Semplificazione dei radicali

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Radicali

In questa lezione vediamo la semplificazione dei radicali, ovvero le tecniche relative a come semplificare i radicali. Per eseguire tali semplificazioni utilizzeremo un’importante proprietà dei radicali: la proprietà invariantiva.

Nella prima parte della lezione ci occuperemo proprio della proprietà invariantiva dei radicali. In tal modo saremo pronti per la parte successiva, nella quale presenteremo le tecniche di semplificazione dei radicali.

L’obiettivo della semplificazione dei radicali è quello di riscrivere un radicale di modo che l’indice e gli esponenti del radicando siano numeri più piccoli possibile. Inoltre, come vedremo nella seconda parte della lezione, ove possibile dovremo portare dei fattori fuori dal simbolo di radice.

Fatte le dovute premesse, cominciamo subito questa lezione su come semplificare i radicali.

Proprietà invariantiva dei radicali

Come preparazione per lo studio delle regole per la semplificazione dei radicali, introduciamo la proprietà invariantiva dei radicali.

Sia dato un numero reale {a} positivo o al più nullo. Sotto tale ipotesi, indicati con {m, \: n} e {p} dei numeri naturali non nulli è valida l’uguaglianza: {\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}} che costituisce la proprietà invariantiva dei radicali.

La regola pratica corrispondente è la seguente:

Il valore di un radicale non cambia se dividiamo oppure moltiplichiamo entrambi l’indice della radice e l’esponente del radicando per uno stesso numero naturale diverso da zero.

Osserviamo che la precedente uguaglianza può essere letta in entrambi i sensi. Così ad esempio a partire dal radicale:

\sqrt[n]{a^m} 

possiamo scrivere un radicale avente il suo stesso valore moltiplicando sia l’indice {n}, sia l’esponente {m} per lo stesso numero {p}:

\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}

Viceversa, a partire dal radicale:

 \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}

possiamo dividere sia l’indice {n \cdot p}, sia l’esponente del radicando {m \cdot p} per uno stesso numero {p}, ottenendo:

 \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}=\sqrt[\frac{n \cdot p}{p} \: ]{a^{\frac{m \cdot p}{p}}}=\sqrt[n]{a^m}

Importante. Sottolineiamo che la proprietà invariantiva dei radicali vale soltanto se la base {a} della potenza al radicando è un numero positivo o al più nullo.

Vediamo ora alcuni esempi sull’uso della proprietà invariantiva dei radicali.

Esempi (proprietà invariantiva dei radicali)

Esempio 1

Scrivere un radicale che ha lo stesso valore del radicale:

\sqrt[3]{2^5}

Possiamo procedere moltiplicando sia l’indice del radicale, sia l’esponente del radicando per una stessa quantità diversa da zero. Ad esempio, possiamo moltiplicare l’indice del radicale e l’esponente del radicando per la stessa quantità {2}:

\sqrt[3 \cdot 2]{2^{5 \cdot 2}}= \sqrt[6]{2^{10}}

Il radicale appena scritto ha lo stesso valore di quello di partenza.

Esempio 2

Scrivere un radicale avente lo stesso valore del radicale:

\sqrt[20]{4^5}

Possiamo dividere entrambi l’indice del radicale e l’esponente del radicando per {5}, ottenendo:

\sqrt[\frac{20}{5}\:]{4^{\frac{5}{5}}}=\sqrt[4]{4^1}=\sqrt[4]{4}

Esempio 3

Non è possibile applicare la proprietà invariantiva al seguente radicale:

\sqrt[5]{(-2)^3}

Infatti la base del radicando è negativa. Volendo comunque provare, moltiplicando sia l’indice del radicale, sia l’esponente del radicando ad esempio per {4} otteniamo:

\sqrt[5 \cdot 4]{(-2)^{3 \cdot 4}}=\sqrt[20]{(-2)^{12}}=\sqrt[20]{2^{12}}

Osserviamo che il radicale ottenuto corrisponde ad un valore positivo ed è quindi diverso dal radicale di partenza, il cui valore corrispondente è negativo (infatti {\sqrt[5]{(-2)^3} = \sqrt[5]{-8} <0 }).

