Esercizi sulla semplificazione di frazioni algebriche

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Frazioni algebriche

In questa scheda proponiamo degli esercizi sulla semplificazione di frazioni algebriche, come sempre svolti e commentati. Abbiamo già visto come semplificare le frazioni algebriche nella relativa lezione teorica.

Ricordiamo comunque per meglio comprendere gli svolgimenti degli esercizi che la semplificazione delle frazioni algebriche si articola in tre fasi:

• scomporre in fattori il numeratore e il denominatore della frazione algebrica, senza ancora eseguire nessuna semplificazione;
• determinare il campo di esistenza della frazione, ovvero stabilire per quali valori delle variabili il denominatore della frazione algebrica è diverso da zero;
• semplificare tra loro i fattori comuni al numeratore e al denominatore della frazione, indicando la condizioni relative al campo di esistenza della frazione di partenza.

Per la scomposizione in fattori del numeratore e del denominatore della frazione algebrica sarà necessario utilizzare le regole per la scomposizione in fattori dei polinomi. Inoltre, per determinare il campo di esistenza della frazione sarà generalmente necessario l’utilizzo della legge di annullamento del prodotto.

Per semplificare una frazione algebrica bisognerà eseguire delle semplificazioni tra i fattori comuni al numeratore e al denominatore in modo da rispettare la proprietà invariantiva della divisione. In altre parole, dovremo sempre tenere a mente che l’idea che sta dietro alle semplificazioni è quella di dividere il numeratore e il denominatore della frazione algebrica per una stessa quantità.

Fatte le dovute premesse, cominciamo subito a vedere gli esercizi sulla semplificazione di frazioni algebriche.

Esercizi sulla semplificazione di frazioni algebriche, svolti e commentati

Prima parte: esercizi di livello base

Cominciamo subito con degli esercizi di livello base, ovvero degli esercizi facili che ci permettano di comprendere la procedura da seguire.

Esercizio 1

Semplificare la frazione algebrica:

\dfrac{2x+6y}{2xy}

Eseguiamo un raccoglimento al numeratore:

\dfrac{2x+6y}{2xy}=\dfrac{2(x+3y)}{2xy}

A questo punto stabiliamo le condizioni di esistenza della frazione. In particolare, dovremo imporre che il denominatore sia diverso da zero, ovvero:

2xy \neq 0

e quindi, applicando la legge di annullamento del prodotto:

2 \cdot x \cdot y \neq  0 \quad \iff \quad x \neq 0 \: \wedge y \neq 0

In altre parole affinché la quantità {2xy} sia diversa da zero entrambi i fattori {x} e {y} dovranno essere diversi da zero.

Formalmente ciò significa che il campo di esistenza della frazione di partenza è dato da:

\mathscr{D} = \{x \in \mathbb{R} \: | \: x \neq 0 \: \wedge \: y \neq 0 \}

Tuttavia, ci è sufficiente indicare le sole condizioni di esistenza senza indicare esplicitamente il campo di esistenza. Così diremo semplicemente che le condizioni di esistenza della frazione sono {x \neq 0} e contemporaneamente {y \neq 0}.

Procediamo a questo punto semplificando la frazione, osservando che è possibile semplificare tra loro i fattori {2}:

\dfrac{2(x+3y)}{2xy}=\dfrac{\cancel{2}(x+3y)}{\cancel{2}xy}=\dfrac{x+3y}{xy}, \qquad x \neq 0 \: \wedge \: y \neq 0

Osserviamo che la semplificazione è stata possibile poiché sia al numeratore, sia al denominatore della frazione avevamo soltanto prodotti. Infatti avevamo il prodotto tra i fattori {2} e {x+3y} e il prodotto tra i fattori {2, \: x} e {y}. In pratica abbiamo diviso numeratore e denominatore della frazione algebrica per {2}, applicando la proprietà invariantiva della divisione. Ricordiamo che per tale proprietà è possibile dividere il dividendo e il divisore per una stessa quantità non nulla, ottenendo un risultato uguale a quello dell’operazione di partenza.

Per cui in conclusione abbiamo semplificato la frazione di partenza, poiché infatti la abbiamo riscritta come una frazione più semplice. Le condizioni poste {x \neq 0 \: \wedge \: y \neq 0} servono ad assicurarci che la frazione semplificata sia equivalente a quella di partenza. In questo caso particolare, comunque, le due frazioni sarebbero state comunque equivalenti. Infatti, il fattore {2} che abbiamo semplificato è evidentemente sempre diverso da zero.

