Esercizi sulla semplificazione dei radicali

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Radicali

In questa scheda presentiamo degli esercizi sulla semplificazione dei radicali, svolti e commentati. Nel seguito richiameremo le regole principali da utilizzare, secondo quanto visto nella lezione teorica.

Svolgeremo quindi gli esercizi sulla semplificazione dei radicali sia riducendoli utilizzando la proprietà invariantiva, sia portando fuori dei fattori dal simbolo di radice, ove possibile. Vedremo inoltre sia casi relativi a radicandi numerici, sia casi relativi a radicandi variabili. E nel caso in cui il radicando dipende da una variabile, nell’eseguire la semplificazione dovremo porre delle opportune condizioni. Infatti, desideriamo che il campo di esistenza del radicale semplificato sia lo stesso di quello relativo al radicale di partenza. Inoltre, vogliamo anche che il radicale semplificato mantenga il segno del radicale di partenza.

Occupiamoci allora subito degli esercizi sulla semplificazione dei radicali.

Esercizi sulla semplificazione dei radicali, svolti e commentati

Prima parte: radicali con radicandi numerici

Esercizio 1

Semplificare il seguente radicale:

\sqrt[10]{100}

Ci ritroviamo con una radicale avente indice {10}. Per semplificare il radicale occorre prima di tutto riesprimere il radicando sotto forma di potenza. Abbiamo:

\sqrt[10]{100}=\sqrt[10]{10^2}

Ora, per semplificare il radicale possiamo utilizzare una regola che è conseguenza della proprietà invariantiva dei radicali. Si tratta in particolare di dividere l’indice del radicale e l’esponente del radicando per il loro massimo comune divisore. In questo caso:

\text{MCD}(10, 2)=2

Così per eseguire la semplificazione del radicale basterà dividere l’indice della radice e l’esponente del radicando per {2}:

\sqrt[10:2]{10^{2:2}}=\sqrt[5]{10}

Osserviamo che non è possibile semplificare ulteriormente il radicale. Infatti, per verificare questo basta scomporre il radicando in fattori primi:

\sqrt[5]{10}=\sqrt[5]{2 \cdot 5}

Come possiamo vedere non esiste un massimo comune divisore dell’indice della radice e degli esponenti al radicando che sia diverso da {1}. Così {\sqrt[5]{10}} è il radicale dato nella forma semplificata finale.

Possiamo quindi scrivere in conclusione:

\sqrt[10]{100}=\sqrt[5]{10}

Esercizio 2

Semplificare il seguente radicale:

\sqrt[8]{1600}

Scomponiamo il radicando in fattori primi. L’obiettivo è quello di riscrivere il radicando in una forma contenente potenze, in modo da poter eventualmente dividere gli esponenti e l’indice della radice per uno stesso numero. Abbiamo:

\sqrt[8]{1600}=\sqrt[8]{16 \cdot 100}=\sqrt[8]{2^4 \cdot 10^2}=\sqrt[8]{2^4 \cdot (5 \cdot 2)^2}=\sqrt[8]{2^6 \cdot 5^2}

A questo punto determiniamo il massimo comune divisore dell’indice della radice e degli esponenti al radicando:

\text{MCD}(8, 6, 2)=2

Ora non resta che dividere indice della radice ed esponenti al radicando per tale quantità:

\sqrt[8:2]{2^{6:2} \cdot 5^{2:2}}=\sqrt[4]{2^3 \cdot 5}=\sqrt[4]{40}

Abbiamo così semplificato il radicale di partenza e possiamo scrivere in definitiva:

\sqrt[8]{1600}=\sqrt[4]{40}

Esercizio 3

Semplificare il seguente radicale:

\sqrt[6]{\dfrac{1296}{625}}

Scomponiamo in fattori primi entrambi il numeratore e il denominatore del radicando. Cominciamo dal numeratore:

Quindi per il numeratore: {1296= 2^4 \cdot 3^4}. Veniamo ora al denominatore:

625=25^2=(5^2)^2=5^4

Così per il radicale di partenza abbiamo:

\sqrt[6]{\dfrac{1296}{625}}=\sqrt[6]{\dfrac{2^4 \cdot 3^4}{5^4}}=

A questo punto non resta che dividere indice della radice ed esponenti al radicando per il loro massimo comune divisore, ovvero {2}:

