Equazioni di primo grado letterali

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Equazioni (superiori)

In questa lezione vediamo un altro tipo di equazioni algebriche di primo grado, ovvero le equazioni di primo grado letterali. Equazioni di questo tipo sono anche note con il nome di equazioni di promo grado parametriche.

Nelle equazioni letterali di primo grado, oltre all’incognita {x} compaiono anche altre lettere, dette parametri. Così, ad esempio la seguente è un’equazione di primo grado letterale o parametrica:

2kx+7p=0

La variabile è data come nelle altre equazioni viste in precedenza dalla lettera {x}, mentre le lettere o parametri {k} e {p} sono da intendersi come parti del coefficiente della {x} e del termine noto. Così ad esempio nell’equazione data il coefficiente della {x} è {2k}, mentre il termine noto è {7p}.

Possiamo quindi affermare che nelle equazioni di primo grado letterali il coefficiente della {x} e il termine noto non sono più numeri ma bensì espressioni dipendenti da uno o più parametri.

Ora, come sappiamo dalla teoria sulle equazioni di primo grado la possibilità che esse ammettano soluzioni o meno dipende proprio dal coefficiente della {x} e dal termine noto. E dato che nelle equazioni letterali il coefficiente della {x} e termine noto dipendono dal parametro o dai parametri presenti, è chiaro che un’equazione letterale potrà risultare determinata, indeterminata o impossibile proprio a seconda dei valori assunti dai parametri.

Detta in termini più intuitivi, le equazioni di primo grado letterali o parametriche possono essere viste come delle particolari equazioni di primo grado il cui testo cambia in base al valore attribuito al parametro o ai parametri presenti. E cambiando il testo, potranno cambiare anche le soluzioni.

Fatte le dovute premesse, vediamo subito nel dettaglio come risolvere le equazioni di primo grado letterali (parametriche).

Come risolvere le equazioni di primo grado letterali

Per cominciare lo studio delle equazioni di primo grado letterali, riprendiamo un’equazione di primo grado non letterale espressa in forma normale:

ax+b=0

La discussione dell’equazione in questo caso è la seguente:

• se {a \neq 0} l’equazione è possibile o determinata ed ammette l’unica soluzione: {x=-\dfrac{b}{a}};
• se {a=0} e {b=0} l’equazione è indeterminata ed ammette infinite soluzioni;
• se {a=0} e {b \neq 0} l’equazione è impossibile e non ha soluzioni.

Poiché i valori di {a} e {b} sono dei numeri reali noti, è immediato stabilire se l’equazione è possibile, indeterminata o impossibile.

Veniamo ora al caso delle equazioni di primo grado letterali. Consideriamo la seguente equazione di primo grado letterale:

kx+p=0

ove {k} e {p} sono parametri. Il fatto che tale equazione possa essere determinata o meno dipende proprio dai valori che attribuiamo ai parametri {k} e {p}. E poiché in generale i parametri possono assumere un qualunque valore reale, dovremo studiare per quali valori dei parametri l’equazione risulta possibile, impossibile o indeterminata.

Rifacendoci alla discussione di un’equazione di primo grado non letterale possiamo dire che:

• se {k \neq 0} l’equazione è determinata ed ha soluzioni: {x=-\dfrac{p}{k}} Osserviamo che l’equazione risulta determinata per infiniti valori dei parametri (purché sia {k \neq 0}). Quindi al variare dei parametri otteniamo infinite soluzioni. Ciò si giustifica osservando che per ogni possibile coppia di valori dei parametri (con {k \neq 0 }) otteniamo una certa equazione di primo grado nella variabile {x} che è determinata. In altre parole, al variare dei parametri otteniamo una famiglia di equazioni, e conseguentemente una famiglia di soluzioni per l’equazione letterale;
• se {k=0} e {p=0} l’equazione è indeterminata, ovvero soddisfatta per ogni valore attribuito alla {x};
• infine, se {k=0} e {p \neq 0} l’equazione è impossibile.