Esempio 2

Semplificare la frazione algebrica:

\dfrac{x^3-x^2}{ax^2-ax}

Scomponiamo il numeratore e il denominatore della frazione in fattori utilizzando degli opportuni raccoglimenti a fattore comune:

\dfrac{x^3-x^2}{ax^2-ax}=\dfrac{x^2(x-1)}{ax(x-1)}

Ora, prima di eseguire le semplificazioni dobbiamo imporre le condizioni di esistenza della frazione:

ax(x-1) \neq 0 \quad \iff \quad a \neq 0 \: \wedge \:x \neq 0 \: \wedge \: x \neq 1

A questo punto continuiamo semplificando tra loro i fattori comuni {x-1} e {x}. Ciò è possibile poiché in entrambi i casi i fattori si trovano sia al numeratore, sia al denominatore ed abbiamo soltanto prodotti:

\dfrac{x^2(x-1)}{ax(x-1)}=\dfrac{x^{\cancel{2}}\cancel{(x-1)}}{a\cancel{x}\cancel{(x-1)}}=\dfrac{x}{a},  \qquad  \quad a \neq 0 \: \wedge \:x \neq 0 \: \wedge \: x \neq 1

Così valendo le condizioni poste la frazione di partenza può essere riscritta in forma semplificata come {\dfrac{x}{a}}.

Esercizio 3

Proseguiamo gli esercizi sulla semplificazione di frazioni algebriche con il seguente.

Semplificare la frazione algebrica:

\dfrac{3a+3b-a^2-ab}{2a+2b-ab-b^2}

Scomponiamo i fattori dapprima eseguendo dei raccoglimenti parziali sia al numeratore, sia al denominatore:

\dfrac{3a+3b-a^2-ab}{2a+2b-ab-b^2}=\dfrac{3(a+b)-a(a+b)}{2(a+b)-b(a+b)}=

Proseguiamo a questo punto eseguendo sia a numeratore, sia a denominatore un raccoglimento totale per il fattore {a+b}:

=\dfrac{(a+b)(3-a)}{(a+b)(2-b)}=

A questo punto non dimentichiamo. Prima delle semplificazioni dobbiamo scrivere le condizioni di esistenza per la frazione algebrica:

(a+b)(2-b) \neq 0 \quad \iff \quad a \neq -b \: \wedge \: b \neq 2

Infine eseguendo le semplificaizioni:

=\dfrac{\cancel{(a+b)}(3-a)}{\cancel{(a+b)}(2-b)}=\dfrac{3-a}{2-b}, \quad a \neq -b \: \wedge \: b \neq 2

Osserviamo che di suo la frazione {\dfrac{3-a}{2-b}} richiede la sola condizione di esistenza {b \neq 2}. Così, dobbiamo scrivere accanto a essa anche la condizione {a \neq -b} proprio perché vogliamo che l’ultima frazione scritta sia equivalente a quella di partenza.

Intuitivamente, è un po’ come se alla fine disponessimo di una frazione più semplice e che con le condizioni poste assume sempre gli stessi valori della frazione di partenza.

Esercizio 4

Vediamo ulteriori esercizi sulla semplificazione di frazioni algebriche. Semplifichiamo in particolare la seguente frazione algebrica:

\dfrac{x^3+5x^2}{x^3-25x}

Eseguiamo dei raccoglimenti a numeratore e denominatore, per poi scomporre la differenza tra due quadrati che così si ottiene a denominatore:

\dfrac{x^3+5x^2}{x^3-25x}=\dfrac{x^2(x+5)}{x(x^2-25)}=\dfrac{x^2(x+5)}{x(x+5)(x-5)}

Come al solito, prima di eseguire qualsiasi semplificazione scriviamo le condizioni di esistenza:

x(x+5)(x-5) \neq 0 \quad \iff \quad x \neq 0 \: \wedge \: x \neq -5 \: \wedge \: x \neq 5

Con tali ipotesi possiamo semplificare i fattori in comune al numeratore e al denominatore:

\begin{align*} & \dfrac{x^2(x+5)}{x(x+5)(x-5)}=\dfrac{x^{\cancel{2}^{\scriptsize \displaystyle1}}\cancel{(x+5)}}{\cancel{x} \cancel{(x+5)} (x-5)}=\dfrac{x}{x-5 }, \\ \\ & \text{con} \quad x \neq 0 \: \wedge \: x \neq -5 \: \wedge \: x \neq 5 \end{align*}

Esercizi sulla semplificazione delle frazioni algebriche di livello intermedio

Continuiamo con gli esercizi sulla semplificazione di frazioni algebriche passando ad esercizi di livello intermedio.

