Dominio del logaritmo

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Come si trova il dominio del logaritmo? Potreste mostrale alcuni esempi su come calcolare il dominio del logaritmo?

Per capire come si trova il dominio del logaritmo, è importante ricordare che la funzione logaritmo è la opposta della funzione esponenziale (riferendoci chiaramente a funzioni con la stessa base). Così il dominio della funzione logaritmo coincide con l’insieme delle immagini della funzione esponenziale (l’insieme di tutti i valori assunti dall’esponenziale).

Ora, la funzione esponenziale assume valori soltanto non negativi (quindi positivi o al più nulli). Inoltre, la base della funzione esponenziale deve essere maggiore di zero (zero escluso) e diversa da {1}. Così, essendo la funzione inversa dell’esponenziale, il logaritmo potrà avere come argomento soltanto numeri strettamente positivi, ed inoltre la base dovrà essere strettamente positiva e diversa da {1}:

\log_a h(x) \iff h(x) > 0 \quad \wedge \quad a>0, \: a \neq 1

Con tale simbologia intendiamo che la funzione {h(x)}, che è l’argomento del logaritmo, dovrà essere maggiore di zero (quindi mai nulla e mai negativa, solo positiva). Inoltre, la base dovrà essere positiva e sempre diversa da zero e da {1}.

Vediamo subito degli esempi in modo da capire come si trova il dominio del logaritmo, anche nel caso di funzioni composte ove compaiono logaritmi.

Esempi su come si trova il dominio del logaritmo (dominio di funzioni a termini logaritmici)

Esempio 1

Determinare il dominio della seguente funzione contenente un logaritmo (naturale):

f(x)=\log(x+2)

La base del logaritmo è il numero di Nepero (il simbolo {\log} secondo le convenzioni qui adottate indica il logaritmo naturale). Di conseguenza la base del logaritmo è per certo un numero positivo non nullo diverso da {1}. Quindi per la base non abbiamo problemi.

L’argomento del logaritmo è dato dalla funzione {h(x)=x+2}. Per quanto detto dobbiamo imporre tale quantità maggiore di zero:

x+2> 0 \iff x > -2

Per cui il domino {\mathscr{D}_f} della funzione logaritmo data è l’insieme dei numeri reali strettamente maggiori di {-2}:

\mathscr{D_f}=\{x \in \mathbb{R} \: | \:  x >-2\}

ovvero nella notazione con gli intervalli:

x \in ]-2, \: +\infty[

Esempio 2

Determinare il dominio della seguente funzione (logaritmo con argomento una frazione algebrica):

\log \left( \dfrac{x+2}{x-3}\right)

Per la base del logaritmo come visto nell’esempio precedente non abbiamo problemi.

L’argomento del logaritmo è una frazione algebrica (rapporto tra polinomi), che per le condizioni di esistenza della funzione logaritmo dobbiamo imporre maggiore di zero:

\dfrac{x+2}{x-3}> 0

Inoltre, dobbiamo anche fare sì che la frazione abbia senso di suo (vedi: frazioni algebriche). E come sappiamo, il denominatore di una frazione non può essere nullo:

x-3 \neq 0 \iff x \neq 3

Dobbiamo quindi studiare il segno della frazione e prendere come dominio della funzione logaritmo data i soli valori che rendono la frazione positiva e tali da essere diversi da {3}.

Possiamo studiare il segno della frazione sia con il metodo grafico, sia con il metodo algebrico. Utilizzando il secondo metodo, la frazione sarà positiva quando il numeratore e il denominatore sono concordi, ovvero:

\begin{cases}  x+2 >  0 \\ \\ x-3 > 0 \end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases} x+2 < 0 \\ \\ x-3 < 0\end{cases}

Osserviamo che abbiamo escluso che il denominatore possa essere nullo, utilizzando per esso una disuguaglianza che non comprende l’uguale (disuguaglianza stretta). Allo stesso modo abbiamo anche escluso che il numeratore possa annullarsi (cioè è lecito per la frazione di per sé, ma come detto l’argomento del logaritmo non può essere nullo).

