In questa lezione vediamo nel dettaglio come scomporre in fattori un polinomio mediante la tecnica di scomposizione con il quadrato di un trinomio. Come dice il nome, tale metodo si basa sul prodotto notevole del quadrato di un trinomio.
Come in tutti i metodi di scomposizione basati sui prodotti notevoli, anche nel caso della scomposizione con il quadrato di un trinomio, l’idea è quella di ricercare nel polinomio da scomporre i termini che compaiono nello sviluppo del prodotto notevole. Ricordiamo che il quadrato di un trinomio è composto da sei termini, ovvero i quadrati dei termini del trinomio più tre doppi prodotti. E ogni doppio prodotto ha per fattori ciascuna possibile coppia fra i termini del trinomio.
Così, per controllare se un polinomio può essere scomposto con il prodotto notevole del quadrato di un trinomio, prima di tutto controlleremo se troviamo i quadrati. Dopo di che, verificheremo se i rimanenti termini sono i doppi prodotti. E nel fare questo, dovremo ragionare attentamente sui segni. Sono infatti i doppi prodotti gli unici in grado di darci informazioni sui segni dei termini che costituiscono il trinomio che dovremo costruire.
In conclusione, grazie a questo metodo sarà alla fine possibile esprimere il polinomio di partenza come il quadrato di un trinomio, ovvero come un prodotto fra due trinomi uguali tra loro, il che effettivamente rappresenta una scomposizione in fattori del polinomio di partenza.
Fatte le dovute premesse, vediamo subito come scomporre un polinomio utilizzando la regola del quadrato di un trinomio.
Regola per la scomposizione con il quadrato di un trinomio
Ricordiamo brevemente la regola del prodotto notevole del quadrato di un trinomio:
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza abbiamo di conseguenza:
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac = (a+b+c)^2
In altre parole, se è un polinomio si presenta nella forma dell’espressione a sinistra dell’uguale, è possibile riscriverlo come il quadrato di un trinomio. E ciò rappresenta la scomposizione in fattori del polinomio di partenza.
Se in un polinomio di sei termini riconosciamo i quadrati di tre quantità e i doppi prodotti rispettivamente della prima quantità per la seconda, della seconda quantità per la terza e infine della prima quantità per la terza, allora il polinomio dato è uguale al quadrato della somma delle tre quantità stesse (quadrato di un trinomio).
Cominciamo subito con un esempio. Scomponiamo il polinomio:
9a^2+b^2+4c^2+6ab+12ac+4bc
Prima di tutto controlliamo se abbiamo tre quadrati.
Osserviamo che il termine {9a^2} è il quadrato di {\boxed{3a}}, il termine {b^2} è il quadrato di {\boxed{b}} e infine {4c^2} è il quadrato di {\boxed{2c}}. Così intanto possiamo affermare che i primi tre termini del polinomio da scomporre sono dei quadrati.
Ora, costruiamo i tre doppi prodotti con le tre quantità che abbiamo appena ricavato, secondo la precedente regola:
- doppio prodotto della prima quantità per la seconda: {2 \cdot 3a \cdot b = 6ab};
- doppio prodotto della seconda quantità per la terza: {2 \cdot b \cdot 2c= 4bc};
- infine, doppio prodotto della prima quantità per la terza: {2 \cdot 3a \cdot 2c = 12ac}.
A questo punto rimane soltanto da controllare se i rimanenti termini del polinomio di partenza sono uguali ai doppi prodotti appena scritti. La risposta è sì, per cui possiamo riconoscere nel polinomio di partenza il quadrato di un trinomio. Abbiamo quindi la scomposizione:
9a^2+b^2+4c^2+6ab+12ac+4bc=\left( 3a+b+2c\right)^2
Mostriamo ora degli esempi nei quali dovremo fare dei ragionamenti anche sui segni.
Esempio 1
Scomporre in fattori il polinomio:
4a^2+b^2+9+4ab-12a-6b
Osserviamo subito che i primi tre termini sono i quadrati rispettivamente di {\boxed{2a}}, {\boxed{b}} e {\boxed{3}}. Costruiamo a questo punto i doppi prodotti utilizzando le quantità appena ricavate:
- doppio prodotto della prima quantità per la seconda: {2 \cdot 2a \cdot b =4ab};
- doppio prodotto della seconda quantità per la terza: {2 \cdot b \cdot 3 = 6b};
- infine, doppio prodotto della prima quantità per la terza: {2 \cdot 2a \cdot 3 = 12a}.
