Operazioni con i monomi

 - 

Monomi e polinomi (superiori)

Dopo aver visto la definizione di monomio, in questa lezione ci occuperemo delle operazioni con i monomi. Come per i numeri, anche per i monomi è possibile eseguire le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed elevazione ad esponente (potenza).

Vedremo dunque le operazioni con i monomi di somma tra monomi (intesa in senso algebrico), moltiplicazione tra monomi, divisione tra monomi e infine la potenza di un monomio. Per introdurre ciascuna operazione con i monomi utilizzeremo come riferimento le definizioni e proprietà relative ai monomi e terremo inoltre conto delle proprietà delle potenze.

Cominciamo subito a vedere le operazioni con i monomi.

Operazioni con i monomi: somma tra monomi

La somma tra monomi (o più propriamente addizione tra monomi) è un’operazione con i monomi che si esegue a partire da due o più monomi simili. Precisiamo che la somma è intesa in senso algebrico. In altre parole, consideriamo una particolare addizione tra monomi ove il coefficiente di ciascun monomio può essere positivo o negativo (somma algebrica tra monomi).

La somma (algebrica) tra monomi simili (o addizione algebrica tra monomi simili) è un’operazione che ha per risultato un monomio avente come parte letterale la stessa parte letterale dei monomi da sommare e come parte numerica la somma algebrica dei coefficienti di ciascun monomio.

Se i monomi da sommare non sono simili non dovremo effettuare alcuna operazione e lasceremo la loro somma semplicemente indicata.

Così ad esempio dati i monomi:

5x^2y^3, \qquad 10x^2y^3

la loro somma è data da:

5x^2y^3+10x^2y^3=(5+10)x^2y^3=15x^2y^3

Considerati invece i monomi:

2xyz, \qquad 9xyz, \qquad -7xyz

la loro somma è data da:

\small 2xyz+9xyz+(-7xyz)=2xyz+9xyz-7xyz=(2+9-7)xyz=4xyz

Effettivamente abbiamo sommato tra loro i monomi tenendo conto del segno di ciascuno di essi. Osserviamo che è possibile scrivere direttamente i monomi uno di seguito all’altro ciascuno con il proprio segno:

2xyz+9xyz-7xyz=(2+9-7)xyz=4xyz

Espressioni con somme tra monomi

Calcoliamo la seguente espressione con somme tra monomi:

5x^2y^3-9ab+7x^2y^3+3ab+9z

Il primo passo consiste nell’individuare i monomi tra loro simili. E’ conveniente quando si è all’inizio evidenziare graficamente le parti letterali tra loro uguali:

\def\2underline#1{\underline{\underline{#1}}}  \def\3underline#1{\underline{\underline{\underline{#1}}}}
\def\4underline#1{\underline{\underline{\underline{\underline{#1}}}}}
\def\5underline#1{\underline{\underline{\underline{\underline\underline{{#1}}}}}}
5\underline{x^2y^3}-9\2underline{ab}+7\underline{x^2y^3}+3\2underline{ab}+9z

Sommando tra loro i monomi simili otteniamo:

 \def\2underline#1{\underline{\underline{#1}}}  \def\3underline#1{\underline{\underline{\underline{#1}}}}
\def\4underline#1{\underline{\underline{\underline{\underline{#1}}}}}
\def\5underline#1{\underline{\underline{\underline{\underline\underline{{#1}}}}}}
\begin{align*} 
&5\underline{x^2y^3}-9\2underline{ab}+7\underline{x^2y^3}+3\2underline{ab}+9z
= \\ \\ & = (5+7)x^2y^3+(-9+3)ab+9z= 12x^2y^3-6ab+9z \end{align*}

Per dirla con un esempio classico, possiamo sommare soltanto le mele con le mele (monomi con parte letterale x^2y^3) e le pere con le pere (monomi con parte letterale ab).

Ora, il monomio 9z ha una parte letterale differente da quella di tutti gli altri monomi (ad esempio, è una pesca) per cui non possiamo fare altro che portarcelo dietro nei passaggi fino alla fine, lasciandolo così come è.

Osservazione. Il monomio nullo è l’elemento neutro dell’operazione di somma (algebrica) tra monomi. Di conseguenza dato un qualsiasi monomio M si ha M+0=M. Infine, la somma di due monomi tra loro opposti restituisce il monomio nullo.

Così ad esempio abbiamo: 5x^2+0 = 5x^2; \qquad -7x^2y^3+7x^2y^3 = 0

Passiamo ora a considerare ulteriori operazioni con i monomi.

Moltiplicazione tra monomi

La moltiplicazione tra monomi (o prodotto tra monomi) non richiede che i monomi da moltiplicare tra loro siano simili. Di conseguenza, il risultato del prodotto tra monomi è sempre un monomio.