Ricordiamo inoltre che il simbolo “{\vee}” significa “oppure”. Abbiamo:

\begin{cases} x > -2 \\ \\ x > 3\end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases}  x <-2 \\ \\ x < 3  \end{cases}

e quindi, intersecando gli insiemi delle soluzioni di ciascuna disequazione a sistema:

x > 3 \quad \vee \quad x < -2

e tali condizioni rappresentano il dominio della funzione logaritmo di partenza:

\mathscr{D}_f = \{ x \: | \: x < -2 \: \vee \: x > 3\}

ovvero con la notazione degli intervalli:

x \in ]-\infty, \: -2[ \quad \cup \quad ]3, \: +\infty[

Esempio 3

Determinare il dominio della seguente funzione contenente un termine con logaritmo:

f(x)=\sqrt{\log(x+7)}

Abbiamo una funzione composta avente come funzione esterna una radice quadrata. E attenzione: l’argomento di una radice quadrata non può essere negativo, ma soltanto positivo o al più nullo. Inoltre, il logaritmo all’interno della radice ha per argomento un polinomio, il quale dovrà essere strettamente positivo.

Dovranno quindi valere contemporaneamente le seguenti condizioni, che mettiamo a sistema:

\begin{cases}  \log(x+7) \geq 0 \\ \\ x+7 > 0\end{cases}

ovvero:

\small \begin{cases} \log(x+7) \geq \log e^0 \\ \\ x > - 7 \\ \\  \end{cases} \quad \Rightarrow \quad  \begin{cases}\overbrace{ x + 7 \geq 1}^{\small \substack{\text{confronto} \\ \text{argomenti} }} \\ \\ x > -7 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}  x \geq -6  \\ \\ x > -7\end{cases}

Otteniamo quindi dall’intersezione degli insiemi delle soluzioni delle due disequazioni a sistema:

x \geq -6

e questa condizione rappresenta il dominio della funzione di partenza:

D_f =\{x \: \in \mathbb{R} \: |\: x \geq -6 \}

ovvero, utilizzando la notazione con gli intervalli:

x \in [-6, \: +\infty[

Esempio 4

Determinare il dominio di:

f(x) = \dfrac{1}{\log(x-3)}

Osserviamo che abbiamo una funzione composta del tipo {\dfrac{1}{g(x)}}, ove {g(x)=\log(x-3)}. Dato che {g(x)} è al denominatore, questa dovrà essere diversa da zero. Inoltre, l’argomento della funzione logaritmo al denominatore, ovvero {x-3}, dovrà essere positivo non nullo. Così abbiamo:

\begin{cases}\log(x-3) \neq 0  \\ \\  x-3  > 0\end{cases} \iff \begin{cases} x-3 \neq 1 \\ \\ x  > 3\end{cases} \iff \begin{cases}  x \neq 4 \\ \\   x > 3 \end{cases}

Così il dominio della funzione logaritmo data è uguale a:

D_f =\{x \in \mathbb{R} \: | \: x \neq 4 \wedge  x >  3 \}

ovvero, utilizzando la notazione degli intervalli:

x \in ]3, \: +\infty[ -\{ 4\}

Esempio 5

Consideriamo un ultimo esempio riguardante una funzione logaritmica con base variabile.

Determinare il dominio della seguente funzione:

f(x)=\log_{x-4} \left( x+9\right)

In casi come questi dobbiamo ricordare che la base del logaritmo deve essere maggiore di zero e diversa da {1}. Così dovremo aggiungere alla condizione relativa all’argomento del logaritmo anche la condizione relativa alla base. E tali condizioni dovranno valere contemporaneamente:

\begin{cases}x+9 > 0 \\ \\ x- 4 \neq 1 \\ \\ x-4 > 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}x > -9 \\ \\ x \neq 5 \\ \\ x > 4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x > 4 \: \wedge \: x \neq 5

Così il dominio della funzione è dato da:

D_f=\{x \in \mathbb{R} \: | \: x > 4 , \: x \neq 5 \}

ovvero nella notazione con gli intervalli:

x \in ]4, \: +\infty[ - \{ 5\}

Per quanto riguarda come determinare il dominio del logaritmo è tutto. Buon proseguimento!


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