Dimostrazione della proprietà invariantiva dei radicali

Proviamo ora a dimostrare la proprietà invariantiva dei radicali. Ricordiamo anzitutto che un qualunque radicale può essere riscritto come una potenza ad esponente frazionario. Così, l’uguaglianza che esprime la proprietà invariantiva (valevole secondo le ipotesi date in precedenza):

\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}

può essere riscritta come:

a^{\frac{n}{m}} = a^{\frac{n \cdot p }{m \cdot p}}

Ora, le basi delle potenze a sinistra e a destra del simbolo di uguale sono tra loro uguali. Così, intuitivamente comprendiamo che l’uguaglianza è verificata soltanto se sono uguali tra loro gli esponenti, ovvero se:

\dfrac{n}{m}= \dfrac{n \cdot p }{m \cdot p}, \qquad (*)

Ma tale uguaglianza si giustifica per la proprietà invariantiva della divisione. Infatti, possiamo rileggere la frazione {\dfrac{n}{m}} come la divisione {n : m}, e la frazione {\dfrac{n \cdot p }{m \cdot p}} come la divisione {(n \cdot p) : (m \cdot p)}. E, per la proprietà invariantiva della divisione, è possibile moltiplicare o dividere per una stessa quantità non nulla entrambi il dividendo e il divisore, senza che il risultato della divisione cambi. Quindi, considerando la quantità {p}:

n:m = (n \cdot p ): (m \cdot p)

da cui segue l’uguaglianza *.

Precisiamo che la precedente uguaglianza si giustifica immediatamente eseguendo una semplificazione: {\dfrac{n}{m}= \dfrac{n \cdot\cancel{ p} }{m \cdot \cancel{p}}} Ma del resto, una tale semplificazione discende dalla proprietà invariantiva della divisione.

Semplificazione dei radicali

Ora che abbiamo visto la proprietà invariantiva possiamo introdurre la regola per la semplificazione dei radicali.

Limitiamoci per il momento alla semplificazione di radicali nei quali il radicando contenga esclusivamente numeri. Vedremo successivamente il caso di radicando letterale.

Per semplificare un radicale della forma {\sqrt[n]{a^m}}, con {a} numero reale positivo o nullo, basta dividere l’indice del radicale e l’esponente del suo radicando per il massimo comune divisore degli stessi indice ed esponente (nel caso in cui tale massimo comune divisore sia diverso da {1}). Otteniamo in questo modo un radicale che ha lo stesso valore di quello di partenza e che non può essere ulteriormente semplificato (radicale irriducibile).

E’ sempre possibile in generale dividere indice ed esponente del radicando per un divisore comune che non sia necessariamente il massimo comune divisore. In tal caso, tuttavia, il radicale non sarà riducibile e dovrà essere ulteriormente semplificato.

La regola discende direttamente dalla proprietà invariantiva dei radicali. Infatti, nel semplificare un radicale quello che facciamo è dividere indice del radicale ed esponente del radicando per una stessa quantità. E non a caso, nella semplificazione dei radicali abbiamo la stessa condizione della proprietà invariantiva: la base {a} del radicando deve essere positiva o al più nulla.

Esempi sulla semplificazione dei radicali (radicando con quantità numeriche)

Esempio 1

Semplificare il seguente radicale:

\sqrt[4]{25}

Per semplificare un radicale dobbiamo ragionare anche con l’esponente del radicando. Riscriviamo allora il radicando stesso come una potenza:

\sqrt[4]{25}=\sqrt[4]{5^2}

Ora abbiamo individuato l’esponente del radicando e possiamo effettuare la semplificazione del radicale. Calcoliamo il massimo comune divisore dell’indice del radicale e dell’esponente del radicando:

\text{MCD}(4, 2)=2

Ora non resta che dividere l’indice e l’esponente del radicando per l’MCD appena trovato:

\sqrt[4]{5^2}=\sqrt[4:2]{5^{2:2}}=\sqrt{5}

Abbiamo così semplificato il radicale di partenza e possiamo in conclusione scrivere:

\sqrt[4]{25}=\sqrt{5}

E’ evidente il vantaggio della semplificazione. Per determinare infatti un valore approssimato del radicale nella forma iniziale avremmo dovuto calcolare una radice quarta. Grazie alla semplificazione possiamo invece calcolare una più semplice radice quadrata.

