Massimo comune divisore di monomi

 - 

Monomi e polinomi (superiori)

Dopo aver visto la divisione tra monomi, in questa lezione ci occupiamo del massimo comune divisore di monomi (due o più monomi). A proposito della divisione abbiamo definito il concetto di divisore di un monomio, e questo sarà fondamentale per capire come determinare il massimo comune divisore di due o più monomi.

Vediamo allora subito come determinare l’MCD tra due o più monomi.

Definizione di massimo comune divisore di due o più monomi

Dati due o più monomi, il loro massimo comune divisore (\small \text{MCD}) è un monomio tale da avere:

• coefficiente uguale al massimo comune divisore dei coefficienti dei monomi di partenza se questi sono interi, coefficiente uguale a 1 se almeno uno dei coefficienti dei monomi di partenza non è intero;
• parte letterale avente esclusivamente le lettere comuni a tutti i monomi di partenza, ciascuna elevata al più piccolo tra gli esponenti con i quali la lettera stessa compare nei monomi.

Osservazione. La regola relativa al coefficiente è puramente convenzionale. Infatti, noto un monomio divisore D relativamente ad un dato polinomio M, tutti i monomi simili al divisore D sono a loro volta divisori del monomio M. Di conseguenza, ogni monomio simile al massimo comune divisore di M può essere scelto come massimo comune divisore per il monomio M. Quindi, il coefficiente del massimo comune divisore di un monomio può essere scelto a piacere. Tuttavia, la regola data in precedenza è mirata a rendere i calcoli più agevoli, come sarà chiaro più avanti nel corso degli studi.

Esempio 1

Determinare l’\small \text{MCD} tra i seguenti monomi:

9x^5y^4, \quad 27x^3y^6

Per il coefficiente del \small \text{MCD} da determinare scegliamo di prendere il \small \text{MCD} tra i coefficienti dei monomi dati. E questo si determina a partire dalle scomposizioni in fattori primi dei coefficienti, scegliendo i soli fattori comuni a tutte le scomposizioni e ciascuno con il più piccolo tra gli esponenti con i quali compare nelle scomposizioni stesse. Nel nostro caso abbiamo:

9=3^2; \quad 27=3^3, \qquad \text{MCD}\left( 9,27\right)=3^2=9

Veniamo ora alla parte letterale. Le lettere comuni ad entrambi i monomi sono x e y. Il più piccolo esponente con il quale si presenta la x è 3. Di conseguenza per la parte letterale del massimo comune divisore abbiamo intanto un fattore x^3. Poi, il più piccolo esponente con il quale compare la y è 4. Così abbiamo anche un fattore y^4.

Per quanto visto, concludiamo che:

\text{MCD}\left( 9x^5y^4; \: 27x^3y^6\right)=9x^3y^4

Esempio 2

Determinare:

\text{MCD}\left( 25x^2y^3; \: 10x^3y; \: 20x^4y^2z^4\right)

Per il coefficiente scegliamo anche in questo caso di prendere il massimo comune divisore tra i coefficienti di ciascun monomio. Così per il massimo comune divisore dei coefficienti dei monomi abbiamo:

\small 25=5^2; \quad 10=2 \cdot 5; \quad 20=2^2 \cdot 5 \quad \Rightarrow \quad \text{MCD}(25, 10, 20)= 5

Veniamo ora alla parte letterale. Le lettere che compaiono in tutti i monomi di partenza sono x e y. Le lettera z compare soltanto in un monomio e quindi va esclusa.

Ora, la lettera x compare nei monomi con gli esponenti 2, \: 3, \: 4. Il più piccolo tra gli esponenti è 2, così intanto abbiamo per la parte letterale del massimo comune divisore il fattore x^2. Poi, la lettera y compare nei monomi con gli esponenti 3, \: 1, \: 2. Il più piccolo esponente è 1 per cui abbiamo per la parte letterale del massimo comune divisore anche il fattore y.

Possiamo quindi scrivere:

\text{MCD}\left( 25x^2y^3; \: 10x^3y; \: 20x^4y^2z^4\right)=5x^2y

Esempio 3

\text{MCD}\left( -\dfrac{1}{2}a^2b^3c^2, \: 9a^3bc^5, \: 3ab\right)

Poiché un coefficiente dei monomi non è intero, prendiamo come coefficiente del massimo comune divisore tra i monomi il valore 1.

Le lettere comuni a tutti i monomi sono le lettere a e b. Il più piccolo esponente con il quale si presenta la lettera a è 1, ed anche il più piccolo esponente con il quale compare la lettera b è 1. Così abbiamo:

\text{MCD}\left( -\dfrac{1}{2}a^2b^3c^2, \: 9a^3bc^5, \: 3ab\right)=ab

Per quanto riguarda il massimo comune divisore di due o più monomi è tutto. Per chi vuole allenarsi ulteriormente è disponibile l’esercitazione correlata.

Nella prossima lezione vedremo il minimo comune multiplo di due o più monomi.