L’operazione di moltiplicazione tra monomi (prodotto tra monomi) è un’operazione che ha per risultato un monomio avente per coefficiente il prodotto dei coefficienti dei monomi e per parte letterale il prodotto delle parti letterali.

Il prodotto delle parti letterali si ottiene scrivendo un prodotto dato da tutte le lettere che incontriamo nelle parti letterali di ciascun monomio, ciascuna avente per esponente la somma di tutti gli esponenti con i quali compare ciascuna lettera nei monomi.

In altre parole, il prodotto delle parti letterali si calcola utilizzando le proprietà delle potenze.

Ad esempio, eseguiamo la moltiplicazione tra monomi:

3x^2y^3 \cdot 9 ab^2x^5

I monomi non sono simili ma come detto questo non è un problema. La moltiplicazione si può eseguire tra due o più monomi qualsiasi.

Cominciamo scrivendo un monomio che abbia come coefficiente il prodotto tra i coefficienti dei singoli monomi (quindi 3 \cdot 9 = 27) e una parte letterale avente tutte le lettere presenti in entrambi i monomi. Lasciamo per ora in sospeso gli esponenti delle lettere:

3x^2y^3 \cdot 9 ab^2x^5= (3\cdot9)a^{\square}b^{\square}x^{\square}y^{\square}

Per ciascuna lettera dobbiamo inserire nel quadratino la somma degli esponenti che abbiamo per quella data lettera nei monomi di partenza. Osserviamo che se in un monomio una lettera è mancante, per questa considereremo un esponente pari a zero. Abbiamo:

3x^2y^3 \cdot 9 ab^2x^5= (3\cdot9)a^{\tiny \boxed{0+1}}b^{\tiny \boxed{0+2}}x^{\tiny \boxed{2+5}}y^{\tiny \boxed{3+0}}=27ab^2x^7y^3

Consideriamo un altro esempio. Calcoliamo il seguente prodotto tra monomi:

5x^2y^3z^4 \cdot 3x^3yz^5 \cdot 2xytz 

Abbiamo:

\small 5x^2y^3z^4 \cdot 3x^3yz^5 \cdot 2xytz =(5\cdot3\cdot2) x^{2+3+1}y^{3+1+1}t^{0+0+1}z^{4+5+1}=30x^6y^5tz^{10}

Osservazione. La moltiplicazione tra monomi è un’operazione con i monomi che può essere ricondotta a lato pratico alla riduzione in forma normale di un monomio. Ad esempio, eseguire la moltiplicazione:
2a^2b^3c \cdot 3a^3b equivale a ridurre in forma normale il seguente monomio: 2a^2b^3c3a^3b

Come ulteriore esempio, calcoliamo il prodotto tra monomi:

\dfrac{2}{3}ab\cdot\dfrac{3}{4}a^2b^3 \cdot \dfrac{1}{2}a^2b^4c

Abbiamo:

\left( \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2}\right)a^{1+2+2}b^{1+3+4}c^{0+0+1}=\dfrac{1}{4}a^5b^8c

Grado del prodotto

Il grado (complessivo) del monomio che risulta dalla moltiplicazione di monomi è pari alla somma dei gradi (complessivi) dei singoli monomi. Più brevemente diciamo che il grado del prodotto di monomi è uguale alla somma dei gradi dei singoli fattori.

Consideriamo la seguente moltiplicazione fra monomi:

3x^3y^5 \cdot 4x^2y^3

Il primo monomio è di grado (complessivo) pari a 8, mentre il secondo è di grado complessivo pari a 5. Eseguiamo la moltiplicazione:

3x^3y^5 \cdot 4x^2y^3 = 12x^5 y^8

Il grado del monomio prodotto (il monomio risultato della moltiplicazione) è pari a 13, che come è immediato verificare corrisponde alla somma dei gradi dei monomi nella moltiplicazione.

Proseguiamo il nostro viaggio sulle operazioni con i monomi con un’altra importante operazione: la divisione.

Divisione tra monomi (operazioni con i monomi)

La divisione tra monomi richiede diversamente dalle altre operazioni sui monomi un’importante definizione preliminare.

In particolare, detto M il monomio dividendo e D il monomio divisore, nella divisione tra monomi desideriamo che il risultato della divisione:

Q=\dfrac{M}{D}

sia ancora un monomio.

Per poter eseguire la divisione tra un monomio M e un monomio D è allora necessario che il monomio D sia tale da fare in modo che il risultato della divisione Q non contenga lettere al denominatore.