Esempio 2

Semplificare il radicale:

\sqrt[6]{16}

Come nel caso precedente, riscriviamo il radicando sotto forma di potenza:

\sqrt[6]{16}=\sqrt[6]{4^2}

A questo punto dividiamo indice del radicale ed esponente del radicando per il loro massimo comune divisore, ovvero {2}:

\sqrt[6]{4^2}=\sqrt[6:2]{4^{2:2}}=\sqrt[3]{4}

Ora, poiché {4=2^2} e l’esponente {2} non ha alcun divisore in comune con {3} (eccetto ovviamente {1}), concludiamo che la semplificazione del radicale di partenza è così terminata. In altre parole, il radicale {\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^2}} è irriducibile poiché {\text{MCD}(3,2)=1}.

Semplificazione di radicali con radicando dato da un prodotto tra potenze

Supponiamo di voler semplificare il seguente radicale:

\sqrt[12]{2^6 \cdot 5^3}

Possiamo cavarcela con le proprietà delle potenze. Concentriamoci sul solo radicando per ora. Riscriviamo ciascuna potenza sotto forma di potenze di potenze, tali da avere lo stesso esponente più esterno:

2^6 \cdot 5^3 = (2^2)^3 \cdot (5^1)^3

Per la regola del prodotto tra potenze aventi uguale esponente:

 (2^2)^3 \cdot (5^1)^3=(2^2 \cdot 5^1) ^3=(2^2 \cdot 5)^3

Abbiamo così ottenuto un’espressione per il radicando nella quale abbiamo una sola base ({2^2 \cdot 5}) e un solo esponente ({3}). Possiamo quindi riscrivere il radicale di partenza come:

\sqrt[12]{(2^2\cdot 5)^3}

A questo punto possiamo semplificare il radicale. In particolare, dividiamo indice ed esponente del radicando per il loro massimo comune divisore, ovvero {3}:

\sqrt[12]{(2^2\cdot 5)^3}=\sqrt[12:3]{(2^2 \cdot 5)^{3:3}}=\sqrt[4]{2^2 \cdot 5}

Abbiamo così semplificato il radicale di partenza.

Osservazione. E’ anche possibile semplificare ulteriormente il radicale riscrivendolo come un prodotto fra due radicali, dei quali uno dei due può essere semplificato. Ci occuperemo di questa ulteriore tecnica introducendo la regola del prodotto fra radicali aventi lo stesso indice.

La regola generale per semplificare un radicale ove al radicando compaiono prodotti tra potenze è la seguente.

E’ possibile semplificare un radicale ove al radicando abbiamo prodotti tra potenze dividendo l’indice del radicale e ciascun esponente delle potenze al radicando per il massimo comune divisore degli esponenti al radicando e dell’indice del radicale.

Così riprendendo l’esempio precedente, poiché {\text{MCD}(6,3,12)=3} abbiamo:

\sqrt[12]{2^6 \cdot 5^3}=\sqrt[12:3]{2^{6:3} \cdot 5 ^{3:3}}=\sqrt[4]{2^2 \cdot 5}

Vediamo ulteriori esempi.

Esempio 1

Semplificare il seguente radicale:

\sqrt[6]{2^3 \cdot 5^3 \cdot 7^6}

Calcoliamo il massimo comune divisore di tutti gli esponenti delle potenze nel radicando e dell’indice del radicale:

\text{MCD}(3,3,6,6)=3

Infine, dividiamo l’indice del radicale e tutti gli esponenti nel radicando per il massimo comune divisore appena trovato:

\sqrt[6]{2^3 \cdot 5^3 \cdot 7^6}=\sqrt[6:3]{2^{3:3} \cdot 5^{3:3} \cdot 7^{6:3}}=\sqrt{2 \cdot 5 \cdot 7^2}

Esempio 2

Semplificare il seguente radicale:

\sqrt[8]{\dfrac{3^2}{5^2 \cdot 7^4}}

Qua abbiamo un rapporto tra potenze, tuttavia possiamo riscriverlo come un prodotto tra potenze utilizzando le proprietà degli esponenti negativi:

