Scomposizione con la somma e la differenza di cubi

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Monomi e polinomi (superiori)

Veniamo all’ultimo caso di scomposizione attraverso i prodotti notevoli: la scomposizione con la somma e la differenza di cubi. Ci riferiamo quindi alla regola di scomposizione in fattori dei polinomi che fa uso del prodotto notevole relativo alla somma di cubi e alla differenza di cubi.

Vedremo in particolare che grazie a questa tecnica è possibile riscrivere la somma tra i cubi di due quantità come il prodotto della somma delle due stesse quantità per il falso quadrato del binomio dato dalla loro differenza. Allo stesso modo, vedremo che la differenza tra i cubi di due quantità può essere riscritta come il prodotto della differenza delle due quantità stesse per il falso quadrato del binomio dato dalla loro somma. Dunque abbiamo due tecniche di scomposizione corrispondenti rispettivamente alla somma di cubi e alla differenza di cubi. Comune ad entrambi i casi è la presenza di un falso quadrato nella corrispondente scomposizione.

Fatte le dovute premesse, vediamo subito la regola relativa alla scomposizione con la somma e la differenza di cubi.

Regole per la scomposizione dei polinomi con la somma e la differenza di cubi

Ricordiamo il prodotto notevole della somma di cubi:

(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3

Grazie alla proprietà simmetrica dell’uguaglianza abbiamo di conseguenza:

\boxed{a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)}

La somma dei cubi di due quantità è uguale al prodotto della somma delle due stesse quantità per il falso quadrato del binomio dato dalla differenza di tali quantità.

Allo stesso modo, a partire dal prodotto notevole della differenza di cubi:

(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3

Anche in questo caso, sfruttando la proprietà simmetrica dell’uguaglianza possiamo scrivere:

\boxed{a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}

La differenza dei cubi di due quantità è uguale al prodotto della differenza della due quantità per il falso quadrato del binomio dato dalla loro somma. Nella differenza sarà preceduto dal segno meno il termine che nel polinomio da scomporre è associato al cubo preceduto dal segno meno.

Vediamo subito degli esempi per mettere in pratica le regole appena enunciate.

Esempio sulla scomposizione con la somma di cubi

Scomporre il polinomio:

x^3+27

Riconosciamo immediatamente nel polinomio una somma di cubi. Infatti abbiamo rispettivamente il cubo di {x} e il cubo di {3}.

Secondo la regola precedentemente data, abbiamo bisogno di due fattori per la scomposizione. Uno è la somma dei termini {x} e {3}, ovvero il binomio {\boxed{x+3}}. L’altro fattore è dato dal falso quadrato della loro differenza. Ora, possiamo costruire il falso quadrato sia a partire dal binomio {x-3}, sia a partire dal binomio {3-x}. Il risultato che si ottiene è lo stesso.

Ricordiamo che il falso quadrato di un binomio è dato dalla somma dei quadrati dei suoi termini più il loro prodotto (e non il doppio prodotto). Nel nostro caso, il falso quadrato da utilizzare per la scomposizione è dato da:

{x^2-3x+9}

ovvero la somma dei quadrati di ciascun termine del binomio ad esempio {x-3} e del prodotto dei suoi termini, ossia {x \cdot (-3) = -3x}.

Ora abbiamo i due fattori necessari per la scomposizione e possiamo scrivere in conclusione:

x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9)

Esempio con la differenza di cubi

Scomporre il polinomio:

27x^3-8

Anzitutto riconosciamo nel polinomio una differenza tra cubi poiché effettivamente abbiamo la differenza tra il cubo di {\boxed{3x}} e il cubo di {\boxed{2}}. Infatti {(3x)^3=27x^3} e {2^3=8}.

Un primo fattore del quale abbiamo bisogno è la differenza tra le quantità che danno origine ai cubi. Ora, è fondamentale stare attenti all’ordine nel quale scriviamo i termini nella differenza.

Osserviamo in particolare che nel polinomio da scomporre il segno meno è davanti al termine {8}, ovvero il cubo di {2}. Nello scrivere la differenza, dovremo quindi assicurarci che il sottraendo sia proprio il termine {2}. Così nella scomposizione avremo il fattore \boxed{{3x-2}} e non {2-3x}.

L’altro fattore del quale abbiamo bisogno è il falso quadrato del polinomio dato dalla somma {3x+2}, ovvero {\boxed{9x^2+6x+4}}.

In conclusione vale per il polinomio di partenza la scomposizione:

27x^3-8=(3x-2)(9x^2+6x+4)

Scomposizione di somme e differenze del tipo {a^{6} \pm b^{6}}

E’ possibile in alcuni casi adattare la tecnica di scomposizione con la somma e differenza di cubi al caso più generale della scomposizione di polinomi del tipo:

a^n \pm b^n

Consideriamo per il momento il solo caso:

a^6 \pm b^6

Per scomporre polinomi di questo tipo il trucco sta nell’utilizzare la regola delle potenze di potenze. Ricordiamo che ad esempio {\left( a^n\right)^m = a^{n \cdot m}}.

