In questa lezione ci occuperemo del calcolo del quadrato di un polinomio. Come vedremo tra un istante il quadrato di un polinomio è un altro caso di prodotto notevole.
Già ci siamo occupati in realtà di un primo caso di quadrato di un polinomio nell’ambito dello studio del prodotto notevole del quadrato di un binomio. Ora amplieremo il discorso introducendo i casi del quadrato di un trinomio e del quadrato di un quadrinomio.
Vediamo allora subito la regola per il calcolo del quadrato di un polinomio a partire dal prodotto notevole del quadrato di un trinomio.
Quadrato di un polinomio: caso del quadrato di un trinomio
Consideriamo un trinomio nella forma generale {a+b+c}. Il quadrato di un trinomio nella forma generale sarà quindi dato dall’espressione:
\left( a+b+c\right)^2
Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati di ciascun termine del trinomio stesso più tre doppi prodotti, ciascuno dato dal doppio del prodotto di due termini presenti nel trinomio e diversi tra loro.
In particolare vale la regola:
\left( a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
Dei tre doppi prodotti presenti, il primo è dato dal doppio prodotto tra il primo termine e quello che lo segue. Il secondo è dato dal doppio prodotto tra il secondo termine e quello che lo segue. Infine, il terzo doppio prodotto si ottiene scrivendo il doppio prodotto tra il primo termine e il terzo termine.
Ricordiamo che lo sviluppo del quadrato di un trinomio presenta in tutto sei termini (ovviamente, prima di sommare eventuali termini simili). Quindi, se nell’applicare la regola e prima di sommare gli eventuali termini simili otteniamo un diverso numero di termini, vuol dire che abbiamo sbagliato qualcosa.
Infine, precisiamo che come nel caso del quadrato di un binomio la somma {a+b+c} deve essere intesa in senso algebrico. Così, dovremo considerare ciascun termine con il segno che lo accompagna. Ciò è importante per stabilire correttamente il segno dei doppi prodotti (i quadrati saranno invece, ovviamente, sempre positivi).
Esempio (quadrato di un trinomio)
Calcoliamo il seguente quadrato di un trinomio:
(2x+3xy^2-7x^2y^3)^2
Prendiamo gli ingredienti che ci servono uno ad uno:
- quadrato del primo termine: {(2x)^2=4x^2};
- quadrato del secondo termine: {(3xy^2)^2=9x^2y^4};
- il quadrato del terzo termine: {(-7x^2y^3)^2=49x^4y^6};
- doppio prodotto tra il primo termine e il secondo: {2 \cdot 2x \cdot 3xy^2 = 12x^2y^2};
- doppio prodotto tra il secondo termine il terzo: {2 \cdot 3xy^2 \cdot (-7x^2y^3) = -42x^3y^5};
- infine, doppio prodotto tra il primo termine e il terzo: {2 \cdot 2x \cdot (-7x^2y^3) = -28x^3y^3}.
Sommando tutte le quantità appena scritte possiamo in conclusione scrivere:
(2x+3xy^2-7x^2y^3)^2=4x^2+9x^2y^4+49x^4y^6+12x^2y^2 -42x^3y^5-28x^3y^3
Abbiamo così calcolato il quadrato di un trinomio utilizzando la regola del corrispondente prodotto notevole.
Giustificazione della regola del quadrato di un trinomio
Consideriamo un trinomio nella forma generale {a+b+c}. Per le proprietà delle potenze abbiamo:
(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c)
A questo punto si tratta di calcolare il prodotto tra polinomi con la regola generale:
\begin{align*} &(a+b+c)(a+b+c)= \\ \\ & =a\cdot a + b\cdot a + c\cdot a +a\cdot b + b \cdot b + c \cdot b +
a \cdot c + b \cdot c + c \cdot c = \\ \\ & =a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2 = \\ \\ & =a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac{}\end{align*}Ed effettivamente il risultato che abbiamo trovato è in accordo con la regola precedentemente enunciata.
Quadrato di un polinomio: caso del quadrato di un quadrinomio
Vediamo di capire come calcolare il quadrato di un quadrinomio (polinomio con quattro termini) nella forma generale:
(a+b+c+d)^2
Una possibile idea è quella di utilizzare la regola del quadrato del binomio a noi già nota mediante opportune sostituzioni. Poniamo ad esempio:
A = a+b; \qquad B=c+d
Di conseguenza:
(a+b+c+d)^2=(A+B)^2 = A^2 + 2AB+B^2
Risostituendo a questo punto alla lettera {A} la quantità {a+b} e alla lettera {B} la quantità {c+d} riusciamo a ricondurci al calcolo di due quadrati di binomi e di un prodotto tra binomi:
A^2 + 2AB+B^2 =(a+b)^2+2 (a+b)(c+d) + (c+d)^2
Sviluppando l’ultima espressione scritta otteniamo:
\begin{align*} & (a+b)^2+2 (a+b)(c+d) + (c+d)^2 = \\ \\ & =a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+2ad+2bd+c^2+2cd+d^2 = \\ \\ & =\boxed{a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd}\end{align*}Osserviamo che in questo modo abbiamo ottenuto la regola:
(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
Il quadrato di un quadrinomio (polinomio di quattro termini) è uguale alla somma dei quadrati di ciascun termine, più sei doppi prodotti costruiti utilizzando tutte le possibili coppie di termini del quadrinomio tra loro differenti.