Per avere questo, è sufficiente che le lettere della parte letterale del monomio D siano tutte presenti anche nel monomio M, ed inoltre che le lettere nel monomio D abbiano esponenti tutti minori o al più uguali a quelli che accompagnano quelle stesse lettere nel monomio M. Un monomio D che rispetta tali requisiti si dice divisore per il monomio M.

Così, eseguiremo la divisione:

\dfrac{M}{D}=Q

soltanto se D è un divisore di M. In tal caso, Q sarà un monomio tale da rispettare la condizione:

Q\cdot D = M

Ciò significa che il prodotto del monomio quoziente per il monomio divisore deve restituire il monomio dividendo.

Un monomio D è un divisore del monomio M se tutte le sue lettere sono contenute nel monomio dividendo M e se i loro esponenti sono minori o al più uguali agli esponenti nelle corrispondenti lettere del monomio dividendo M.

Così ad esempio il monomio ab^2 è divisore per il monomio a^2b^2c^3. Infatti, tutte le lettere del monomio divisore ab^2 sono contenute nel monomio dividendo a^2b^2c^3 e tutti gli esponenti delle lettere nel monomio divisore sono minori o al più uguali agli esponenti che compaiono in quelle stesse lettere nel monomio dividendo. Di conseguenza, la divisione:

\dfrac{a^2b^2c^3}{ab^2}

può essere eseguita nell’insieme dei monomi. Osserviamo che il fatto che nel monomio dividendo sia presente una lettera in più rispetto al monomio divisore non rappresenta assolutamente un problema.

Invece, il monomio 2x^3y^2 non è un divisore del monomio 5x^2y^4 poiché l’esponente della lettera x del monomio divisore è maggiore dell’esponente di quella stessa lettera nel monomio dividendo. Di conseguenza la divisione:

\dfrac{5x^2y^4}{2x^3y^2}

non può essere eseguita nell’insieme dei monomi, in quanto l’esponente del fattore x^3 è maggiore dell’esponente del fattore x^2.

Come ultimo esempio, anche la divisione:

\dfrac{2xy}{xyz}

non può essere eseguita nell’insieme dei monomi. Infatti la lettera z nel monomio divisore non è contenuta nel monomio dividendo. Di conseguenza il monomio xyz non è un divisore per il monomio 2xy.

Divisione tra due monomi

Se D è un monomio divisore per il monomio M, il risultato della divisione M:D sarà un monomio Q avente:

• coefficiente numerico uguale al quoziente tra il coefficiente del monomio dividendo M e il coefficiente del monomio divisore D;
• parte letterale che si ottiene sottraendo all’esponente di ciascuna lettera nel monomio dividendoM l’esponente della corrispondente lettera nel monomio divisore D. Se per una qualche lettera il risultato della differenza tra i rispettivi esponenti è zero, quella lettera semplicemente non comparirà nel monomio quoziente Q risultato della divisione.

Osserviamo che ciò corrisponde ad eseguire la divisione tra i coefficienti dei monomi M e D e la divisione tra le corrispondenti parti letterali. I risultati ottenuti per tali divisioni saranno rispettivamente il coefficiente e la parte letterale del monomio Q. Infine, osserviamo che in accordo con la regola precedentemente indicata, la divisione tra le parti letterali avviene secondo la regola del rapporto tra potenze di uguale base.

Per eseguire la divisione tra un monomio M e un monomio D che è suo divisore basta dividere il coefficiente del monomio M per il coefficiente del monomio D e dividere la parte letterale del monomio M per la parte letterale del monomio D. I risultati ottenuti saranno rispettivamente il coefficiente e la parte letterale del monomio quoziente Q.

Vediamo subito un esempio. Eseguiamo la divisione:

\dfrac{12x^2y^3z^5}{6xy^3z^4}

Osserviamo che è possibile eseguire la divisione in quanto il monomio al denominatore è un divisore del monomio al numeratore. Infatti, ciascuna sua lettera compare anche nel monomio al numeratore e i rispettivi esponenti sono tutti minori o al più uguali agli esponenti del monomio al numeratore. Abbiamo quindi:

\dfrac{12x^2y^3z^5}{6xy^3z^4}=\dfrac{12}{6}x^{2-1}y^{3-3}z^{5-4}=2x^1y^0z^1=2xz

Notiamo che y^0=1 e che quindi a lato pratico omettiamo la lettera y nel risultato.