Consideriamo il polinomio:

a^6-b^6

Grazie alla proprietà delle potenze di potenze possiamo riscriverlo come:

\left( a^2\right)^3-\left( b^2\right)^3

Infatti {\left( a^2\right)^3-\left( b^2\right)^3=a^{2 \cdot 3} - b^{2 \cdot 3} = a^6-b^6}.

Ma allora il polinomio {a^6-b^6} è riesprimibile come una differenza tra cubi. Ponendo le sostituzioni {A=a^2} e {B=b^2} abbiamo:

\begin{align*} & a^6-b^6=\left( a^2\right)^3-\left( b^2\right)^3=A^3-B^3= \\ \\ & =(A-B)(A^2+AB+B^2)= \end{align*}

Abbiamo quindi applicato la regola della scomposizione in fattori relativa alla differenza di cubi. Risostituendo infine ad {A} e {B} le corrispondenti espressioni:

\begin{align*} & =(a^2-b^2)[(a^2)^2+a^2 \cdot b^2 + (b^2)^2] =  \\ \\ & = (a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4)=\\ \\ & =(a-b)(a+b)(a^4+a^2b^2+b^4)\end{align*}

Così possiamo intanto scrivere:

a^6-b^6=(a-b)(a+b)(a^4+a^2b^2+b^4)

Ora rimane da osservare che il polinomio {a^4+a^2b^2+b^4} è il falso quadrato del binomio {a^2+b^2}. Teniamo conto che un “vero quadrato” di un binomio differisce dal falso quadrato dello stesso binomio per il prodotto fra i suoi termini. In generale quindi il falso quadrato del binomio {a+b} si scrive come{(a+b)^2-ab=a^2+2ab+b^2-ab}. Quindi nel nostro caso:

\begin{align*} & a^4+a^2b^2+b^4=a^4+2a^2b^2+b^4-a^2b^2=\\ \\ & =(\overbrace{\underbrace{a^2+b^2}_{A})^2-{(\underbrace{ab}_{B})^2}}^{A^2-B^2}=\overbrace{(a^2+b^2+ab)(a^2+b^2-ab)}^{(A+B)(A-B)} \end{align*}

Per cui in conclusione abbiamo:

\boxed{a^6-b^6=(a-b)(a+b)(a^2+b^2+ab)(a^2+b^2-ab)}

In modo del tutto simile, sfruttando la scomposizione della somma di cubi otteniamo:

\begin{align*} & \boxed{a^6+b^6=(a^2)^3+(a^2)^3=(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4) }\end{align*}

Attenzione: in questo caso la scomposizione termina qui. Infatti il polinomio {a^4-a^2b^2+b^4} non è ulteriormente riducibile. Per rendercene conto, basta osservare che esso è il falso quadrato del binomio {a^2-b^2} e quindi abbiamo:

a^4-a^2b^2+b^4=a^4-2a^2b^2+b^4+a^2b^2=(a^2-b^2)^2+a^2b^2

Ci ritroviamo così con una somma di quadrati che effettivamente non è scomponibile in fattori.

Esempio 1

Scomporre il polinomio:

729x^6-x^6y^6

Osserviamo che {729=3^6}. Così siamo nel caso della differenza tra potenze seste:

729x^6-x^6y^6=3^6x^6-x^6y^6=(3x)^6-(xy)^6=

Sfruttando la proprietà delle potenze di potenze, l’idea è quella di ricondurci alla differenza tra cubi:

\begin{align*} & =[(3x)^2]^3-[(xy)^2]^3=\underbrace{(9x^2)^3-(x^2y^2)^3}_{A^3-B^3}=\\ \\ & =(\underbrace{9x^2-x^2y^2}_{A-B})(\underbrace{81x^4+9x^4y^2+x^4y^4}_{\text{falso quadrato di }9x^2+x^2y^2}) = \end{align*}

A questo punto osserviamo che {(9x^2+x^2y^2)^2-9x^4y^2= 81x^4+9x^4y^2+x^4y^4}. Infatti come sappiamo un “vero quadrato di un binomio” differisce dal corrispondente falso quadrato per il prodotto tra i termini. Per cui proseguendo i passaggi:

\begin{align*} & =(9x^2-x^2y^2)[(9x^2+x^2y^2)^2-9x^4y^2]= \\ \\ & =(9x^2-x^2y^2)(9x^2+x^2y^2+3x^2y)(9x^2+x^2y^2-3x^2y) =\\ \\ & =x^2(9-y^2)x^2(9+y^2+3y)x^2(9+y^2-3y)=\\ \\ & =x^6(9-y^2)(9+y^2+3y)(9+y^2-3y)=\\ \\ & =x^6(3-y)(3+y)(9+y^2+3y)(9+y^2-3y)\end{align*}

Osserviamo che negli ultimi passaggi abbiamo eseguito dei raccoglimenti per il termine {x^2} in ciascun fattore. Infine abbiamo scomposto il binomio {9-y^2} come un prodotto somma per differenza.