\sqrt[8]{\dfrac{3^2}{5^2 \cdot 7^4}}=\sqrt[8]{3^2 \cdot 5^{-2} \cdot 7^{-4}}=

Calcoliamo il massimo comune divisore degli esponenti e dell’indice del radicale (considerando gli esponenti di partenza o comunque prendendolo con segno positivo):

\text{MCD}(2, 2, 4,8) = 2

Dividiamo tutti gli esponenti nel radicando e l’indice del radicale per il massimo comune divisore trovato:

=\sqrt[8:2]{3^{2:2} \cdot 5^{-2:2} \cdot 7^{-4:2}}=\sqrt[4]{3 \cdot 5^{-1} \cdot 7^{-2}}=

Infine tenendo di nuovo conto delle proprietà degli esponenti negativi:

= \sqrt[4]{3 \cdot \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{7^2}}=\sqrt[4]{\dfrac{3}{5 \cdot 7^2}}

In breve, anche nel caso di rapporti tra potenze è possibile calcolare il massimo comune divisore di tutti gli esponenti nel radicando e dell’indice del radicale e quindi dividere ciascun esponente nel radicando e l’indice del radicale per tale massimo comune divisore, semplificando il radicale di partenza:

\sqrt[8]{\dfrac{3^2}{5^2 \cdot 7^4}}=\sqrt[8:2]{\dfrac{3^{2:2}}{5^{2:2} \cdot 7^{4:2}}}=\sqrt[4]{\dfrac{3}{5 \cdot 7^2}}

Semplificazione di radicali con indice dispari e base del radicando negativa

E’ possibile semplificare anche radicali con base del radicando negativa ma esclusivamente nel caso in cui l’indice del radicale sia dispari.

Ad esempio:

\sqrt[15]{(-2)^{25}}=\sqrt[15:5]{(-2)^{25:5}}=\sqrt[3]{(-2)^5}

In casi di questo tipo infatti la semplificazione conserva il valore del radicale e non ne altera il segno.

Semplificazione di radicali con base del radicando variabile

Finora abbiamo visto esclusivamente radicali ove al radicando compaiono quantità numeriche. Vediamo ora di estendere i nostri ragionamenti al caso di radicandi dipendenti da variabili. Vogliamo cioè considerare dei radicali ove siano presenti sotto il simbolo di radice delle quantità letterali.

Supponiamo in particolare di avere al radicando un polinomio {P(x)} (che, ricordiamo, può anche avere un solo termine e quindi ridursi ad un monomio). I ragionamenti si estenderanno poi banalmente al caso di polinomi contenenti più variabili.

Partiamo dal seguente radicale in forma generale:

\sqrt[n]{P(x)^m}

Consideriamo il caso in cui sia {n=m}:

\sqrt[n]{P(x)^n}

Nel caso in cui {n} sia pari, il radicale esiste soltanto se il radicando {P(x)^n} è positivo o al più nullo. Ma poiché l’esponente del radicando è pari (infatti coincide con l’indice) siamo certi che anche se {P(x)} è negativo comunque il radicale esiste per ogni valore della {x}. Di conseguenza, {P(x)} può essere indifferentemente positivo o negativo e non abbiamo nessuna informazione per stabilire il suo segno. Perciò, nel semplificare il radicale dovremo porre il risultato entro i simboli di valore assoluto:

\sqrt[n]{P(x)^n}=\sqrt[n:n]{P(x)^{n:n}}=|P(x)|, \qquad n \textbf{ pari}

Nel caso in cui {n} sia invece dispari, semplificando il radicale non ci manca alcuna informazione sul segno e scriviamo:

\sqrt[n]{P(x)^n}=\sqrt[n:n]{P(x)^{n:n}}=P(x), \qquad n \textbf{ dispari}

Così ad esempio abbiamo:

\sqrt{x^2}=|x|; \qquad \sqrt[3]{x^3}=x; \qquad \sqrt{(x+2)^2}=|x+2|

Passiamo ora al caso generale in cui sia {n \neq m}:

\sqrt[n]{P(x)^m}, \qquad n \neq m

Per semplificare radicali di questo tipo dobbiamo determinare il campo di esistenza del radicale di partenza e chiederci se anche il radicale nella forma semplificata ha lo stesso campo di esistenza. In caso contrario, dovremo porre il radicando entro il simbolo di modulo.

