero della forma:

ax^2+c=0

Nelle equazioni di secondo grado pure il coefficiente {b} è uguale a zero.

Per ricercare le soluzioni, dividiamo ciascun termine al primo membro per {a}, supponendo {a \neq 0}:

\dfrac{ax^2}{a}+\dfrac{c}{a}=0

Otteniamo semplificando il primo termine:

x^2+ \dfrac{c}{a}=0

e quindi, trasportando il termine {\dfrac{c}{a}} al secondo membro:

x^2 = -\dfrac{c}{a}

Ora, se la quantità {-\dfrac{c}{a}} è positiva o al più nulla possiamo estrarre la radice quadrata di entrambi i membri. Così otteniamo:

\sqrt{x^2}=\sqrt{-\dfrac{c}{a}}

ovvero, tenendo conto delle proprietà dei radicali con indice pari:

|x|=\sqrt{-\dfrac{c}{a}}

e infine, per la definizione di modulo:

x_1 = \sqrt{-\dfrac{c}{a}}; \qquad x_2 = -\sqrt{-\dfrac{c}{a}}

Queste sono le soluzioni dell’equazione di secondo grado pura di partenza, nell’ipotesi che sia {-\dfrac{c}{a} \geq 0}. Infatti soltanto con tale ipotesi i radicali appena scritti esistono.

Quindi, per le equazioni di secondo grado pure abbiamo:

• se i termini {a} e {c} sono discordi (segno differente), l’equazione ha le due soluzioni reali e distinte {x_1} e {x_2}. Infatti in tal caso la frazione {-\dfrac{c}{a}} è positiva;
• se {c=0}, l’equazione ha due soluzioni reali entrambe uguali a zero;
• infine, se {a} e {c} hanno lo stesso segno, l’equazione è impossibile. Infatti in tal caso la frazione {-\dfrac{c}{a}} è negativa. Di conseguenza i radicali {\pm \sqrt{-\dfrac{c}{a}}} non esistono.

Esempio (equazione pura determinata)

L’equazione:

5x^2-11=0

è un’equazione di secondo grado pura. Infatti, abbiamo {b=0} (il termine in {x} non è presente, ovvero ha coefficiente nullo).

Abbiamo {a=5} e {c=-11}. I due coefficienti sono discordi (hanno segno diverso), e quindi l’equazione avrà due soluzioni.

In particolare le soluzioni dell’equazione sono:

x_1 = \sqrt{-\dfrac{c}{a}}=\sqrt{-\dfrac{-11}{5}}=\sqrt{\dfrac{11}{5}}

e:

x_2 = -\sqrt{-\dfrac{c}{a}}=-\sqrt{\dfrac{11}{5}}

Esempio (equazione pura impossibile)

L’equazione:

7x^2+9=0

è pura poiché il coefficiente {b} è nullo. I coefficienti {a=7} e {b=9} sono concordi (stesso segno) e quindi l’equazione è impossibile. Infatti possiamo riscrivere l’equazione come:

7x^2=-9 \quad \Rightarrow \quad x^2= -\dfrac{9}{7}

ed è immediato a questo punto accorgersi che il quadrato a primo membro non potrà sicuramente essere uguale alla quantità negativa al secondo membro.

Equazioni del tipo (ax+b)²=r

Avvicinandoci sempre di più alle equazioni di secondo grado in forma normale, consideriamo ora equazioni di secondo grado della particolare forma:

\left( ax+b\right)^2=r, \qquad r \in \mathbb{R}

Si tratta di un’equazione che rientra nel caso delle equazioni del tipo {x^2=r}. Infatti, abbiamo un quadrato uguagliato ad un numero reale. Di conseguenza, l’equazione avrà soluzioni soltanto se {r} è un numero positivo o al più nullo.

In modo del tutto simile ai casi precedenti, con {r \geq 0}, estraendo la radice quadrata ad entrambi i membri dell’equazione abbiamo:

|ax+b|=\sqrt{r}

e quindi, per la definizione di modulo:

ax+b=\sqrt{r} \quad \vee \quad ax+b=-\sqrt{r}

ovvero, isolando la {x} in ciascuna disuguaglianza, diversificando inoltre le due soluzioni con dei numeri in pedice:

x_1 = \dfrac{\sqrt{r}-b}{a};  \qquad x_2= \dfrac{-\sqrt{r}-b}{a}

Nel caso in cui sia {r=0} le soluzioni si riducono a:

x_1 = -\dfrac{b}{a}; \qquad x_2=-\dfrac{b}{a}

ovvero abbiamo due soluzioni reali e coincidenti.