=\sqrt[6:2]{\dfrac{2^{4:2} \cdot 3^{4:2}}{5^{4:2}}}=\sqrt[3]{\dfrac{2^2 \cdot 3^2}{5^2}}=\sqrt[3]{\dfrac{36}{25}}

Esercizio 4

Semplificare:

\sqrt[8]{3^4 \cdot 2^6 }

In questo caso il radicando è già scomposto in fattori primi. Per cui ci rimane soltanto da utilizzare la proprietà invariantiva dei radicali, dividendo l’indice del radicale e gli esponenti al radicando per una stessa quantità. E tale quantità come ormai sappiamo è il massimo comune divisore tra l’indice del radicale e gli esponenti al radicando, ovvero {\text{MCD}()8, 4, 6}=2. Abbiamo quindi:

\sqrt[8]{3^4 \cdot 2^6 }=\sqrt[8:2]{3^{4:2} \cdot 2^{6:2}}=\sqrt[4]{3^2 \cdot 2^3}

Esercizio 5

Semplificare il seguente radicale:

\sqrt[5]{2^7\cdot 3^4}

Osserviamo che l’esponente del fattore {2^7} è maggiore dell’indice del radicale. Di conseguenza possiamo portare fuori dal simbolo di radice un opportuno fattore dato da una potenza di {2}. In particolare, dividendo l’esponente di {2^7} per l’indice {5} otteniamo quoziente {1} e resto {2}. Così fuori dal simbolo di radice avremo un fattore con base {2} ed esponente {1}, e dentro al simbolo di radice un fattore con base {2} ed esponente {2}:

\sqrt[5]{2^7\cdot 3^4}=2^1 \cdot \sqrt[5]{2^2 \cdot 3^4 }=2 \cdot \sqrt[5]{2^2 \cdot 3^4 }

Osserviamo che relativamente alla potenza {3^4} non possiamo portare fuori nessun fattore. Infatti, l’esponente di tale potenza è minore dell’indice della radice. Quindi la semplificazione è così terminata.

Esercizio 6

Semplificare il seguente radicale:

\sqrt[25]{-2^5}

Osserviamo che il radicando è negativo e l’indice della radice è dispari. Possiamo quindi portare fuori il segno meno, scrivendo:

\sqrt[25]{-2^5}=-\sqrt[25]{2^5}=

Ora possiamo semplificare il radicale secondo le regole già viste:

=-\sqrt[25:5]{2^{5:5}}=-\sqrt[5]{2}

Seconda parte: radicali con radicandi letterali

Esercizio 7

Semplificare il seguente radicale con radicando dipendente dalla variabile:

\sqrt[8]{a^4}

Nel caso di radicando dipendente da una variabile dobbiamo per prima cosa determinare il campo di esistenza del radicale di partenza. In questo caso, il radicale è definito per ogni valore reale della variabile {a}. Infatti, l’esponente al radicando è pari e di conseguenza il radicando sarà sempre positivo. Per cui il fatto che l’indice del radicale sia pari non ci costringe in questo particolare caso ad imporre alcuna condizione.

Semplifichiamo a questo punto il radicale dividendo per {4} l’indice del radicale e l’esponente del radicando:

\sqrt[8:4]{a^{4:4}}=\underline{\sqrt{a}} \qquad \textbf{attenzione!}

Ora, ricordiamo che pretendiamo che il radicale nella forma semplificata abbia le stesse condizioni di esistenza del radicale di partenza. Tuttavia, mentre il radicale di partenza è definito per tutti i valori reali di {a}, il radicando nella forma semplificata è definito soltanto per i valori non negativi di {a}. Infatti, l’indice della radice è pari e l’esponente del radicando è dispari (in questo caso, {1}). Così, dobbiamo escludere l’eventualità che il radicando {a} sia negativo. E per fare questo, dobbiamo racchiudere il radicando del radicale semplificato entro il simbolo di modulo:

\sqrt[8]{a^4}=\sqrt[8:4]{a^{4:4}}=\boxed{\sqrt{|a}|} \qquad \forall \: a \in \mathbb{R}

Esercizio 8

Semplificare il seguente radicale:

\sqrt[3]{(a-2)^3}

Osserviamo che l’indice della radice è dispari per cui il radicando può essere indifferentemente positivo, negativo o nullo. Per cui il radicale esiste per ogni valore di {a}. Abbiamo, semplificando:

\sqrt[3]{(a-2)^3}=\sqrt[3:3]{(a-2)^{3:3}}=a-2 \qquad \forall \: a \in \mathbb{R}

Osserviamo che sia il radicale di partenza, sia il radicale nella forma semplificata esistono per ogni valore reale della variabile. Inoltre, il segno di entrambi i radicali dipende dal segno di {a-2}.