Inoltre, anche nel caso in cui sia il radicale di partenza, sia il radicale in forma semplificata abbiano lo stesso campo di esistenza, dobbiamo comunque assicurarci che entrambi i radicali abbiano sempre lo stesso segno. Se ciò non si verifica, dovremo porre gli opportuni fattori presenti nel radicando del radicale semplificato entro il simbolo di modulo.

Vediamo subito degli esempi, tutti relativi a radicali con indice pari (quindi radicali definiti per i valori della {x} tali per cui i radicandi non sono negativi).

Esempio 1

Semplificare il seguente radicale:

\sqrt[6]{(5x-7)^4}

Osserviamo che il radicale esiste per ogni valore reale della {x}. Infatti, l’esponente al radicando è pari, e di conseguenza il radicando sarà positivo o al più nullo per ogni {x}.

Dividiamo l’indice del radicale e l’esponente del radicando per il loro massimo comune divisore, ovvero {2}:

\sqrt[6]{(5x-7)^{4}}=\sqrt[6:2]{(5x-7)^{4:2}}=\sqrt[3]{(5x-7)^2}

Anche il radicale nella forma semplificata esiste per ogni {x}. Per cui non dobbiamo racchiudere il radicando entro il simbolo di modulo.

Esempio 2

Semplificare:

\sqrt[4]{(2x^2+5x-3)^2}

Il radicale esiste per ogni valore della {x}. Infatti, la base del radicando è un polinomio che può essere positivo, negativo o nullo al variare della {x}, ma l’esponente pari al radicando assicura che il radicando stesso sia sempre positivo o al più nullo.

Semplifichiamo il radicale dividendo indice del radicale ed esponente al radicando per {2}:

\begin{align*} & \sqrt[4]{(2x^2+5x-3)^2}=\sqrt[4:2]{(2x^2+5x-3)^{2:2}}= \\ \\ & =\sqrt{2x^2+5x-3} \quad \textbf{attenzione!} \end{align*}

Il radicale nella forma così semplificata, diversamente dal radicale di partenza, non esiste per tutti i valori della {x}. Infatti, abbiamo la radice quadrata (quindi con indice pari) di un polinomio che per certi valori della {x} è negativo.

Dobbiamo allora racchiudere il radicando entro il simbolo di modulo, scrivendo correttamente la semplificazione:

\begin{align*} & \sqrt[4]{(2x^2+5x-3)^2}=\sqrt[4:2]{(2x^2+5x-3)^{2:2}}= \\ \\ & =\sqrt{|2x^2+5x-3}|  \end{align*}

Esempio 3

\sqrt[6]{a^4b^2}

Il radicale esiste per {a, b \in \mathbb{R}}. Dividiamo indice del radicale ed esponenti al radicando per {2}:

\sqrt[6]{a^4b^2}=\sqrt[6:2]{a^{4:2}b^{2:2}}=\sqrt[3]{a^2|b|} 

Come possiamo vedere il radicale nella forma semplificata ha indice dispari e quindi esattamente come il radicale di partenza è definito per tutti i valori reali di {a} e {b}. Tuttavia abbiamo dovuto porre il fattore {b} al radicando entro il simbolo di modulo poiché desideriamo che esattamente come il radicale di partenza anche il radicale nella forma semplificata sia sempre positivo.

Trasportare un fattore fuori dal simbolo di radice

Per la semplificazione dei radicali, in generale può capitare di poter anche portare fuori dal simbolo di radice uno o più fattori del radicando.

Cominciamo ad introdurre la regola nel caso di radicali con radicandi numerici.

E’ possibile trasportare un fattore positivo fuori dal simbolo di radice se il suo esponente è maggiore o uguale all’indice della radice. In tal caso, il fattore che porteremo fuori dal simbolo di radice avrà esponente pari al quoziente della divisione tra l’esponente che il fattore aveva all’interno della radice e l’indice del radicale di partenza. Inoltre, se la divisione ha resto diverso da zero, il fattore comparirà anche all’interno della radice con esponente pari al resto stesso.

Vediamo subito un esempio pratico. Consideriamo il seguente radicale:

\sqrt[3]{2^{11}}

Per prima cosa, osserviamo che l’esponente della base del radicando è maggiore dell’indice della radice. Sappiamo quindi che sarà possibile portare fuori dal simbolo di radice almeno un fattore.