Esempio 1 (equazioni del tipo (ax+b)²=r)

L’equazione:

(x+3)^2=16

ammette due soluzioni reali e distinte poiché è del tipo {(ax+b)^2=r} ed inoltre {r} è maggiore di zero (non nullo).

Abbiamo le due soluzioni:

\small \begin{align*} & x_1 = \dfrac{\sqrt{r}-b}{a}= \dfrac{\sqrt{16}-3}{1} = \sqrt{16}-3=4-3=1\\ \\ &  x_2= \dfrac{-\sqrt{r}-b}{a}=\dfrac{-\sqrt{16}-3}{1} = -\sqrt{16}-3=-4-3=-7\end{align*}

Esempio 2 (equazioni del tipo (ax+b)²=r)

L’equazione:

(x-7)^2=-5

è impossibile poiché un quadrato non può essere uguale ad una quantità negativa.

Tecnica di completamento del quadrato

Passiamo finalmente a considerare delle equazioni di secondo grado molto vicine alla forma più generale. Ci occuperemo nello specifico di equazioni della particolare forma:

x^2+bx+c=0

ovvero di equazioni ove sia {a=1}, {b, c \neq 0}.

Grazie alla tecnica di completamento del quadrato, che illustreremo tra un istante, è possibile riesprimere il polinomio al primo membro come somma del quadrato di un binomio e di una certa costante. In tal modo sarà possibile ridursi ad un’equazione del tipo {\left( ax+b\right)^2 = r}, che sappiamo risolvere.

Esempio (tecnica di completamento del quadrato)

Risolvere la seguente equazione:

x^2+5x-4=0

Consideriamo per ora soltanto la somma di termini {x^2+5x}, ovvero trascuriamo il termine noto. Vogliamo in particolare aggiungere alla quantità {x^2+5x} un’opportuna costante, in modo da ottenere il quadrato di un binomio.

Osserviamo che {x^2} è il quadrato di {x}, mentre {5x} è il doppio prodotto dei termini {\dfrac{5}{2}} e {x}. Così, per avere lo sviluppo del quadrato di un binomio dovremo aggiungere il termine {\left( \dfrac{5}{2}\right)^2}, ovvero {\dfrac{25}{4}}:

x^2+5x+\dfrac{25}{4}

corrispondente al quadrato di un binomio:

\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2

Ora, tornando all’equazione iniziale, dovremo aggiungere e togliere la quantità {\dfrac{25}{4}}, in modo da non alterare l’equazione stessa e allo stesso tempo poter riesprimere il primo membro come somma di un quadrato e di una costante:

\underbrace{x^2+5x+\dfrac{25}{4}}_{ \left(x+\frac{5}{2}\right)^2}-\dfrac{25}{4}-4=0

e quindi:

\underbrace{\left( x+\dfrac{5}{2}\right)^2 +\dfrac{-25-16}{4}}_{\tiny \text{somma di un quadrato e di una costante}}=0

ovvero:

\left( x+\dfrac{5}{2}\right)^2 =\dfrac{41}{4}

Ma a questo punto abbiamo un’equazione del tipo {(ax+b)^2=r}, che sappiamo risolvere. L’equazione è sicuramente determinata poiché {r} è positivo. Abbiamo in conclusione:

\small \begin{align*} & x_1 = \dfrac{\sqrt{r}-b}{a}= \dfrac{\sqrt{\dfrac{41}{4}}-\dfrac{5}{2}}{1} =\dfrac{\sqrt{41}-5}{2}\\ \\ &  x_2= \dfrac{-\sqrt{r}-b}{a}=\dfrac{-\sqrt{41}-5}{2}\end{align*}

Osservazione. La tecnica di completamento del quadrato è piuttosto laboriosa e non è certamente conveniente per risolvere le equazioni di secondo grado. Tuttavia, riusciremo nel prossimo paragrafo a dimostrare la formula risolutiva generale delle equazioni di secondo grado proprio grazie a tale tecnica. Infine, la tecnica di completamento del quadrato sarà di grande utilità nel proseguo dei vostri studi. In particolare, risulterà utile per il calcolo di alcuni tipi di integrali.