Esempio 2

Scomporre il polinomio:

64a^6+b^6

Siamo nel caso della somma fra potenze seste. Osserviamo che {64=2^6}, per cui possiamo scrivere:

64a^6+b^6=(2^6)a^6+b^6=(2a)^6+b^6=

A questo punto come visto nel caso generale del polinomio {a^6+b^6} cerchiamo di ricondurci ad una somma di cubi:

=[(2a)^2]^3+(b^2)^3=(4a^2+b^2)(16a^4-4a^2b^2+b^4)

E abbiamo così terminato poiché il fattore {16a^4-4a^2b^2+b^4} non è ulteriormente scomponibile in fattori. Esso è infatti il falso quadrato del binomio {4a^2-b^2} e si ha:

16a^4-4a^2b^2+b^4=({4a^2-b^2})^2+4a^2b^2

e abbiamo una somma di quadrati (il quadrato di {4a^2-b^2} e il quadrato di {2ab}) che effettivamente non è scomponibile in fattori.

Osservazione. Binomi del tipo {a^2+b^2}, ovvero somme di quadrati, non sono scomponibili. Infatti, non esiste alcun monomio che sostituito alla {a} o alla {b} possa rendere nullo il binomio. Di conseguenza, non esiste una radice {c} che ci consenta di scrivere per il polinomio un suo divisore (vedi teorema del resto e teorema di Ruffini).

Viceversa, come sappiamo binomi del tipo {a^2-b^2} possono essere scomposti. Ciò si giustifica osservando che sostituendo ad esempio alla lettera {a} (che consideriamo come variabile) il monomio {b} otteniamo {b^2-b^2=0}. Quindi {b} è uno zero del polinomio {a^2b^2} e questo di conseguenza sarà divisibile per un binomio della forma {x-c}, in questo caso {a-b}. Effettuando la divisione: {(a^2-b^2):(a-b)} otteniamo {Q(a)=a+b} e resto zero. Infine, poiché il prodotto del quoziente per il divisore in una divisione esatta deve restituire il dividendo, ritroviamo la scomposizione {(a^2-b^2)=(a+b)(a-b)}, che corrisponde alla regola del prodotto somma per differenza.

Vediamo ora un caso nel quale è possibile ragionare in modo simile ai casi precedenti ma considerando la regola della scomposizione della differenza di quadrati.

Scomposizione di una differenza del tipo {a^4-b^4}

Supponiamo di dover scomporre il polinomio:

a^4-b^4

Sfruttando la proprietà delle potenze di potenze questo può essere riscritto come:

\left( a^2\right)^2-\left( b^2\right)^2

e quindi, ponendo {A=a^2} e {B=b^2}:

A^2-B^2=(A+B)(A-B)=

Siamo quindi nel caso della scomposizione utilizzando il prodotto notevole somma per differenza. Risostituendo alle lettere {A} e {B} le corrispondenti espressioni:

=(a^2+b^2)(a^2-b^2)=(a^2+b^2)(a-b)(a+b)

e quindi in conclusione:

\boxed{a^4-b^4=(a^2+b^2)(a-b)(a+b)}

Osserviamo ancora una volta che il binomio {a^2+b^2} non è scomponibile in fattori. E precisiamo anche che pure un binomio del tipo {a^4+b^4} non può essere scomposto in fattori.

Esempio

Scomporre:

16a^4b^4-625a^4

Poiché {2^4=16} e {5^4=625} abbiamo:

16a^4b^4-625a^4=(2ab)^4-(5a)^4=

Abbiamo così ottenuto una differenza tra potenze quarte, che possiamo riesprimere come differenza tra quadrati:

=(4a^2b^2)^2-(25a^2)^2=(4a^2b^2+25a^2)(4a^2b^2-25a^2)=

Concludiamo i passaggi eseguendo dei raccoglimenti ed infine scomponendo una differenza tra quadrati:

=a^2(4b^2+25)a^2(4b^2-25)=a^4(4b^2+25)(2b+5)(2b-5)

Conclusioni

Per quanto riguarda la scomposizione con la somma e differenza di cubi è tutto. Nella prossima lezione ci occuperemo del trinomio caratteristico. Buon proseguimento!