Presentiamo ora il metodo di scomposizione dei polinomi con il prodotto notevole del cubo di un binomio. In pratica ci occuperemo di polinomi che possono essere scomposti osservando che rappresentano lo sviluppo del cubo di un binomio.
Ricordando la regola del prodotto notevole, il cubo di un binomio si calcola sommando tra loro il cubo del primo termine, il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo, e infine il cubo del secondo termine. Così, per la scomposizione di un polinomio con il cubo di un binomio la prima cosa da cercare sono dei termini che rappresentino i cubi di determinate quantità. Si tratterà poi di verificare che i rimanenti termini del polinomio siano i tripli prodotti costruiti con le quantità appena determinate.
Come per gli altri metodi di scomposizione basati sui prodotti notevoli, dovremo prestare particolare attenzione ai segni. Ma poiché il cubo di una quantità sarà positivo solo se la quantità positiva, e negativo in caso contrario, in questo caso una volta individuati i cubi nel polinomio da scomporre, questi ci daranno anche le informazioni sui segni.
Fatte le dovute premesse, vediamo subito la scomposizione di un polinomio con il cubo di un binomio.
Regola per la scomposizione di un polinomio con il cubo di un binomio
Ricordiamo la regola del prodotto notevole del cubo di un binomio:
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
L’uguaglianza può anche essere riletta come:
a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3
Così possiamo scomporre un polinomio di quattro termini che sia nella forma indicata come il cubo di un opportuno binomio.
Un polinomio ove siano presenti i cubi di due termini e i tripli prodotti rispettivamente del quadrato del primo termine per il secondo termine e del primo termine per il quadrato del secondo termine può essere scomposto come il cubo della somma dei due termini.
Vediamo subito degli esempi sulla scomposizione dei polinomi con il cubo di un binomio.
Esempio 1
Scomporre il polinomio:
8x^3+36bx^2+54b^2x+27b^3
Individuiamo tra i termini del polinomio due cubi: {8x^3}, ovvero il cubo della quantità {\boxed{2x}}, e {27b^3}, ovvero il cubo della quantità {{\boxed{3b}}}. Verifichiamo ora se gli altri due termini del polinomio sono i corrispondenti tripli prodotti:
- triplo prodotto del quadrato della prima quantità per la seconda quantità: {3 \cdot (2x)^2 \cdot 3b = 3 \cdot 4x^2 \cdot 3b = 36bx^2};
- triplo prodotto della prima quantità per il quadrato della seconda quantità: {3 \cdot 2x \cdot (3b)^2 = 3 \cdot 2x \cdot 9b^2 = 54b^2x}.
Effettivamente i due tripli prodotti calcolati sono uguali ai rimanenti termini del polinomio di partenza. Per cui possiamo scrivere in conclusione la scomposizione:
8x^3+36bx^2+54b^2x+27b^3=\left( 2x+3b\right)^3
Per cui vale la scomposizione del polinomio di partenza con il cubo di un binomio, ovvero il binomio {2x+3b}.
Esempio 2
Scomporre in fattori il polinomio:
125a^3-75a^2b+15ab^2-b^3
Osserviamo che il termine {125a^3} è il cubo della quantità {\boxed{5a}}, mentre {-b^3} è il cubo della quantità {\boxed{-b}}. Ricordiamo che il cubo di una quantità negativa è negativo.
Verifichiamo i due tripli prodotti:
- {3 \cdot (5a)^2 \cdot (-b) = -3 \cdot 25 a^2 \cdot b = -75a^2b};
- {3 \cdot 5a \cdot (-b)^2 = 3 \cdot 5a \cdot b^2 = 15ab^2}.
Effettivamente i due tripli prodotti sono uguali ai rimanenti termini del polinomio di partenza. In conclusione riconosciamo il cubo di un binomio e possiamo scrivere:
125a^3-75a^2b+15ab^2-b^3=\left( 5a-b\right)^3
Importante. Nella scomposizione con il cubo di un binomio è possibile ricavare immediatamente i segni dei termini del binomio a partire dai cubi. Non serve ragionare sui segni dei tripli prodotti per tale fine. Il confronto con i tripli prodotti è necessario soltanto come verifica, ma non consente eventualmente di aggiustare i segni dei termini corrispondenti ai cubi. Ciò deriva dal fatto che mentre il cubo di una quantità ne conserva il segno, il quadrato la rende sempre positiva. Per cui il modo di ragionare è differente rispetto ai casi delle scomposizioni con il quadrato di un binomio e di un trinomio.
Ad esempio, consideriamo il seguente polinomio: {a^3-3a^2b-3ab^2+b^3} Mentre individuiamo immediatamente i termini corrispondenti ai cubi, ovvero {a} e {b}, non riusciamo a verificare i tripli prodotti. Infatti {3 \cdot a^2 \cdot b \neq -3a^2b} e inoltre {3 \cdot a \cdot b^2 \neq 3ab^2}. Nonostante i tripli prodotti siano uguali in modulo ai termini del polinomio di partenza, non possiamo fare nulla. I segni dei termini dell’eventuale binomio da utilizzare per la scomposizione sono infatti determinati dai cubi. Così, possiamo soltanto trarre la conclusione che il polinomio di partenza non è il cubo di un binomio. Come vedremo tale polinomio si scompone piuttosto con la regola di Ruffini.
Conclusioni
Per quanto riguarda la scomposizione in fattori dei polinomi con il cubo di un binomio è tutto. Per chi vuole allenarsi ulteriormente è disponibile la scheda di esercizi correlata.
Nella prossima lezione ci occuperemo della scomposizione in fattori con il prodotto notevole della somma e differenza di cubi. Buon proseguimento!
| « Lezione precedente | Esercizi correlati | Lezione successiva » |
| Ulteriori esercizi |