Un’equazione di primo grado letterale potrà essere possibile, indeterminata o impossibile a seconda dei valori delle lettere o parametri in essa presenti.

Esercizi di esempio sulle equazioni di primo grado letterali

Esempio 1

x-2=3k-2x

Abbiamo un’equazione nell’incognita {x} ove è presente la lettera o parametro {k}.

Il primo passo consiste nell’esprimere l’equazione in forma normale. Procediamo in modo del tutto simile al caso delle equazioni non letterali, trasportando tutti i termini al primo membro:

x-2-3k+2x=0

Sommiamo tutti i termini simili:

3x-2-3k=0

Ora, poiché le lettere diverse dalla {x} devono essere trattate come numeri, ci ritroviamo con un’equazione avente coefficiente della {x} pari a {3} e termine noto uguale all’espressione {-2-3k}. Poiché tale espressione contiene il parametro {k}, diciamo che il termine noto è parametrico, ovvero dipende dal parametro.

Così siamo di fronte ad un’equazione del tipo {ax+b=0} con {a=3} e {b=-2-3k}. Ora, poiché in generale l’eventuale soluzione è della forma {x=-\dfrac{b}{a}}, nel nostro caso avremo:

x=-\dfrac{-2-3k}{3}=\dfrac{2+3k}{3}

Così ad esempio ponendo {k=2} avremo la soluzione {x=\dfrac{2+3\cdot 2}{3}=\dfrac{8}{3}}. Per avere conferma di ciò, possiamo riprendere l’equazione letterale di partenza e sostituire a {k} il valore {2}:

\begin{align*} x-2=3k-2x \quad \text{con} \quad k=2 \quad &\Rightarrow \quad x-2=3\cdot2-2\cdot x  \\ \\ & \Rightarrow x -2 = 6- 2x \\ \\ & \Rightarrow 3x=8 \\ \\ &\Rightarrow x = \dfrac{8}{3} \end{align*}

Il meccanismo è allora chiaro: ad ogni valore di {k} corrisponde una differente equazione di primo grado nella variabile {x}, che avrà una sua propria soluzione. Ed per questo motivo che per l’equazione letterale abbiamo infinite soluzioni al variare di {k}.

Così in conclusione per l’equazione letterale di partenza abbiamo le soluzioni:

\dfrac{3k+2}{3}, \qquad k \in \mathbb{R}

L’equazione è dunque in questo caso possibile per ogni valore del parametro.

Esempio 2

kx+2k-1

L’equazione in questo caso è già in forma normale. Osserviamo che sia il coefficiente della {x}, sia il termine noto dipendono dal parametro {k}. In particolare, il coefficiente della {x} è {k}, mentre il termine noto è {2k-1}.

L’equazione sarà possibile soltanto se {k \neq 0}. Infatti, sappiamo che l’equazione di primo grado nella forma generale:

ax+b=0

è possibile solo se {a \neq 0}.

Così intanto possiamo concludere che per {k=0} l’equazione letterale data è impossibile.

Ora, se {k \neq 0} possiamo scrivere le soluzioni:

x=-\dfrac{2k-1}{k} \quad \Rightarrow \quad x=\dfrac{1-2k}{k}

Così in conclusione abbiamo che:

• per {k=0} l’equazione è impossibile;
• per ogni {k \neq 0} l’equazione ammette soluzione {x=\dfrac{1-2k}{k}}.

Esempio 3

ax-(2a-1)x+3a=(x+3)a

Lavoriamo sull’equazione in modo da ricondurla alla forma normale:

\begin{align*} &\cancel{ax}-(2ax-x)+\cancel{3a}=\cancel{ax}+\cancel{3a}; \\ \\ & -2ax+x=0 \\ \\ \end{align*}

A questo punto dobbiamo raccogliere per l’incognita {x}. In tal modo sapremo quale coefficiente parametrico accompagna l’incognita:

x(-2a+1)=0

e quindi, riordinando i fattori:

(-2a+1)x=0

Così abbiamo un’equazione di primo grado letterale in forma normale con coefficiente della {x} parametrico uguale a {-2a+1} e termine noto zero.