Esercizio 9

Semplificare il seguente radicale:

\sqrt[12]{a^3 (a-1)^6}

Osserviamo che il radicale esiste per i soli valori della variabile {a} positivi (compreso lo zero). Infatti, l’indice della radice è pari ma il fattore {a^3} ha esponente dispari. Di conseguenza tale fattore può essere anche negativo, ma questa eventualità visto l’indice della radice deve essere esclusa.

Eseguiamo la semplificazione e vediamo se il radicando in forma semplificata ha lo stesso campo di esistenza del radicando di partenza:

\sqrt[12]{a^3 (a-1)^6}=\sqrt[12:3]{a^{3:3}(a-1)^{6:3}}=\sqrt[4]{a(a-1)^2}, \quad a \geq 0

Anche il radicale nella forma semplificata esiste per {a \geq 0}. Infine, entrambi i radicali sono sempre positivi.

Esercizio 10

Semplificare:

\sqrt[18]{a^{10}+2a^8+a^6}

Osserviamo che il radicale esiste per ogni {a} reale. Infatti, l’indice del radicale è pari ma al radicando abbiamo una somma di termini tutti positivi. Infatti, ciascun termine è una potenza con esponente pari, quindi sempre positiva.

Inoltre, il radicale è positivo per ogni valore di {a}.

Ora, attenzione: non possiamo al momento eseguire alcuna semplificazione poiché al radicando abbiamo una somma di termini e non un prodotto.

Cominciamo eseguendo un raccoglimento nel radicando:

\sqrt[18]{a^{10}+2a^8+a^6}=\sqrt[18]{a^6(a^4+2a^2+1)}=

Ora è fondamentale riconoscere nel polinomio {a^4+2a^2+1} il quadrato di un binomio:

=\sqrt[18]{a^6 \cdot (a^2+1)^2}=

Ora al radicando abbiamo un prodotto e possiamo semplificare. Semplifichiamo allora il radicale dividendo l’indice e ciascun esponente per il loro massimo comun divisore:

=\sqrt[18:2]{a^{6:2} \cdot (a^{2}+1)^{2:2}}= \sqrt[9]{|a^3| (a^2+1)}  \qquad \forall \: a \in \mathbb{R}

Anche il radicale nella forma semplificata esiste per ogni valore reale di {a}. Infatti l’indice del radicale è dispari e di conseguenza il radicando può essere indifferentemente positivo, negativo o nullo. Osserviamo che abbiamo dovuto racchiudere il fattore {a^3} entro il simbolo di modulo al fine di mantenere il segno del radicale. Infatti, il radicale di partenza è sempre positivo.

Esercizio 11

Veniamo all’ultimo di questa serie di esercizi sulla semplificazione dei radicali.

\sqrt{\dfrac{4(a-1)^2}{b^2}}

Osserviamo che il radicale di partenza è definito per ogni valore delle variabili {a} e {b}, escluso il valore {b=0}. Inoltre questo è sempre positivo.

Riscriviamo anzitutto il radicando con tutti i suoi fattori nella forma di potenze:

\sqrt{\dfrac{4(a-1)^2}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{2^2 (a-1)^2}{b^2}}=

Ora semplifichiamo il radicale:

=\sqrt[2:2]{\dfrac{2^{2:2} (a-1)^{2:2}}{b^{2:2}}}=\dfrac{2 |a-1|}{|b|}, \quad a, b \in \mathbb{R}, \: b \neq 0

Osserviamo che abbiamo dovuto utilizzare i simboli di modulo per far sì che anche il “radicale” nella forma semplificata sia sempre positivo. Chiaramente abbiamo scritto “radicale” tra virgolette poiché in realtà la forma semplificata è una frazione algebrica (che comunque può essere vista come un radicale avente indice {1}).

Per quanto riguarda gli esercizi sulla semplificazione dei radicali è tutto. Buon proseguimento con SìMatematica!