Cubo di un binomio

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Monomi e polinomi (superiori)

Proseguiamo il nostro studio dei prodotti notevoli con il caso del cubo di un binomio. Si tratta in particolare di calcolare in modo rapido la potenza di un binomio con esponente {3}.

In teoria è sicuramente possibile calcolare il cubo di un binomio sfruttando la definizione di potenza, riconducendoci ad un prodotto tra polinomi. Tuttavia, tale metodo non è particolarmente efficiente. E’ anche possibile in alternativa riscrivere il cubo di un binomio come prodotto tra il quadrato del binomio e il binomio stesso. Ma anche in questo caso, pur potendo sfruttare la regola del prodotto notevole per il quadrato del binomio, ci ritroviamo comunque a dover calcolare un prodotto tra polinomi generalmente un po’ scomodo.

Vediamo allora di introdurre una regola specifica per il caso del prodotto notevole del cubo di un binomio. In tal modo potremo calcolare rapidamente la terza potenza di un binomio.

Prodotti notevoli: cubo di un binomio

Consideriamo il cubo di un binomio in forma generica:

(a+b)^3 

Per le proprietà delle potenze:

(a+b)^3=(a+b)^2 \cdot (a+b)

Possiamo calcolare il prodotto in questo modo, una volta per tutte, in modo da stabilire una regola generale. Abbiamo, utilizzando la regola del quadrato di un binomio:

(a+b)^2 \cdot (a+b)=(a^2+2ab+b^2)\cdot(a+b) = 

Ora, calcolando il prodotto tra i due polinomi:

=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3=

e infine, sommando i termini simili e riordinando:

=a^3+(2+1)a^2b+(1+2)ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

E quindi in conclusione:

\boxed{(a+b)^3 =a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}

Possiamo allora stabilire la seguente regola.

Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo termine, più il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo termine, più infine il cubo del secondo termine del binomio.

Il cubo di un binomio è quindi costituito dalla somma di quattro termini: i cubi dei due termini più due tripli prodotti. Ed in ciascun triplo prodotto compariranno nei fattori un termine e l’altro termine elevato al quadrato (attenzione, non al cubo).

Ora, osserviamo che la somma {a+b} deve essere intesa in senso algebrico. Così, nello scrivere lo sviluppo del cubo di un binomio dovremo considerare i termini che compaiono nel binomio stesso con il loro segno.

Così avremo ad esempio:

\begin{align*} & (a-b)^3=[a+(-b)]^3 = a^3+3 \cdot a ^2 \cdot (-b)+3 \cdot a \cdot (-b)^2 + (-b)^3  = \\ \\ & =a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\end{align*}

Attenzione. Il cubo di una quantità negativa è ancora una quantità negativa. Di qui il termine {-b^3} nel risultato appena scritto.

Inoltre avremo:

\begin{align*} & (-a-b)^3 =[-a+(-b)]^3 =  (-a)^3+3 \cdot (-a)^2 \cdot (-b) + 3 \cdot (-a) \cdot (-b)^2 +(-b)^3 = \\ \\ & = -a^3-3a^2b-3ab^2-b^3\end{align*}

A questo punto vediamo subito alcuni esempi sul calcolo del cubo di un binomio.

Esempio 1

Calcolare:

(3x-4)^3

Gli ingredienti dei quali abbiamo bisogno sono:

• cubo del primo termine: {(3x)^3=27x^3};
• doppio prodotto del quadrato del primo termine per il secondo termine: {3 \cdot (3x)^2 \cdot (-4) = -108x^2};
• doppio prodotto del primo termine per il quadrato del secondo termine: {3 \cdot 3x \cdot (-4)^2 = 144x};
• infine, il cubo del secondo termine: {(-4)^3=-64};

Così sommando tra loro tutte le quantità appena scritte possiamo scrivere:

(3x-4)^3 = 27x^3-108x^2+ 144x-64

Nel calcolare i tripli prodotti è fondamentale ricordare sempre che le potenze hanno la precedenza sulle moltiplicazioni.

Esempio 2

Calcolare:

(b^3+2b)^3

Procediamo scrivendo direttamente i passaggi:

\begin{align*} &(b^3+2b)^3=(b^3)^3+3 \cdot (b^3)^2\cdot2b+3 \cdot b^3 \cdot (2b)^2+(2b)^3 =\\ \\ & =b^9+3b^6\cdot2b+3b^3\cdot4b^2+8b^3= \\ \\ & =b^9+6b^7+12b^5+8b^3  \end{align*}

Esempio 3

Consideriamo ora un caso con coefficienti frazionari:

\left( -\dfrac{3}{2}xy-\dfrac{2}{3}\right)^3

Il metodo da utilizzare è del tutto simile a quello dei casi precedenti. L’importante è ricordare che per elevare ad un esponente una frazione basta elevare a quello stesso esponente sia il numeratore, sia il denominatore della frazione stessa.

\small \begin{align*} & \left( -\dfrac{3}{2}xy-\dfrac{2}{3}\right)^3 = \\ \\ & =\left( -\dfrac{3}{2}\right)^3 (xy)^3+3 \cdot \left( -\dfrac{3}{2}xy\right)^2 \cdot \left( -\dfrac{2}{3}\right)+3 \cdot \left( -\dfrac{3}{2}xy\right) \cdot \left( -\dfrac{2}{3}\right)^2+\left( -\dfrac{2}{3}\right)^3 = \\ \\ & =-\dfrac{27}{8} x^3y^3+3  \cdot \dfrac{9}{4}x^2y^2 \cdot \left(-\dfrac{2}{3} \right)+ \left( -\dfrac{9}{2}xy\right)\cdot \dfrac{4}{9} - \dfrac{8}{27} = \\ \\ & =-\dfrac{27}{8}x^3y^3-\dfrac{9}{2}x^2y^2-2xy-\dfrac{8}{27}\end{align*}

Per quanto riguarda il cubo di un binomio è tutto. Per ulteriori esercizi svolti è disponibile la scheda correlata. Nella scheda troverete in particolare dei trucchi per poter calcolare il cubo di un trinomio utilizzando la regola relativa al prodotto notevole visto in questa lezione.

Nella prossima lezione ci occuperemo comunque del cubo di un trinomio considerando due possibili metodi per il suo calcolo. Sarà inoltre argomento della prossima lezione anche il cubo di un quadrinomio. Buon proseguimento!