Nella pratica ciascun doppio prodotto è costruito come segue:
- doppio prodotto del primo termine per il secondo termine;
- doppio prodotto del primo termine per il terzo termine;
- il doppio prodotto del primo termine per il quarto termine;
- doppio prodotto del secondo termine per il terzo termine;
- doppio prodotto del secondo termine per il quarto termine;
- infine, il doppio prodotto del terzo termine per il quarto termine.
In altre parole per calcolare i doppi prodotti bisogna costruire le possibili coppie formate da un dato termine del quadrinomio e da ciascuno dei termini ad esso successivi.
Osserviamo che prima di sommare gli eventuali termini simili dobbiamo avere in tutto {10} termini.
Se la regola appena data risulta complicata, è sempre possibile calcolare il quadrato di un quadrinomio utilizzando la tecnica delle sostituzioni, come abbiamo appena visto per ricavare la regola stessa.
Esempio (quadrato di un quadrinomio)
Calcolare il seguente quadrato di un quadrinomio:
(2x^3+x^2-3x+1)^2
Utilizziamo la regola del corrispondente prodotto notevole che abbiamo appena dato. Ecco gli ingredienti dei quali abbiamo bisogno:
- quadrato del primo termine: {(2x^3)^2=4x^6};
- quadrato del secondo termine: {(x^2)^2=x^4};
- il quadrato del terzo termine: {(-3x)^2=9x^2};
- il quadrato del quarto termine: {1^2=1};
- il doppio prodotto del primo termine e del secondo termine: {2 \cdot 2x^3 \cdot x^2= 4x^5};
- doppio prodotto del primo termine e del terzo termine: {2 \cdot 2x^3 \cdot (-3x)=-12x^4};
- doppio prodotto del primo termine e del quarto termine: { 2 \cdot 2x^3 \cdot 1=4x^3};
- il doppio prodotto del secondo termine e del terzo: {2 \cdot x^2 \cdot (-3x)=-6x^3};
- il doppio prodotto del secondo termine e del quarto: {2 \cdot x^2 \cdot 1 = 2x^2};
- infine, doppio prodotto del terzo termine e del quarto: {2 \cdot (-3x) \cdot 1 = -6x}.
I doppi prodotti sono in tutto sei, per cui non abbiamo saltato nessun doppio prodotto. Sommando tutte le quantità scritte otteniamo:
\begin{align*} & (2x^3+x^2-3x+1)^2= \\ \\ & =4x^6+x^4+9x^2+1+4x^5-12x^4+4x^3-6x^3+2x^2 -6x= \\ \\ & = 4x^6+4x^5+(1-12)x^4+(4-6)x^3+(9+2)x^2-6x+1= \\ \\ & =4x^6+4x^5-11x^4-2x^3+11x^2-6x+1 \end{align*}e questo è il risultato del quadrato del quadrinomio dato.
Vediamo il metodo alternativo basato sulle sostituzioni:
\begin{align*} & (2x^3+x^2-3x+1)^2=\big[ \underbrace {(2x^3+x^2)}_{A}+\underbrace{(-3x+1)}_{B}\big]^2 =\\ \\ & =\underbrace{4x^6+4x^5+x^4}_{A^2}+\underbrace{2 \cdot (2x^3+x^2)(-3x+1)}_{2AB}+\underbrace{9x^2-6x+1}_{B^2}= \\ \\ & =4x^6+4x^5+x^4+2(-6x^4-3x^3+2x^3+x^2)+9x^2-6x+1=\\ \\ & =4x^6+4x^5+x^4-12x^4-6x^3+4x^3+2x^2+9x^2-6x+1= \\ \\ & =4x^6+4x^5+(1-12)x^4+(-6+4)x^3+(2+9)x^2-6x+1 = \\ \\ & =4x^6+4x^5-11x^4-2x^3+11x^2-6x+1 \end{align*}Come possiamo vedere il risultato coincide con quello ottenuto in precedenza. A voi la scelta del metodo da usare, anche tenendo conto come sempre delle indicazioni del vostro libro e dell’insegnante.
Per quanto riguarda il quadrato di un polinomio (quadrato di un trinomio e quadrato di un quadrinomio) è tutto! Per chi vuole allenarsi con gli esercizi è disponibile la scheda correlata. Buon proseguimento con SìMatematica!
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