Esercizio 5

Semplificare la seguente frazione algebrica:

\dfrac{16a^3-16a^2b+4ab^2}{4a^3-2a^2b}

Raccogliamo il numeratore per {4a} e il denominatore per {2a^2}:

\dfrac{16a^3-16a^2b+4ab^2}{4a^3-2a^2b}=\dfrac{4a(4a^2-4ab+b^2)}{2a^2(2a-b)}=

A questo punto osserviamo che un fattore al numeratore è il quadrato di un binomio. Per cui:

=\dfrac{4a(2a-b)^2}{2a^2(2a-b)}

Imponiamo a questo punto le condizioni di esistenza. Attenzione a non eseguire le semplificazioni inavvertitamente prima di scrivere le condizioni di esistenza.

2a^2(2a-b) \neq 0 \quad \iff \quad 2a^2 \neq 0 \: \wedge \: 2a-b \neq 0

e quindi:

a \neq 0 \: \wedge \: a \neq \dfrac{b}{2}

Ora disponendo di tali condizioni possiamo semplificare i fattori in comune:

\begin{align*} & \dfrac{4a(2a-b)^2}{2a^2(2a-b)}= \dfrac{\cancel{4}^{\scriptsize \displaystyle2}\cancel{a}(2a-b)^{\cancel{2}^{\scriptsize \displaystyle}}}{\cancel{2}a^{\cancel{2}^{\scriptsize \displaystyle}}\cancel{(2a-b)}}=\dfrac{2(2a-b)}{a}, \\ \\ &\text{con} \quad a \neq 0 \: \wedge \: a \neq \dfrac{b}{2} \end{align*}

Esercizio 6

Proseguiamo gli esercizi sulla semplificazione di frazioni algebriche del livello intermiedio con il seguente.

Semplificare la seguente frazione algebrica:

\dfrac{a^6-1}{a^3-1}

Per le proprietà delle potenze di potenze possiamo riscrivere in diversa forma il numeratore:

\dfrac{a^6-1}{a^3-1}=\dfrac{(a^3)^2-1}{a^3-1}=

In tal modo ci ritroviamo al numeratore con una differenza tra quadrati. Abbiamo:

=\dfrac{(a^3+1)(a^3-1)}{a^3-1}

Ora prima di eseguire le semplificazioni imponiamo le condizioni di esistenza della frazione. Ricordando la regola della scomposizione in fattori con la differenza tra cubi abbiamo:

a^3-1 \neq 0 \quad \iff \quad (a-1)(a^2+a+1) \neq 0 

e quindi:

a \neq 1

Osserviamo che il polinomio {a^2+a+1} non si annulla per nessun valore di {a}. Ci si può accorgere di questo perché non è possibile scomporlo con la regola del trinomio caratteristico e quindi non è possibile trovarne gli zeri con la legge di annullamento del prodotto. Non esistono infatti due numeri reali la cui somma e il cui prodotto siano entrambi {1}.

A questo punto possiamo eseguire le semplificazioni sulla frazione algebrica:

\dfrac{(a^3+1)(a^3-1)}{a^3-1}=\dfrac{(a^3+1)\cancel{(a^3-1)}}{\cancel{a^3-1}}=a^3+1, \quad a \neq 1

Esercizio 7

Semplificare la seguente frazione algebrica:

\dfrac{a^4-8a^2b^2+16b^4}{ax+2bx}

Eseguiamo un raccoglimento a denominatore, mentre riconosciamo al numeratore il quadrato di un binomio:

\dfrac{a^4-8a^2b^2+16b^4}{ax+2bx}=\dfrac{(a^2-4b^2)^2}{x(a+2b)}=

Ora riconosciamo all’interno delle parentesi tonde al numeratore la differenza tra due quadrati:

=\dfrac{[(a+2b)(a-2b)]^2}{x(a+2b)}=

A questo punto ricordando per il numeratore la regola del prodotto fra potenze di uguale esponente, applicata in senso inverso:

=\dfrac{(a+2b)^2(a-2b)^2}{x(a+2b)}

Siamo pronti per le semplificazioni, ma come sempre definiamo prima le condizioni di esistenza della frazione algebrica:

x(a+2b) \neq 0 \quad \iff \quad x \neq 0 \: \wedge a \neq -2b

Poste tali condizioni, semplifichiamo la frazione:

\begin{align*} & \dfrac{(a+2b)^2(a-2b)^2}{x(a+2b)}=\dfrac{(a+2b)^{\cancel{2}}(a-2b)^2}{x\cancel{(a+2b)}}=\dfrac{(a+2b)(a-2b)^2}{x}, \\ \\ & \text{con} \quad x \neq 0 \: \wedge a \neq -2b \end{align*}

Esercizio 8

Proseguiamo ancora gli esercizi sulla semplificazione di frazioni algebriche. Semplifichiamo la seguente frazione algebrica:

\dfrac{x^6-y^6}{x^6+2x^3y^3+y^6}

Riscriviamo il numeratore tenendo conto della proprietà delle potenze di potenze:

\dfrac{x^6-y^6}{x^6+2x^3y^3+y^6}=\dfrac{(x^3)^2-(y^3)^2}{x^6+2x^3y^3+y^6}=

Così riconosciamo a numeratore una differenza tra quadrati. Inoltre, al denominatore abbiamo il quadrato di un polinomio:

=\dfrac{(x^3+y^3)(x^3-y^3)}{(x^3+y^3)^2}

Come sempre imponiamo le condizioni di esistenza per poi semplificare solo successivamente:

x^3+y^3 \neq 0

Abbiamo:

\small \dfrac{(x^3+y^3)(x^3-y^3)}{(x^3+y^3)^2}=\dfrac{\cancel{(x^3+y^3)}(x^3-y^3)}{(x^3+y^3)^{\cancel{2}}}=\dfrac{x^3-y^3}{x^3+y^3}, \quad x^3+y^3 \neq 0

Esercizio 9

Semplificare la seguente frazione algebrica:

\dfrac{(a-3b)^2-(3a-b)^2}{(a+3b)^2-(3a+b)^2}

Ci ritroviamo sia a numeratore, sia a denominatore con una differenza tra quadrati:

\begin{align*}& \dfrac{(a-3b)^2-(3a-b)^2}{(a+3b)^2-(3a+b)^2}= \\ \\ & = \dfrac{(a-3b+3a-b)(a-3b-3a+b)}{(a+3b+3a+b)(a+3b-3a-b)} = \\ \\ & =\dfrac{(4a-4b)(-2a-2b)}{(4a+4b)(-2a+2b)}=&\end{align*}

Per prepararci per le semplificazioni dobbiamo mettere in evidenza opportunamente dei segni meno:

= \dfrac{-(-4a+4b) \cdot (-1)(2a+2b)}{(4a+4b)(-2a+2b)}=

A questo punto eseguiamo dei raccoglimenti:

=\dfrac{-4(-a+b) \cdot (-2)(a+b)}{4(a+b)2(-a+b)}=\dfrac{8(-a+b)(a+b)}{8(a+b)(-a+b)}

Ora siamo pronti per le semplificazioni. Tuttavia, scriviamo prima le condizioni di esistenza per la frazione algebrica:

8(a+b)(a-b) \neq 0 \quad \iff \quad a \neq \pm b

Semplificando la frazione algebrica otteniamo infine:

\dfrac{8(-a+b)(a+b)}{8(a+b)(-a+b)}=\dfrac{\cancel{8}\cancel{(-a+b)}\cancel{(a+b)}}{\cancel{8}\cancel{(a+b)}\cancel{(-a+b)}}=1, \quad a \neq \pm b

Esercizio 10

Concludiamo questi esercizi sulle semplificazioni di frazioni algebriche di livello intermedio con la seguente:

\dfrac{x^4-(a^2+2b)^2}{x^3-a^2x-2bx}

Al numeratore abbiamo una differenza tra due quadrati, mentre al denominatore possiamo eseguire un raccoglimento:

\dfrac{x^4-(a^2+2b)^2}{x^3-a^2x-2bx}=\dfrac{(x^2+a^2+2b)(x^2-a^2-2b)}{x(x^2-a^2-2b)}

Prima di semplificare, non dimentichiamo mai, le condizioni di esistenza della frazione algebrica:

x(x^2-a^2-2b) \neq 0 \quad \iff \quad x \neq 0 \: \wedge \: x^2-a^2-2b \neq 0

A questo punto non resta che semplificare la frazione algebrica:

\begin{align*} & \dfrac{(x^2+a^2+2b)\cancel{(x^2-a^2-2b)}}{x\cancel{(x^2-a^2-2b)}}=\dfrac{x^2+a^2+2b}{x},  \\ \\ & \text{con} \quad x \neq 0 \: \wedge \: x^2-a^2-2b \neq 0\end{align*}

Terza parte: esercizi di livello avanzato

Proponiamo per concludere questa scheda degli esercizi sulla semplificazione di frazioni algebriche di livello avanzato.