Dimostrazione della formula risolutiva generale delle equazioni di secondo grado

A questo punto abbiamo tutti gli strumenti per dimostrare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Ricordiamo che data un’equazione di secondo grado nella forma normale:

ax^2+bx+c=0, \qquad a \neq 0, \: a,b,c \in \mathbb{R}

se la quantità {\Delta=b^2-4ac} è non negativa, le soluzioni dell’equazione sono della forma:

x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Per dimostrare la formula, dobbiamo cercare di risolvere l’equazione {ax^2+bx+c=0} utilizzando la tecnica di completamento del quadrato. In questo caso lo sforzo richiesto sarà maggiore, poiché abbiamo in generale {a \neq 1}.

Data allora l’equazione:

ax^2+bx+c=0

cerchiamo di esprimere il primo membro come somma del quadrato di un binomio e di una costante. Cominciamo raccogliendo il primo membro per il coefficiente {a}:

a \left( \dfrac{ax^2}{a}+\dfrac{bx}{a}+\dfrac{c}{a}\right)=0

ovvero:

a \left( x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}\right)=0

Applicando la legge di annullamento del prodotto abbiamo:

a=0 \quad \vee \quad x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0

La prima uguaglianza è evidentemente falsa e non porta ad alcuna soluzione. Rimane allora da ragionare sull’equazione:

x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0

Cerchiamo di esprimere il primo membro come somma del quadrato di un binomio e di una costante. Consideriamo la quantità {x^2+\dfrac{b}{a}x}. Il termine {\dfrac{b}{a}x} è in particolare il doppio prodotto tra i termini{ \dfrac{b}{2a}} e {x}. Così dovremo aggiungere e togliere dal primo membro la quantità {\left( \dfrac{b}{2a}\right)^2}, ovvero {\dfrac{b^2}{4a^2}}:

x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0

ovvero, riconoscendo nei primi tre termini lo sviluppo di un quadrato di un binomio:

\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0

e quindi:

\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}

e infine, mettendo i termini al secondo membro a denominatore comune:

\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}

Abbiamo a questo punto un’equazione del tipo {(Ax+B)^2=r} ponendo {A=1}, {B=\dfrac{b}{2a}} e {r=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}.

Possiamo allora determinare le due soluzioni, però unicamente nel caso in cui la quantità a secondo membro sia positiva o al più nulla (ovvero sia {r \geq 0}). Ma dato che il denominatore {4a^2} essendo un quadrato è certamente positivo, l’equazione avrà soluzioni reali soltanto se il numeratore {b^2-4ac} è maggiore di zero o al più nullo. Ma in tale numeratore riconosciamo proprio il simbolo {\Delta} e quindi il discriminante delle equazioni di secondo grado (vedi la prima parte della presente lezione).

Rileggendo quindi l’equazione nella forma {(Ax+b)^2=r} otteniamo le soluzioni:

 \begin{align*} & x_1 = \dfrac{\sqrt{r}-B}{A}= \sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|}-\dfrac{b}{2a};\\ \\ &  x_2= \dfrac{-\sqrt{r}-B}{A}=-\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}-\dfrac{b}{2a}= -\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|}-\dfrac{b}{2a}\end{align*}

Osserviamo che nei passaggi abbiamo utilizzato la proprietà del radicale del rapporto ed inoltre per la proprietà fondamentale dei radicali si ha {\sqrt{4a^2}=|2a|=2|a|}.

Tuttavia, poiché nelle soluzioni la frazione contenente il radicale si presenta con segno più in una soluzione e con segno meno nell’altra soluzione, se anche consideriamo la quantità {-2|a|} a denominatore di tale frazione comunque otteniamo correttamente le soluzioni dell’equazione (risultano soltanto scambiate tra loro). Quindi il segno che abbiamo davanti alla quantità {2|a|} non conta. Ma allora in questo particolare caso possiamo sostituire il termine {2|a|} con {2a}, eliminando il simbolo di modulo. E così facendo è possibile semplificare le espressioni delle soluzioni.

Di conseguenza, possiamo esprimere le soluzioni come segue:

\begin{align*} &x_1= \dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}; \\ \\ & x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align*}

Ritroviamo così la formula risolutiva generale delle equazioni di secondo grado, che quindi è dimostrata:

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad \Delta = b^2-4ac \geq 0

Per quanto riguarda come risolvere le equazioni di secondo grado è tutto. A chi vuole allenarsi con gli esercizi, consigliamo anche la scheda di esercizi correlata.

Nella prossima lezione ci occuperemo della relazione fra le equazioni di secondo grado e la parabola. Inoltre, nella lezione ancora successiva ci occuperemo delle equazioni di secondo grado parametriche. Buon proseguimento!