Veniamo agli ultimi due casi di prodotti notevoli, ovvero la somma di cubi e la differenza di cubi. Come vedremo nel corso della lezione interviene in questi due prodotti notevoli il falso quadrato.
Il falso quadrato di un binomio è quel trinomio che contiene i quadrati dei termini del binomio e il prodotto (e non il doppio prodotto) dei due termini stessi. E affinché un prodotto possa essere riconoscibile come una somma di cubi o una differenza di cubi deve almeno avere fra i suoi fattori proprio un falso quadrato.
Vediamo allora subito come riconoscere i prodotti notevoli relativi alla somma di cubi e alla differenza di cubi.
Somma di cubi (prodotto notevole)
Abbiamo, applicando la regola generale del prodotto tra polinomi:
\begin{align*} & (a+b)(a^2-ab+b^2)= \\ \\ & =a^3+\cancel{a^2b}-\cancel{a^2b}-\cancel{ab^2}+\cancel{ab^2}+b^3=\\ \\ & =\boxed{a^3+b^3} \end{align*}da cui deduciamo la seguente regola (prodotto notevole della somma di cubi).
Il prodotto della somma di due termini per il falso quadrato della differenza dei due termini stessi è uguale alla somma dei cubi di ciascun termine.
Osserviamo infatti che il trinomio {a^2-ab+b^2} è il falso quadrato del binomio {a-b}. Infatti, il quadrato di tale binomio è:
(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2
Quindi il trinomio {a^2-ab+b^2} differisce dalla quantità {(a-b)^2} per il solo fatto di avere il prodotto tra termini e non il doppio prodotto.
Il falso quadrato di un binomio è dato dal quadrato del primo termine, più il prodotto dei due termini, più il quadrato del secondo termine.
Esempio
Calcolare il seguente prodotto:
(ab+7)(a^2b^2-7ab+49)
Riconosciamo nel trinomio {a^2b^2-7ab+49} il falso quadrato del binomio {ab-7}. Così ci ritroviamo con il prodotto di una somma di termini per il falso quadrato della loro differenza. E’ dunque possibile riconoscere nel prodotto una somma di cubi e possiamo in conclusione scrivere:
(ab+7)\underbrace{(a^2b^2-7ab+49)}_{\text{falso quadrato di }ab-7}=(ab)^3+7^3=a^3b^3+343Differenza di cubi
Abbiamo, applicando la regola generale del prodotto tra polinomi:
\begin{align*} & (a-b)(a^2+ab+b^2) = \\ \\ & =a^3-\cancel{a^2b}+\cancel{a^2b}-\cancel{ab^2}+\cancel{ab^2}-b^3=\\ \\ & =\boxed{a^3-b^3}\end{align*}da cui deduciamo la seguente regola (prodotto notevole della differenza di cubi):
Il prodotto della differenza di due termini per il falso quadrato della somma dei due termini stessi è uguale alla differenza dei cubi di ciascun termine.
Osserviamo che effettivamente il trinomio {a^2+ab+b^2} è il falso quadrato della somma {a+b}.
Esempio (differenza di cubi)
Calcolare:
(2x^2y-3xy^2)(4x^4y^2+6x^3y^3+9x^2y^4)
Riconosciamo nel trinomio che compare nel prodotto il falso quadrato del binomio {2x^2y+3xy^2}, che è esattamente la somma di quegli stessi termini la cui differenza compare nel prodotto dato. Così riconosciamo una differenza tra cubi e possiamo scrivere:
\small (2x^2y-3xy^2)(4x^4y^2+6x^3y^3+9x^2y^4)=(2x^2y)^3-(3xy^2)^3=8x^6y^3-27x^3y^6
Ragionamento per riconoscere il prodotto notevole della somma o differenza di cubi
Riassumendo, in presenza di un prodotto di un binomio per un trinomio dobbiamo considerare due possibilità:
- binomio della forma {a+b}: se il trinomio è il falso quadrato del binomio {a-b}, allora riconosciamo la somma di cubi {a^3+b^3};
- binomio della forma {a-b}: se il trinomio è il falso quadrato del binomio {a+b}, allora riconosciamo la differenza di cubi {a^3-b^3}.
Per quanto riguarda questa lezione è tutto. Qui si conclude anche il ciclo di lezioni relativi ai prodotti notevoli.
Ora che conosciamo tutti i prodotti notevoli, può esserne utile vedere la loro utilità nel calcolo dei prodotti. Vi consigliamo allora la scheda di esercizi sull’uso dei prodotti notevoli nei prodotti tra polinomi.
Nella prossima lezione ci occuperemo della divisione di un polinomio per un monomio. Buon proseguimento!
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