Consideriamo la divisione:

\dfrac{5x^2yz}{7xy}

La divisione può essere eseguita nell’insieme dei monomi in quanto gli esponenti delle lettere al denominatore sono tutti minori o al più uguali degli esponenti delle corrispondenti lettere al numeratore. Inoltre, tutte le lettere presenti al denominatore compaiono anche al numeratore. Ricordiamo, la presenza di lettere in più al numeratore non è un problema. Abbiamo:

\dfrac{5x^2yz}{7xy}=\dfrac{5}{7}x^{2-1}y^{1-1}z^{1-0}=\dfrac{5}{7}x^1y^0z^1=\dfrac{5}{7}xz

Osserviamo che abbiamo espresso in termini formali il fatto che la z non compare al denominatore attribuendole relativamente al denominatore stesso esponente zero (di qui la scrittura z^{1-0} nei passaggi).

Infine, la divisione:

\dfrac{3a^3b^4}{5a^2b^5}

non può essere eseguita nell’insieme dei monomi. Infatti, la lettera b al denominatore presenta esponente maggiore della lettera b al numeratore.

Osservazione. Abbiamo qui rappresentato per maggior chiarezza le divisioni tra monomi con il simbolo di fratto. Tuttavia è possibile anche utilizzare il simbolo di divisione così come lo si incontra in aritmetica. Così le due corrispondenti scritture sono equivalenti ed abbiamo ad esempio: 2x^2y^2:(5xy) = \dfrac{2x^2y^2}{5xy} Osserviamo che le parentesi non sono necessarie nel monomio dividendo mentre sono obbligatorie nel monomio divisore. Ciò è conseguenza delle regole di precedenza nelle espressioni contenenti solo moltiplicazioni e divisioni.
In assenza di parentesi, infatti, le moltiplicazioni e le divisioni vengono eseguite nell’ordine da sinistra verso destra. Così, l’assenza delle parentesi nel monomio dividendo non comporta alcun problema, mentre la loro mancanza nel monomio divisore comporterebbe la divisione soltanto per il coefficiente 5. I rimanenti fattori x e y verrebbero invece moltiplicati. E questo non è chiaramente ciò che vogliamo.

Potenza di un monomio (operazioni con i monomi)

Per definire l’operazione di potenza di un monomio è sufficiente ricordare due proprietà delle potenze:

• la potenza n-esima di un prodotto è pari al prodotto delle potenze n-esime di ciascun fattore. Così ad esempio: (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n
• per la proprietà delle potenze di potenze: \left( a^k\right)^n = a^{k\cdot n}

La potenza n-esima di un monomio M è data dal monomio M^n avente parte numerica uguale al coefficiente del monomio M elevato alla n e una parte letterale costituita da tutte le lettere presenti nel monomio di partenza, ciascuna avente come esponente il prodotto tra l’esponente di quella stessa lettera nel monomio di partenza e l’esponente n.

In modo equivalente, la parte letterale della potenza n-esima del monomio M si ottiene elevando alla n la parte letterale del monomio stesso. E ciò corrisponde ad elevare alla n ciascuna potenza letterale presente nel monomio di partenza, applicando la regola delle potenze di potenze.

Così abbiamo ad esempio:

\begin{align*}&\left( 5x^2y^3z^4\right)^3  = 5^3 (x^2y^3z^4)^3 = \\ \\ & = 5^3 \cdot (x^2)^3 \cdot(y^3)^3 \cdot (z^4)^3 = \\ \\ & = 125  \cdot x^{2 \cdot 3} \cdot y^{3 \cdot 3} + z^{4 \cdot 3}=125x^6y^9z^{12}  \end{align*}

Analogamente al caso delle potenze di quantità numeriche, abbiamo anche per i monomi le proprietà:

M^0 = 1, \quad M \neq 0; \qquad M^1 = M

ove M è ovviamente un monomio. Di conseguenza un qualunque monomio non nullo elevato alla zero restituisce 1, e un qualunque monomio elevato alla 1 restituisce il monomio stesso.

Grado del monomio risultato della potenza

Detto M un monomio, il grado del monomio M^n è uguale al prodotto tra il grado (complessivo) del monomio M e l’esponente n.

Ad esempio, il monomio 3a^2b^3 ha grado (complessivo) 5. Se lo eleviamo ad esempio alla terza otteniamo:

\left( 3a^2b^3\right)^3 = 3^3 \cdot a^{2 \cdot 3} \cdot b^{3 \cdot 3} = 27a^6 b^9

Il monomio ottenuto ha grado 6+9=15, che è esattamente uguale al prodotto del grado del monomio di partenza per l’esponente al quale lo abbiamo elevato. Infatti abbiamo 5 \cdot 3 = 15.

Per quanto riguarda le operazioni con i monomi è tutto. Se volete, per allenarvi è disponibile l’esercitazione correlata. Sono inoltre disponibili ulteriori approfondimenti nel sito Altramatica.

Nella prossima lezione ci occuperemo del massimo comune divisore tra monomi.