Esercizio 11

Semplificare la seguente frazione algebrica:

\dfrac{a^4-81}{(a^3-3a^2+9a-27)(a^3+3a^2+9a+27)}

Conviene riordinare i termini all’interno dei fattori al denominatore come segue:

\dfrac{a^4-81}{(a^3+9a-3a^2-27)(a^3+9a+3a^2+27)}

Riconosciamo al numeratore una differenza tra quadrati. Al denominatore riconosciamo invece un prodotto notevole somma per differenza. Infatti, abbiamo la regola generale {(A+B)(A-B)=A^2-B^2}, ponendo in questo caso {A=a^3+9a} e {B=3a^2+27}.

\begin{align*} &\dfrac{a^4-81}{(a^3+9a-3a^2-27)(a^3+9a+3a^2+27)}= \\ \\ & =\dfrac{(a^2)^2-9^2}{(a^3+9a)^2-(3a^2+27)^2}= \end{align*}

Eseguiamo a questo punto dei raccoglimenti all’interno delle parentesi tonde al denominatore:

=\dfrac{(a^2)^2-9^2}{[a(a^2+9)]^2-[3(a^2+9)]^2}=

e quindi ricordando la proprietà del prodotto tra potenze di uguale esponente, applicata in senso inverso:

=\dfrac{(a^2)^2-9^2}{a^2(a^2+9)^2-9(a^2+9)^2}=

Scomponiamo il numeratore e raccogliamo per il fattore {(a^2+9)^2} al denominatore:

=\dfrac{(a^2+9)(a^2-9)}{(a^2+9)^2(a^2-9)}

A questo punto siamo pronti per le semplificazioni. Poniamo le condizioni di esistenza:

\begin{align*} & (a^2+9)^2(a^2-9) \neq 0 \quad \iff \quad a^2-9 \neq 0 \\ \\ & \iff (a+3)(a-3) \neq 0 \quad \iff \quad a \neq \pm 3 \end{align*}

Concludiamo eseguendo la semplificazione della frazione algebrica:

\begin{align*} & \dfrac{(a^2+9)(a^2-9)}{(a^2+9)^2(a^2-9)}=\dfrac{\cancel{(a^2+9)}\cancel{(a^2-9)}}{(a^2+9)^{\cancel{2}}\cancel{(a^2-9)}}=\\ \\ & =\dfrac{1}{a^2+9}, \qquad a \neq \pm 3 \end{align*}

Esercizio 12

Proseguiamo gli esercizi di livello avanzato sulla semplificazione di frazioni algebriche con il seguente:

\dfrac{(3a-1)^3-8}{3a^2-6a+3}

Riconosciamo al numeratore una differenza tra cubi:

\dfrac{(3a-1)^3-8}{3a^2-6a+3}=\dfrac{(3a-1)^3-2^3}{3a^2-6a+3}=

Scomponiamo la differenza tra cubi al numeratore ponendo {A=3a-1} e {B=2} e ricordando che si ha {A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)}:

\begin{align*} & =\dfrac{(3a-1-2)[(3a-1)^2+2(3a-1)+4]}{3a^2-6a+3}= \\ \\ & =\dfrac{(3a-3)(9a^2-6a+1+6a-2+4)}{3a^2-6a+3}= \\ \\ & =\dfrac{(3a-3)(9a^2+3)}{3a^2-6a+3}=\dfrac{3(a-1)\cdot3(3a^2+1)}{3a^2-6a+3}=\\ \\ & =\dfrac{9(a-1)(3a^2+1)}{3a^2-6a+3} = \dfrac{9(a-1)(3a^2+1)}{3(a^2-2a+1)}= \end{align*}

Rimane ora da scomporre il quadrato di un binomio al denominatore:

= \dfrac{9(a-1)(3a^2+1)}{3(a-1)^2}

Imponiamo le condizioni di esistenza della frazione algebrica:

