Potenze con esponente negativo

 - 

Domande e risposte

Quale è la regola o formula per calcolare le potenze con esponente negativo? Come bisogna comportarsi nel caso sia di numeri, sia di frazioni? Potreste spiegarmi il calcolo di potenze quali {2^{-3}} e {\left( \dfrac{1}{2}\right)^{-2}}?

Le potenze con esponente negativo sono particolari potenze nelle quali compare come esponente un numero intero negativo (o anche razionale). Per calcolare le potenze con esponente negativo basta utilizzare una semplice regola, che riportiamo a seguire.

Una potenza con esponente negativo può essere riscritta come una potenza con esponente positivo (quest’ultimo uguale in valore assoluto all’esponente di partenza) a patto di sostituire la base con il suo reciproco.

In parole povere, si tratta di togliere il segno meno dall’esponente sostituendo allo stesso tempo la base con il suo reciproco.

Ricordiamo che il reciproco di un numero è una frazione avente numeratore uguale a {1} e denominatore uguale al numero stesso. Così ad esempio, il reciproco di {3} è {\dfrac{1}{3}}.

Di conseguenza, per calcolare la potenza:

2^{-3}

basta sostituire la base {2} con il suo reciproco, ovvero {\dfrac{1}{2}}, e quindi cambiare il segno dell’esponente (il quale diventa positivo):

2^{-3}=\left( \dfrac{1}{2}\right)^{3}=

A questo punto, per calcolare il risultato finale è importante ricordare che la potenza di una frazione si calcola elevando all’esponente dato sia il numeratore, sia il denominatore della frazione stessa. Proseguendo i passaggi:

=\dfrac{1^3}{2^3}=\dfrac{1}{8}

Così in conclusione, riepilogando tutti i passaggi:

2^{-3}=\left( \dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1^3}{2^3}=\dfrac{1}{8}

Veniamo ora al caso delle frazioni. Supponiamo di voler calcolare potenze con esponente negativo del tipo la seguente:

\left( \dfrac{3}{4}\right)^{-3}

La regola enunciata in precedenza ci dice che abbiamo bisogno del reciproco della base. In questo caso la base è data dalla frazione {\dfrac{3}{4}}. Ma come si calcola il reciproco di una frazione?

Il reciproco di una frazione si ottiene scambiando tra loro di posto il numeratore e il denominatore della frazione di partenza.

Così il reciproco della frazione {\dfrac{3}{4}} è dato da {\dfrac{4}{3}}. Per la potenza da calcolare abbiamo quindi:

\left( \dfrac{3}{4}\right)^{-3}=\left( \dfrac{4}{3}\right)^3=\dfrac{4^3}{3^3}=\dfrac{64}{27}

Formule per calcolare le potenze con esponente negativo

Possiamo riepilogare le regole sin qui presentate utilizzando come caso più generale delle quantità letterali. Così ad esempio per la potenza con esponente negativo di un numero possiamo scrivere:

\boxed{a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}} 

Mentre per le potenze con esponente negativo di frazioni:

\boxed{\left( \dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left( \dfrac{b}{a}\right)^n=\dfrac{b^n}{a^n}}

Come ultima nota, osserviamo che per definizione il reciproco di una quantità si ottiene elevando all’esponente {-1} la quantità stessa. Così ad esempio:

a^{-1} = \dfrac{1}{a}; \qquad \left( \dfrac{a}{b}\right)^{-1} = \dfrac{b}{a}

Tenendo conto di tale osservazione possiamo giustificare le precedenti regole mediante la proprietà della potenza di una potenza. Infatti ad esempio:

\left( \dfrac{2}{7}\right)^{-3} = \left( \dfrac{2}{7}\right)^{-1 \cdot 3} = \left[\left( \dfrac{2}{7}\right)^{-1} \right]^{3} = \left( \dfrac{7}{2}\right)^3= \dfrac{343}{8}

Infine, riportiamo per completezza una dimostrazione del fatto che elevando una quantità ad esponente {-1} otteniamo il suo reciproco:

a^{-1}=\dfrac{a^1}{a^1} \cdot a^{-1} = \dfrac{\overbrace{a^1 \cdot a^{-1}}^{\tiny\substack{\text{prodotto tra} \\ \text{potenze di} \\ \text{ uguale base}}}}{a^1}=\dfrac{a^{\overbrace{1-1}^{\tiny \substack{ \text{somma } \\ \text{degli} \\ \text{espon.}}}}}{a^1}=\dfrac{\overbrace{a^0}^{1}}{\underbrace{a^1}_{a}}=\dfrac{1}{a}

Nella dimostrazione abbiamo sfruttato il fatto che la quantità {\dfrac{a^1}{a^1}} è chiaramente uguale a {1}, ed inoltre abbiamo applicato le proprietà delle potenze. In particolare, è utile ricordare che il prodotto tra potenze di uguale base è uguale ad una potenza avente per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

Per quanto riguarda regole ed esempi su come calcolare le potenze con esponente negativo di un numero e di una frazione è tutto. Buon proseguimento!