Equazioni di primo grado

 - 

Equazioni (superiori)

In questa lezione introduciamo le equazioni di primo grado, ovvero equazioni nelle quali l’incognita {x} compare con esponente non maggiore di {1} e si presenta almeno una volta con esponente {1}.

Se {P(x)} è un polinomio di primo grado, le equazioni di primo grado possono sempre essere espresse nella forma:

P(x)=0

ovvero come un’uguaglianza nella quale un polinomio di primo grado {P(x)} viene uguagliato a zero. Così, risolvere l’equazione significa determinare per quale valore dell’incognita o indeterminata {x} tale uguaglianza è soddisfatta. In altre parole, ricerchiamo per quali valori della {x} il polinomio {P(x)} si annulla.

Se il polinomio {P(x)}è in forma normale, allora diciamo che l’equazione {P(x)=0} è in forma normale. Così, nel caso delle equazioni di primo grado (polinomio {P(x)} di primo grado), un’equazione (di primo grado) è in forma normale se scritta nella forma:

ax+b=0, \qquad x \in \mathbb{R}

dove {a} è il coefficiente dell’incognita {x} mentre {b} è il termine noto.

Entrambe le quantità {ax} e {b} si dicono termini dell’equazione. In particolare, {ax} è il termine di primo grado rispetto all’incognita {x}, mentre {b} è il termine di grado zero.

L’espressione {ax+b} è il primo membro dell’equazione. Il secondo membro è zero. In generale, in un’equazione il primo membro è l’espressione a sinistra dell’uguale, mentre il secondo membro è l’espressione alla destra dell’uguale.

Come evidenziato, l’incognita {x} è intesa come un valore reale e pertanto ricerchiamo soluzioni reali per l’equazione.

Ogni valore che verifica l’uguaglianza {ax+b=0} è detto soluzione o radice reale dell’equazione.

Equazioni di primo grado possibili, impossibili ed indeterminate

Consideriamo un’equazione di primo grado in forma normale:

ax+b=0

Se abbiamo {a \neq 0}, l’equazione è possibile o determinata ed ammette un’unica soluzione data da:

x=-\dfrac{b}{a}

Se invece abbiamo {a = 0 } e allo stesso tempo {b \neq 0} l’equazione diventa:

0 \cdot x + b = 0

da cui:

b=0

Ma essendo per ipotesi {b \neq 0} l’equazione è impossibile. Nessuna quantità non nulla può essere infatti uguale a zero.

Infine, se {a = 0} e allo stesso tempo {b=0} l’equazione diviene:

0x+0=0

ed è evidentemente soddisfatta per un qualunque valore della {x}. Infatti, un qualunque numero moltiplicato per zero fornisce come risultato zero. L’equazione si dice in questo caso indeterminata ed ha infinite soluzioni.

Se un’equazione è indeterminata diciamo che essa si riduce ad una identità.

Possiamo riassumere le casistiche relative ad equazioni di primo grado determinate, impossibili ed indeterminate con il seguente specchietto:

• {a \neq 0}: l’equazione ha una sola soluzione {x=-\dfrac{b}{a}} ed è determinata o possibile;
• {a= 0} e {b \neq 0}: l’equazione non ha soluzioni ed è quindi impossibile;
• infine, {a= 0 } e {b = 0}: l’equazione ha infine soluzioni ed è indeterminata.

Esempi sulle equazioni di primo grado in forma normale

Vediamo alcuni semplici esempi su come risolvere delle equazioni di primo grado che già si presentano in forma normale (o quasi).

Esempio 1

Risolvere l’equazione di primo grado:

3x+4=0

L’equazione è della forma {ax+b=0} ed è quindi in forma normale, con {a=3} e {b=4}. L’unica soluzione è quindi {x=-\dfrac{b}{a}} ovvero:

x = -\dfrac{4}{3}

Per verificare la soluzione ottenuta basta sostituirla nell’equazione di partenza. In pratica, si tratta di sostituire alla {x} il valore {-\dfrac{4}{3}}:

  \begin{align*} 3x+4=0 \quad \text{con} \quad x = -\dfrac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad 3 \cdot \left( -\dfrac{4}{3}\right)+4&=0;\\ \\  0 &= 0\end{align*}

Sostituendo la soluzione ottenuta nell’equazione otteniamo quindi un’uguaglianza vera e di conseguenza la soluzione è verificata.

Esempio 2

2x+3x-5x+7=0

L’equazione non è in forma normale ma è sufficiente sommare i termini simili al primo membro. In pratica si tratta di ridurre in forma normale il polinomio al primo membro:

(2+3-5)x+7 = 0

e quindi:

0x+7=0

con {a=0} e {b=7 \neq 0}. Ci aspettiamo quindi un’equazione impossibile. Infatti, l’equazione può essere riscritta come:

7=0

L’uguaglianza è evidentemente falsa e di conseguenza l’equazione è impossibile. Ciò non è una sorpresa poiché siamo nel caso in cui {a=0} e {b \neq 0}.

Esempio 3

Concludiamo questi primi esempi relativi alle equazioni di primo grado con la seguente:

4x+2x-6x=0

Sommando i termini simili al primo membro:

(4+2-6)x=0 \quad \Rightarrow \quad 0x=0

L’equazione è indeterminata poiché l’uguaglianza appena scritta è verificata per qualsiasi valore reale della {x}.

Dominio o campo di esistenza delle equazioni di primo grado

Salvo diversa indicazione, intendiamo che le eventuali soluzioni di un’equazione dovranno essere ricercate nell’insieme dei numeri reali. La precisazione è importante perché ad esempio l’equazione:

x+1=0

è possibile nell’insieme dei numeri reali ma è impossibile nell’insieme dei numeri naturali. Infatti, l’equazione è soddisfatta per {x=-1}, valore che non appartiene all’insieme dei numeri naturali.

Di qui in avanti sottintenderemo sempre di avere a che fare con equazioni ad incognite reali. Per cui dovremo cercare le eventuali soluzioni nell’insieme dei numeri reali. In tal modo, non ci sarà nessuna ambiguità sulla nozione di equazione determinata.

Per questa lezione introduttiva alle equazioni di primo grado è tutto. Nella prossima lezione vedremo come risolvere le equazioni di primo grado nei casi più generali. Buon proseguimento!