Proponiamo in questa scheda degli esercizi sul prodotto somma per differenza, svolti e commentati. Continuiamo così lo studio dei prodotti notevoli con questa esercitazione sul prodotto somma per differenza di termini.
Come vedremo negli esercizi, i termini che compaiono nel prodotto somma per differenza non sono necessariamente monomi ma possono anche essere dei binomi. Riusciremo comunque a cavarcela anche in questi casi apparentemente più complicati utilizzando delle sostituzioni. In tal modo potremo utilizzare la regola relativa al caso dei monomi, al prezzo di dover semplicemente calcolare dei quadrati di binomi.
Per svolgere correttamente questo tipo di esercizi è importante saper calcolare la potenza di un monomio e quindi ricordare la regola delle potenze di potenze, nella quale interviene il prodotto tra gli esponenti.
Fatte le dovute premesse, vediamo subito questi esercizi sul prodotto somma per differenza.
Esercizi svolti sul prodotto notevole somma per differenza
Esercizio 1
Calcolare:
(1-4b)(1+4b)
Nella differenza abbiamo come minuendo il termine {1} e come sottraendo il termine {4b}. Di conseguenza il risultato del prodotto è dato dal quadrato di {1} meno il quadrato di {4b} (quadrato del minuendo meno il quadrato del sottraendo).
(1-4b)(1+4b)=1^2-(4b)^2=1-16b^2
Esercizio 2
Calcolare il seguente prodotto notevole somma per differenza:
(xy-2z)(xy+2z)
Nella differenza riconosciamo come minuendo il termine {xy} e come sottraendo (la quantità che viene tolta) il termine {2z}. Così:
(xy-2z)(xy+2z)=(xy)^2-(2z)^2=x^2y^2-4z^2
Esercizio 3
Calcolare:
\left( \dfrac{1}{4}+\dfrac{a}{3}\right)\left( \dfrac{a}{3}-\dfrac{1}{4}\right)Attenzione a non farci confondere dall’ordine con il quale si presentano i termini. Il primo termine del quale calcolare il quadrato non è {\dfrac{1}{4}}. Infatti ricordiamo sempre che dobbiamo guardare la differenza, e in base a questa sapremo quale è il primo quadrato da scrivere.
Nella differenza il minuendo è \dfrac{a}{3} e il primo quadrato da scrivere è di conseguenza {\left( \dfrac{a}{3}\right)^2}. Infine, il sottraendo è \dfrac{1}{4} e quindi il secondo quadrato da scrivere nel risultato è \left( \dfrac{1}{4}\right)^2. Quindi:
\left( \dfrac{1}{4}+\dfrac{a}{3}\right)\left( \dfrac{a}{3}-\dfrac{1}{4}\right)=\left( \dfrac{a}{3}\right)^2-\left( \dfrac{1}{4}\right)^2=\dfrac{a^2}{9}-\dfrac{1}{16}Esercizio 4
Calcolare la seguente espressione:
(-a^2b-c)(a^2b-c)
E’ certamente possibile calcolare l’espressione eseguendo il prodotto tra i due binomi secondo la regola generale del prodotto tra polinomi. Tuttavia, è anche in questo caso possibile riconoscere il prodotto notevole somma per differenza.
Per renderci conto di questo, un primo approccio consiste nel moltiplicare ciascun fattore per {-1}. Ciò è lecito poiché equivale nel complesso a moltiplicare per {1}. Abbiamo:
\begin{align*} & (-a^2b-c)(a^2b-c) = (-a^2b-c) \cdot (-1) \cdot (a^2b-c) \cdot (-1)= \\ \\ & =(a^2b+c)(-a^2b+c)=(a^2b+c)(c-a^2b) \end{align*}E’ ora immediato riconoscere il prodotto somma per differenza:
(a^2b+c)(c-a^2b)=(c)^2-(a^2b)^2=c^2-a^4b^2
Come al solito attenzione: per capire quale è il primo quadrato da scrivere dobbiamo guardare nel prodotto dato la differenza tra i termini. In questo caso la somma ci avrebbe ingannato, portandoci erroneamente a scegliere come primo quadrato la quantità {(a^2b)^2}.
Esercizio 5
Calcolare:
(a^k-b^{2k})(a^k+b^{2k})Abbiamo un prodotto somma per differenza con termini ad esponenti letterali. Pur avendo delle lettere agli esponenti in realtà nulla cambia rispetto ai casi precedenti:
(a^k-b^{2k})(a^k+b^{2k}) = (a^k)^2-(b^{2k})^2 = a^{2k}-b^{4k}Esercizio 6
Calcolare:
(x^2-x+2)(-x^2-x+2)
E’ sicuramente possibile calcolare l’espressione utilizzando la regola generale del prodotto tra polinomi. Tuttavia, per quanto corretto tale procedimento non è tra i più convenienti.
Come mostrato nella lezione teorica, l’idea è quella di effettuare delle sostituzioni. Riscriviamo intanto il prodotto di partenza come segue:
[x^2+(-x+2)][-x^2+(-x+2)]=[(-x+2)+x^2][(-x+2)-x^2]
A questo punto è chiaro che ponendo {A=-x+2} e {B=x^2} ci ritroviamo con un prodotto somma per differenza:
[(-x+2)+x^2][(-x+2)-x^2]=(A+B)(A-B)=A^2-B^2
A questo punto sostituendo alla differenza tra quadrati appena scritta le quantità che abbiamo assegnato alle variabili {A} e {B} otteniamo:
A^2-B^2 = (-x+2)^2-(x^2)^2=
e calcolando il quadrato di un binomio:
=x^2-4x+4-x^4
e questo è il risultato finale. Per cui in conclusione:
(x^2-x+2)(-x^2-x+2)=x^2-4x+4-x^4
Esercizio 7
Veniamo all’ultimo di questi esercizi sul prodotto somma per differenza. Calcolare:
(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)
Proviamo a riscrivere il prodotto come:
[a^2-(ab-b^2)][a^2+(ab+b^2)]
Osserviamo che la scrittura è corretta ma in questo modo non andiamo da nessuna parte. Infatti le quantità all’interno delle parentesi tonde sono tra loro differenti e non opposte.
Il trucco è allora riprendere il prodotto di partenza osservando che il termine {ab} presenta in un fattore segno opposto rispetto all’altro fattore. Così possiamo scrivere:
(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)=[(a^2+b^2)-ab] \cdot [(a^2+b^2)+ab]
Abbiamo così un prodotto somma per differenza relativo alle quantità {a^2+b^2} e {ab}. Possiamo quindi scrivere:
\begin{align*} & [(a^2+b^2)-ab] \cdot [(a^2+b^2)+ab]=(a^2+b^2)^2-(ab)^2= \\ \\ & =a^4+2a^2b^2+b^4-a^2b^2 = a^4+a^2b^2+b^4\end{align*}Osserviamo infine che nello svolgimento non compaiono le sostituzioni con le lettere {A} e {B}. Infatti con l’esperienza possiamo evitare di indicare esplicitamente tali sostituzioni.
Per quanto riguarda questa scheda di esercizi sul prodotto somma per differenza è tutto. Buono studio a tutti voi!
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