Divisione di un polinomio per un monomio

 - 

Monomi e polinomi (superiori)

Veniamo ora alla divisione di un polinomio per un monomio. Questa è la penultima operazione con i polinomi della quale ci occuperemo. Nella prossima lezione concluderemo lo studio delle operazioni con i polinomi con la divisione tra polinomi.

La divisione di un polinomio per un monomio è una semplice applicazione della proprietà distributiva della divisione rispetto alla somma. Così, per dividere un polinomio per un monomio basta dividere ciascun termine del polinomio per il monomio dato e quindi sommare tra loro tutti i quozienti ottenuti.

Osserviamo che il nostro desiderio è che l’operazione di divisione di un polinomio per un monomio rimanga interna all’insieme dei polinomi. In altre parole, desideriamo che il risultato della divisione sia ancora un polinomio. Di conseguenza, non vogliamo che nel risultato della divisione figurino lettere ai denominatori. E per avere tale condizione, è sufficiente che ciascun termine del polinomio di partenza sia divisibile per il monomio che compare nella divisione da effettuare. Tutto qui.

Ovviamente, è importante ricordare il concetto di divisibilità tra monomi. Ma di questo ci siamo occupati a proposito delle operazioni con i monomi.

Fatte le dovute premesse, senza ulteriori indugi vediamo subito come si esegue la divisione di un polinomio per un monomio.

Regola

Per dividere un polinomio per un monomio dobbiamo prima di tutto assicurarci che ciascun termine del polinomio sia divisibile per il monomio.

Ricordiamo che un monomio {M} è divisibile per un monomio {D} se:

• tutte le lettere presenti nel monomio {D} sono anche presenti nel monomio {M};
• tutti gli esponenti che accompagnano le lettere del monomio {D} sono minori o al più uguali agli esponenti delle corrispondenti lettere nel monomio {M}.

Osserviamo che le due condizioni assicurano che nel quoziente {M:D} non compariranno mai lettere con esponente negativo, e quindi lettere al denominatore.

Consideriamo ora la seguente divisione di un polinomio (dividendo) per un monomio (divisore):

(2x^2y+7x^3yz^2-3x^2y):(3x^2y)

Osserviamo che tutte le lettere presenti nel monomio divisore {3x^2y} compaiono anche in ciascun termine del polinomio dividendo. Inoltre, gli esponenti del monomio divisore risultano sempre minori o al più uguali degli esponenti relativi alle corrispondenti lettere in ciascun termine del polinomio dividendo.

In conclusione il polinomio dato è divisibile per il monomio che compare nella divisione. Possiamo allora dividere ciascun termine del polinomio per il monomio divisore sommando algebricamente i quozienti che mano a mano si ottengono. Abbiamo:

\begin{align*} &(2x^2y+7x^3yz^2-3x^2y):(3x^2y)= \\ \\ & =2x^2y:(3x^2y)+7x^3yz^2:(3x^2y)+(-3x^2y):(3x^2y)=\\ \\ & =\dfrac{2}{3}x^{2-2}y^{1-1}+\dfrac{7}{3}x^{3-2}y^{1-1}z^{2-0}-\dfrac{3}{3}x^{2-2}y^{1-1} = \\ \\ & =\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{3}xz^2-1 = \dfrac{7}{3}xz^2-\dfrac{1}{3}\end{align*}

Abbiamo così ottenuto il quoziente della divisione, che è ancora un polinomio.

Osserviamo che per dividere ciascun termine del polinomio per il monomio divisore dobbiamo utilizzare la regola della divisione tra monomi. E proprio in caso di dubbi sulla divisione tra monomi ricordiamo ancora la lezione sulle operazioni con i monomi.

Consideriamo ora un paio di esempi ulteriori.

Esempio 1

Eseguire la seguente divisione:

(6a^6-15a^5+12a^3):(4a^3)

Controlliamo anzitutto se è possibile eseguire la divisione.

Osserviamo intanto che la lettera {a}, presente nel monomio divisore, compare in tutti i termini del polinomio dividendo. Inoltre, l’esponente della lettera {a} nel monomio divisore risulta sempre minore o al più uguale a ciascun termine del polinomio dividendo.

Il monomio {4a^3} è allora un divisore per il polinomio che figura nella divisione. Di conseguenza l’operazione può essere eseguita ed abbiamo:

\begin{align*} & (6a^6-15a^5+12a^3):(4a^3)= \\ \\ & =\dfrac{6}{4}a^{6-3}-\dfrac{15}{4}a^{5-3}+\dfrac{12}{4}a^{3-3} = \\ \\ & =\dfrac{3}{2}a^3-\dfrac{15}{4}a^2+3\end{align*}

Esempio 2

Calcolare (se possibile) la divisione:

(3a^3b^4+9ab^5+8a^5b^4):(2a^2b)

Osserviamo che la divisione non è eseguibile nell’insieme dei polinomi. Infatti, il monomio {2a^2b} non è un divisore per il termine {9ab^5} che compare nel polinomio (la lettera {a} nel monomio divisore ha infatti esponente maggiore rispetto a quello della corrispondente lettera nel termine del polinomio).

Il rapporto tra il polinomio e il monomio dati non è quindi un polinomio ma rappresenta una frazione algebrica, e delle frazioni algebriche ci occuperemo in lezioni successive.

Grado del quoziente tra un polinomio e un monomio

Se è possibile eseguire la divisione tra un polinomio e un monomio, il grado del polinomio che si ottiene come quoziente (risultato della divisione) è uguale alla differenza tra il grado complessivo del polinomio e il grado complessivo del monomio.

Ad esempio, calcolando la seguente divisione:

(3x^2+2x+7x^3):2x=\dfrac{3}{2}x+1+\dfrac{7}{2}x^2

otteniamo come quoziente un polinomio di secondo grado. E la differenza tra il grado del polinomio dividendo e del monomio divisore è proprio {3-1=2}. Infatti il polinomio è di terzo grado mentre il monomio è di primo grado.

Per quanto riguarda la divisione di un polinomio per un monomio è tutto. Per chi vuole allenarsi è anche disponibile la scheda correlata di esercizi (vedi link in basso). Nella prossima lezione ci occuperemo della divisione tra polinomi. Buon proseguimento!