Procediamo dividendo tra loro l’esponente al radicando e l’indice della radice:

11:3=3 \quad \text{con resto } 2  

Per cui porteremo fuori dal simbolo di radice un fattore {2} avente esponente uguale a {3} (il quoziente della divisione appena eseguita) e lasceremo dentro al simbolo di radice un fattore {2} con esponente {2} (il resto della divisione stessa).

\sqrt[3]{2^{11}}=2^3\sqrt[3]{2^2}

Nel caso di radicandi letterali la regola è molto simile ma dobbiamo ragionare in modo diverso a seconda che l’indice della radice è pari oppure è dispari.

Se il radicale ha indice dispari il ragionamento è del tutto simile a quello sinora visto per radicando numerico.

Se il radicale ha indice pari dobbiamo racchiudere i fattori che portiamo fuori dal simbolo di radice entro il simbolo di modulo (valore assoluto).

Ad esempio, consideriamo il seguente radicale:

\sqrt[4]{a^5b^3c^7}

La radice è di indice pari per cui dobbiamo ricordarci di racchiudere gli eventuali fattori che porteremo fuori dal simbolo di radice entro il modulo.

Osserviamo che non è possibile portare fuori nessun fattore {b} poiché l’esponente del fattore {b^3} è minore dell’indice della radice. Possiamo invece portare fuori dei fattori {a} e {c} poiché i corrispondenti esponenti sono maggiori dell’indice della radice.

Per il fattore {a^5}, dividiamo l’esponente {5} per l’indice della radice:

5:4 = 1 \quad \text{con resto} \: 1

Così intanto avremo un fattore {a} fuori dalla radice con esponente {1} e un fattore {a} dentro alla radice sempre con esponente {1}.

Per il fattore {c^7}:

7:4 = 1 \quad \text{con resto} \: 3

Così avremo un fattore con base {c} fuori dal simbolo di radice con esponente {1} e un fattore con base {c} dentro al simbolo di radice con esponente {3}.

Infine, non dimentichiamo: poiché il radicale ha indice pari dobbiamo racchiudere i fattori letterali che portiamo fuori dal simbolo di radice entro il simbolo di modulo.

In conclusione possiamo scrivere:

\sqrt[4]{a^5b^3c^7}=|a|\cdot |c| \cdot \sqrt[4]{ab^3c^3}=|ac|\sqrt[4]{ab^3c^3}

Osserviamo che sia il radicale di partenza, sia il radicale nella forma semplificata sono definiti per {a, b, c \geq 0}. Infatti, le radici hanno indice pari e gli esponenti nei radicandi sono tutti dispari.

Vediamo ora un altro esempio. Consideriamo il seguente radicale:

\sqrt[3]{a^3b^4}

Poiché la radice è di indice dispari non dovremo porre il simbolo di modulo in nessun eventuale fattore che portiamo fuori dalla radice.

L’esponente di {a^3} è uguale all’indice della radice. La divisione tra tale esponente e l’indice della radice fornisce quoziente {1} e resto {0}. Di conseguenza potremo portare fuori dalla radice un fattore {a} senza lasciare nessun fattore {a} all’interno della radice.

Per quanto riguarda {b^4}, applicando le regole sin qui dette concludiamo che possiamo portare fuori dal simbolo di radice un fattore {b} e dobbiamo lasciare dentro al simbolo di radice un fattore di nuovo uguale a {b} (infatti {4:3=1} con resto {1}).

Ricordiamo: l’indice della radice è dispari per cui non dobbiamo racchiudere nessun fattore che portiamo fuori dalla radice stessa entro il modulo.

Abbiamo in conclusione:

\sqrt[3]{a^3b^4}=ab\sqrt[3]{b}

Giustificheremo la regola per portare fuori dei fattori dal simbolo di radice in una delle successive lezioni, introducendo anche la regola inversa per portare un fattore esterno dentro al simbolo di radice.

Esempi di riepilogo sulla semplificazione dei radicali

Abbiamo compreso come semplificare i radicali e come portare fuori dei fattori dal simbolo di radice. A questo punto possiamo occuparci di esempi più generali sulla semplificazione dei radicali che richiedono entrambe le abilità.