Ancora una volta, per discutere le soluzioni delle equazioni di primo grado letterali dobbiamo ripensare alle equazioni di primo grado non letterali. In particolare, sappiamo che affinché un’equazione di primo grado sia determinata il coefficiente della {x} dovrà essere diverso da zero.

Così, l’equazione che stiamo studiando sarà determinata per {-2a+1 \neq 0}. Cerchiamo allora di capire quando si annulla l’espressione {-2a+1}. Si tratterà di risolvere la corrispondente equazione di primo grado nell’incognita {a}:

-2a+1=0 \quad \Rightarrow \quad a=\dfrac{1}{2}

Così possiamo dire che per {a=\dfrac{1}{2}} l’equazione è indeterminata. Infatti, non dimentichiamo che il termine noto dell’equazione è zero. E siamo quindi nel caso in cui sia il coefficiente della {x} è zero, sia il termine noto è zero.

Ora, per {\small a \neq \dfrac{1}{2}} il coefficiente della {x} è diverso da zero e pertanto l’equazione è determinata. E quindi per ogni { a \neq \frac{1}{2}} avremo come soluzione:

x = -\dfrac{0}{-2a+1}=0

Equazioni letterali con più parametri

Vediamo ora come si risolvono le equazioni letterali con più parametri. Consideriamo la seguente equazione:

(1-a)x+2b+7=0

L’equazione è già in forma normale. Il coefficiente della {x} è {1-a} mentre il termine noto è {2b+7}.

L’equazione è possibile per tutti i valori del parametro {a} per i quali il coefficiente della {x} risulta diverso da zero, ovvero per:

1-a \neq 0; \qquad -a \neq-1; \qquad a \neq 1

Qui per brevità abbiamo in pratica risolto un’equazione utilizzando però il simbolo “diverso”. Così abbiamo escluso la soluzione {a=1} che annulla l’espressione {1-a}.

Così, per {a \neq 1} possiamo invece affermare che l’equazione è possibile o determinata. E in particolare, per ogni {a \neq 1} abbiamo la corrispondente soluzione:

x=-\dfrac{2b+7}{1-a}=\dfrac{2b+7}{a-1}

Ora, cosa succede per {a=1}? Attenzione a non trarre conclusioni affrettate. Possiamo affermare che in questo caso l’equazione è impossibile, ma soltanto con l’avvertenza di escludere il caso in cui anche il termine noto {2b+7} risulti nullo. In tal caso l’equazione risulta infatti indeterminata.

Per stabilire quindi in modo chiaro quando l’equazione è impossibile e quando è invece indeterminata, vediamo anzitutto quando {2b+7} si annulla:

2b+7= 0 \quad \Rightarrow \quad 2b=-7; \quad \Rightarrow \quad b=-\dfrac{7}{2}

Così, per {a=1} e {b=-\dfrac{7}{2}} l’equazione risulta indeterminata, poiché in corrispondenza di tali valori dei parametri si annullano sia il coefficiente della {x}, sia il termine noto.

Infine, per {a=1} e {b \neq -\dfrac{7}{2}} abbiamo che è nullo soltanto il coefficiente della {x}, mentre il termine noto è diverso da zero. Di conseguenza per tali valori dei parametri l’equazione è impossibile.

Conclusioni

Per quanto riguarda questa lezione sulle equazioni di primo grado letterali (o parametriche) è tutto. Come abbiamo visto, il trucco per risolverle consiste nell’aver ben presente quando un’equazione di primo grado non letterale è determinata, indeterminata o impossibile e quindi ragionare di conseguenza in base a come si presentano i parametri nel coefficiente e nel termine noto dell’equazione.

Per chi desidera allenarsi ulteriormente è disponibile la scheda di esercizi correlata.

Nella prossima lezione ci occuperemo delle equazioni fratte di primo grado. Buon proseguimento!