Soltanto il primo doppio prodotto che abbiamo scritto è uguale ad un termine presente nel polinomio da scomporre, ovvero {4ab}. Gli altri doppi prodotti sono uguali ai rimanenti termini del polinomio soltanto per il valore assoluto, e differiscono quindi per il segno.
Osserviamo anzitutto che poiché abbiamo ritrovato il doppio prodotto {4ab}, ovvero il doppio prodotto tra le quantità {2a} e {b}, e tale doppio prodotto è positivo, allora le due quantità devono avere lo stesso segno. Prendiamo ad esempio per esse il segno più.
Ora, nei rimanenti doppi prodotti compare oltre alle quantità {2a} e {b} il fattore {3}. E poiché i termini nel polinomio da scomporre che corrispondono a questi doppi prodotti sono negativi, è evidente che quest’ultimo fattore dovrà essere per forza negativo. Così considereremo per il trinomio da costruire un termine uguale a {-3}.
Per tutto quanto detto possiamo scrivere la scomposizione:
4a^2+b^2+9+4ab-12a-6b=(2a+b-3)^2
In alternativa è anche valida la scomposizione:
4a^2+b^2+9+4ab-12a-6b=(-2a-b+3)^2
la quale si ottiene considerando i termini {-2a} e {-b} , entrambi negativi. Di conseguenza, per fare tornare i segni sui doppi prodotti il rimanente termine dovrà essere positivo.
L’equivalenza tra le due scomposizioni non è una sorpresa, poiché effettivamente il quadrato di un polinomio è necessariamente uguale al quadrato del polinomio ad esso opposto. E ciò va di pari passo con quanto succede con i numeri (es., {(-5)^2=5^2=25}).
Esempio 2
16a^2-40ab+8ac+25b^2-10bc+c^2
Come nei casi precedenti individuiamo anzitutto i quadrati. Abbiamo {16a^2}, quadrato della quantità {\boxed{4a}}, il termine {25b^2}, quadrato della quantità {\boxed{5b}}, e infine il termine {c^2}, quadrato della quantità {\boxed{c}}.
Possiamo ragionare più rapidamente sui segni, prendendo ad esempio uno dei rimanenti termini del polinomio e cercando di capire di chi è il doppio prodotto. Ad esempio, preso il termine {8ac}, vediamo facilmente che è il doppio prodotto dei termini {4a} e {c} (infatti {2 \cdot 4a \cdot c = 8ac}). Poiché il segno di tale doppio prodotto è positivo, i termini {4a} e {c} sono necessariamente dello stesso segno. Supponiamo ad esempio che siano entrambi positivi.
Ora, poiché i rimanenti termini del polinomio corrispondenti a doppi prodotti sono negativi, per esclusione concludiamo che nel trinomio che costruiremo dovremo avere un termine uguale a {-5b}. Abbiamo quindi dovuto cambiare il segno alla quantità {5b} che avevamo determinato inizialmente. Ora controlliamo se, considerando tale quantità, costruendo i rimanenti doppi prodotti ritroviamo dei termini del polinomio:
2 \cdot 4a \cdot (-5b) = -40ab; \qquad 2 \cdot (-5b) \cdot c = -10bc
Effettivamente queste quantità sono presenti nel polinomio di partenza. Per cui per tutto quanto detto possiamo scrivere la scomposizione in fattori:
16a^2-40ab+8ac+25b^2-10bc+c^2=\left(4a-5b+c \right)^2
Conclusioni
Per quanto riguarda la scomposizione dei polinomi con il quadrato di un trinomio è tutto. Come evidenziato nel corso della lezione, è importante ricordare la regola del quadrato di un trinomio e saper ragionare correttamente sui segni dei doppi prodotti. Ciò consentirà di individuare senza errori i termini del trinomio che utilizzeremo per scrivere la scomposizione.
Ricordiamo infine che in caso di dubbio è sempre possibile sviluppare la scomposizione ottenuta e verificare che così facendo si ottiene il polinomio di partenza.
Per chi vuole allenarsi ulteriormente è disponibile la scheda di esercizi correlata. Buono studio a tutti voi!
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