Esempio 1

Semplificare il seguente radicale, trasportando fattori fuori dal simbolo di radice ove possibile:

\sqrt{5a^3(a+5)^2}

Osserviamo che il fattore {5} non può essere portato fuori dal simbolo di radice. Infatti, il suo esponente ({1}) è inferiore all’indice della radice. Possiamo invece portare fuori dei fattori sia per quanto riguarda il fattore {a^3}, sia per il fattore {(a+5)^2}. Infatti, entrambi hanno esponente non inferiore all’indice della radice.

L’indice della radice è sottinteso e come sappiamo è uguale a {2} (radice quadrata). Per il fattore {a^3} procediamo dividendo il suo esponente per l’indice della radice:

3:2 = 1 \quad \text{con resto} \: 1

Così intanto potremo portare fuori dal simbolo della radice un fattore {|a|} e lasceremo all’interno della radice un fattore {a}. Il fattore che abbiamo portato fuori ha il simbolo di modulo poiché il radicale ha indice pari.

Per quanto riguarda il fattore {(a+5)^2}, dividendo il suo esponente per l’indice del radicale:

2:2=1 \quad \text{con resto} \: 0

Così avremo un fattore {|a+5|} fuori dal simbolo di radice e nessun fattore {a+5} all’interno della radice stessa. Infatti, nella precedente divisione abbiamo ottenuto resto zero.

Possiamo quindi scrivere in conclusione:

\small \sqrt{5a^3(a+5)^2}=|a| \cdot |a+5| \cdot \sqrt{5a}=|a(a+5)|\sqrt{5a}

Osserviamo che sia il radicale di partenza, sia il radicale nella forma semplificata sono definiti per {a \geq 0}. Ciò è dovuto al fatto che l’indice della radice è pari e abbiamo nei radicandi un fattore {a} sempre con esponente dispari.

Esempio 2

Semplificare il seguente radicale, trasportando eventuali fattori fuori dal simbolo di radice:

\sqrt[3]{a^3(a+1)}

Osserviamo che possiamo portare fuori dal simbolo di radice solo un fattore con base {a}. Infatti, il fattore {a+1} ha esponente minore del simbolo di radice.

Per il fattore {a^3} eseguendo la divisione tra il suo esponente e l’indice della radice abbiamo:

3:3 = 1 \quad \text{con resto} \: 0

Per cui possiamo scrivere in conclusione:

\sqrt[3]{a^3(a+1)}=a\sqrt[3]{a+1}

Non abbiamo racchiuso il fattore {a} fuori dalla radice nel simbolo di modulo poiché l’indice della radice è dispari.

Esempio 3

\sqrt[8]{a^4(a+b)^4}

Qui non possiamo portare fuori nessun fattore dal simbolo di radice. Infatti, gli esponenti dei fattori nel radicando sono tutti minori dell’indice della radice.

Per semplificare il radicale, proviamo allora a ragionare con la tecnica vista nella prima parte della lezione:

\sqrt[8]{a^4(a+b)^4}=\sqrt[8]{[a(a+b)]^4}=\sqrt[8:4]{[a(a+b)]^{4:4}}=\sqrt{|a(a+b)|}

Ricordiamo, abbiamo utilizzato le proprietà del prodotto fra potenze di uguale esponente e quindi abbiamo diviso l’esponente al radicando e l’indice della radice per il MCD tra gli stessi indice ed esponente. Infine, abbiamo racchiuso il radicando entro il simbolo di modulo per mantenere le condizioni di esistenza del radicale di partenza (il radicale ha indice pari). Infatti, mentre le potenze quarte nel radicale di partenza sono quantità sicuramente positive, non possiamo dire altrettanto per i fattori {a} ed {a+b}.

Osserviamo inoltre che in alternativa, come evidenziato nella lezione, avremmo potuto semplificare il radicale semplicemente dividendo l’indice del radicale e gli esponenti al radicando per il loro massimo comune divisore, ovvero {\text{MCD}(8, 4, 4)= 2}. Ovviamente anche in questo caso è necessario utilizzare i simboli di modulo ove necessario.

Per quanto riguarda la semplificazione dei radicali è tutto. Nella prossima lezione ci occuperemo della somma di radicali simili. Buon proseguimento!