3(a-1)^2 \neq 0 \quad \iff \quad a \neq 1

Concludiamo con la semplificazione della frazione algebrica:

\begin{align*} &  \dfrac{9(a-1)(3a^2+1)}{3(a-1)^2}= \dfrac{\cancel{9}^{\scriptsize \displaystyle3}\cancel{(a-1)}(3a^2+1)}{\cancel{3}(a-1)^{\cancel{2}}}=\dfrac{3(3a^2+1)}{a-1} = \\ \\ & =\dfrac{9a^2+3}{a-1} , \qquad a \neq 1\end{align*}

Esercizio 13

Concludiamo questa serie di esercizi sulla semplificazione di frazioni algebriche con un esercizio che richiede di eseguire delle scomposizioni con la regola di Ruffini.

\dfrac{x^3+x^2-5x+3}{2x^3+5x^2-4x-3}

Osserviamo che il polinomio al numeratore si annulla per {x=1}. Per cui per il teorema di Ruffini un suo divisore è {x-1}. Anche il polinomio a denominatore si annulla per {x=1}, per cui allo stesso modo avremo anche per esso il divisore {x-1}.

Potremo allora riesprimere la frazione algebrica di partenza nella forma:

\dfrac{x^3+x^2-5x+3}{2x^3+5x^2-4x-3}=\dfrac{Q_1 (x-1)}{Q_2(x-1)}

Possiamo determinare {Q_1} e {Q_2} con la regola di Ruffini. Sono i quozienti rispettivamente delle divisioni tra il polinomio a numeratore e {x-1} e tra il polinomio a denominatore e ancora {x-1}. Cominciamo dal primo polinomio (omettiamo per brevità le tabelle):

(x^3+x^2-5x+3):(x-1), \quad Q_1(x)=x^2+2x-3

Per il secondo polinomio:

(2x^3+5x^2-4x-3):(x-1), \quad Q_2(x)=2x^2+7x+3

e quindi possiamo scrivere per la frazione algebrica:

\dfrac{x^3+x^2-5x+3}{2x^3+5x^2-4x-3}=\dfrac{(x^2+2x-3)(x-1)}{(2x^2+7x+3)(x-1)}

Ci ritroviamo ora con due fattori che possono essere scomposti con la regola del trinomio caratteristico. Il trinomio caratteristico al numeratore ha coefficiente del termine di secondo grado uguale ad {1} e si scompone con la regola {x^2+sx+p=(x+m)(x+n)}, ove {m+n=s} e {m \cdot n = p}:

x^2+2x-3=(x+3)(x-1)

Il trinomio caratteristico al denominatore ha coefficiente del termine della {x^2} diverso da {1} e richiede l’uso della tecnica dei raccoglimenti parziali, ricercando due numeri la cui somma sia pari al coefficiente della {x} e il cui prodotto sia uguale al prodotto del coefficiente della {x^2} per il termine noto:

\begin{align*} & 2x^2+7x+3=2x^2+(1+6)x+3=2x^2+x+6x+3= \\ \\ & =x(2x+1)+3(2x+1)=(2x+1)(x+3)\end{align*}

Così riprendendo la frazione algebrica abbiamo:

\dfrac{(x^2+2x-3)(x-1)}{(2x^2+7x+3)(x-1)}=\dfrac{(x+3)(x-1)(x-1)}{(2x+1)(x+3)(x-1)}

Prima di eseguire le semplificazioni dobbiamo porre le condizioni di esistenza:

\small (2x+1)(x+3)(x-1) \neq 0  \: \iff \: x \neq -\dfrac{1}{2} \: \wedge x \neq -3 \: \wedge \: x \neq 1

Ora non resta che semplificare la frazione algebrica:

\begin{align*} & \dfrac{\cancel{(x+3)}\cancel{(x-1)}(x-1)}{(2x+1)\cancel{(x+3)}\cancel{(x-1)}}=\dfrac{x-1}{2x+1}, \\ \\ &\text{con} \quad x \neq -\dfrac{1}{2} \: \wedge x \neq -3 \: \wedge \: x \neq 1\end{align*}

Conclusioni

Per quanto riguarda questa scheda di esercizi sulla semplificazione di frazioni algebriche è tutto. Come avrete notato per semplificare le frazioni algebriche è importante ricordare le tecniche di scomposizione dei polinomi. Inoltre, non dimentichiamo mai di discutere il campo di esistenza prima di eseguire una qualsiasi semplificazione. Buon proseguimento!