Proponiamo in questa scheda degli esercizi svolti sulla scomposizione con il quadrato di un trinomio. Abbiamo visto la regola da utilizzare nella lezione teorica correlata.
Ricordiamo brevemente la regola per la scomposizione in fattori di un polinomio con il prodotto notevole del quadrato di un trinomio:
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2
Per cui potremo eventualmente scomporre un polinomio di sei termini come il quadrato di un trinomio. Il trucco sta nel riconoscere fra i termini presenti, ove possibile, dei quadrati e quindi verificare che i rimanenti termini del polinomio da scomporre siano i doppi prodotti su indicati. Come mostreremo negli esempi, se i doppi prodotti calcolati differiscono dai termini effettivamente presenti nel polinomio da scomporre per il solo segno, si tratterà di ragionare opportunamente sui segni dei termini.
L’obiettivo è quindi quello di determinare con il loro corretto segno i termini del trinomio che elevato al quadrato restituisce il polinomio di partenza.
Richiamati gli aspetti più importanti, vediamo subito gli esercizi sulla scomposizione con il quadrato di un trinomio.
Esercizi svolti sulla scomposizione in fattori con il quadrato di un trinomio
Esercizio 1
Scomporre il polinomio:
25m^2-10mn+20mp+n^2-4np+4p^2
Riconosciamo nei termini {25m^2}, {n^2} e {4p^2} i quadrati rispettivamente delle quantità {\boxed{5m}}, {\boxed{n}} e {\boxed{2p}}.
Calcoliamo i doppi prodotti relativamente alle quantità appena determinate e vediamo se coincidono con i rimanenti termini del polinomio:
- doppio prodotto della prima quantità per la seconda: {2 \cdot 5m \cdot n = 10mn};
- doppio prodotto della seconda quantità per la terza: {2 \cdot n \cdot 2p = 4np};
- infine, doppio prodotto della prima quantità per la terza: {2 \cdot 5m \cdot 2p = 20 mp}.
Osserviamo che soltanto l’ultimo doppio prodotto calcolato è uguale sia in modulo, sia in segno ad uno dei rimanenti termini del polinomio da scomporre. Poiché in tale doppio prodotto, che è positivo, compaiono i termini {5m} e {2p}, ciò significa che detti termini dovranno essere necessariamente concordi. Supponiamo ad esempio che siano entrambi positivi. Ora, poiché gli altri doppi prodotti sono negativi, l’unica è che il rimanente termine avrà segno meno. Per cui dovremo prendere per costruire il trinomio il termine {-n}, e non {n}.
Così possiamo in conclusione scrivere la scomposizione:
25m^2-10mn+20mp+n^2-4np+4p^2=(5m-n+2p)^2
Esercizio 2
Scomporre:
16x^2+24xz-16xy+9z^2-12yz+4y^2
Riconosciamo nei termini {16x^2}, {9z^2} e {4y^2} rispettivamente i quadrati delle quantità {\boxed{4x}}, {\boxed{3z}} e {\boxed{2y}}.
Riconosciamo inoltre in uno dei rimanenti termini del polinomio, ovvero {24xz}, il doppio prodotto delle quantità {4x} e {3z}. E poiché tale doppio prodotto è positivo, possiamo considerare entrambe le quantità ad esempio con segno più. Poiché i rimanenti termini del polinomio sono negativi, per esclusione dovremo considerare per il trinomio un termine pari a {-2y}. Così abbiamo in conclusione:
16x^2+24xz-16xy+9z^2-12yz+4y^2=(4x+3z-2y)^2
Esercizio 3
Scomporre:
64a^2-16ac-80ab+c^2+10bc+25b^2
Osservando i quadrati presenti nel polinomio individuiamo per il trinomio da costruire i termini (con segni provvisori) {\boxed{8a}}, {\boxed{c}} e {\boxed{5b}}. Dei rimanenti termini del polinomio, l’unico con segno positivo è {10bc}, che è il doppio prodotto tra i termini {c} e {5b}. Tali termini devono essere concordi (ad esempio positivi), e quindi avremo per esclusione il termine {-8a}.
Abbiamo quindi la scomposizione:
64a^2-16ac-80ab+c^2+10bc+25b^2=(-8a+c+5b)^2
Esercizio 4
Veniamo al penultimo di questi esercizi sulla scomposizione con il quadrato di un trinomio.
Scomporre:
-18ax^2-24ax+8ay+12axy-2ay^2-8a
Apparentemente siamo nei guai poiché non c’è alcun monomio che possa essere considerato come il quadrato di un altro monomio. Infatti, ogni termine ha almeno una lettera elevata ad esponente {1}. Tuttavia, osserviamo che possiamo eseguire un raccoglimento totale per il termine {-2a}:
\begin{align*} &-18ax^2-24ax+8ay+12axy-2ay^2-8a = \\ \\ & =-2a(9x^2+12x-4y-6xy+y^2+4)=\end{align*}Osserviamo che a questo punto è possibile scomporre il polinomio dentro le parentesi tonde come fatto negli esercizi precedenti:
=-2a(3x+2-y)^2
In questo caso è stato importante raccogliere per {-2a} e non per {2a}. Infatti, tale scelta del segno ha permesso di ritrovarci con i quadrati tutti preceduti da un segno più.
Per meglio chiarire, raccogliendo con {2a} ci saremmo ritrovati nella situazione:
2a(-9x^2-12x+4y+6xy-y^2-4)
ma è evidente che non esistono monomi che elevati al quadrato restituiscono delle quantità negative. Per cui non saremmo riusciti a scomporre il polinomio dentro le parentesi.
Ciò mostra che in generale, se ci ritroviamo con un polinomio che somiglia allo sviluppo del quadrato di un trinomio ma nel quale i quadrati sono preceduti tutti dal segno meno, dobbiamo necessariamente evidenziare un segno meno per poter effettuare la scomposizione. Vedremo un caso di questo tipo nel seguente esercizio.
Esercizio 5
Concludiamo questa serie di esercizi sulla scomposizione con il quadrato di un trinomio con il seguente:
-9a^2-25b^2-25+30ab+50b-30a
Poiché i quadrati sono tutti negativi, mettiamo in evidenza un segno meno (raccogliamo cioè per {-1}):
\begin{align*} &-9a^2-25b^2-25+30ab+50b-30a= \\ \\ & =-(9a^2+25b^2+25-30ab-50b+30a)\end{align*}Scomponiamo il polinomio dentro le parentesi. Riconosciamo nei termini {9a^2}, {25b^2} e {25} i quadrati delle quantità {\boxed{3a}}, {\boxed{5b}} e {\boxed{5}}. Visti i segni dei rimanenti termini del polinomio, per costruire il trinomio dovremo cambiare un segno prendendo il termine {-5b}. Abbiamo in conclusione:
-9a^2-25b^2-25+30ab+50b-30a=-(3a -5b+5)^2
Osservazione. Un polinomio del tipo: {a^2-b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}nel quale i quadrati non sono tutti dello stesso segno, non è scomponibile secondo la regola di scomposizione in fattori con il quadrato di un trinomio. In questo caso infatti anche evidenziando un segno meno ci ritroveremmo comunque con dei quadrati preceduti da un segno meno. E chiaramente non esiste alcuna quantità che elevata al quadrato restituisca un risultato negativo.
Per quanto riguarda questa scheda di esercizi sulla scomposizione in fattori con il quadrato di un trinomio è tutto. Buon proseguimento!
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