E’ giunto ora il momento di capire cos’è il grado di un polinomio. Fatta la conoscenza con la definizione di polinomio, in questa lezione chiariremo cosa si intende per grado di un polinomio nei vari significati della definizione.
Per comprendere la definizione è anzitutto opportuno avere ben presente cosa si intende per grado di un monomio. A chi sente di avere dei dubbi in merito consigliamo prima la lettura della lezione indicata nel link.
Una volta acquisita con sicurezza la nozione di grado di un monomio, infatti, le cose risulteranno poi chiare e non ci sarà nessuna confusione in merito alle definizioni che introdurremo a seguire. Precisiamo comunque fin da subito che l’importante è aver ben chiaro se il polinomio che stiamo esaminando contiene una o più lettere e se ci riferiamo ad una lettera in particolare o meno. Le corrispondenti definizioni a tal punto risulteranno di conseguenza.
Grado di un polinomio (grado complessivo)
Si definisce grado di un polinomio (complessivo) il massimo fra i gradi dei termini (monomi) che compongono il polinomio.
Così per stabilire il grado di un polinomio si tratterà di determinare il grado di ciascun monomio che lo compone e di scegliere il valore più grande. Ricordiamo che un termine costante (ovvero un numero) ha grado zero.
Il grado di un polinomio può essere determinato sia per un polinomio in forma normale, sia per un polinomio non in forma normale. Di solito comunque ci si assicura per praticità che il polinomio sia in forma normale.
Inoltre, la definizione riguarda sia polinomi con più lettere, sia polinomi con una sola lettera.
Esempi
Il seguente polinomio (con più lettere):
9x^3y^2+7x^2y^5-12x^3y^3
ha grado 7. Infatti, il primo monomio ha grado 3+2 = 5, il secondo monomio ha grado 2+5=7 e il terzo monomio ha grado 3+3=6. Poiché 7 è il valore più grande questo è anche il grado del polinomio.
Ricordiamo che il grado di un monomio è la somma degli esponenti di tutte le lettere che compaiono nel monomio.
Il seguente polinomio (di una sola lettera):
5x^5+3x^2+9
ha grado 5. Infatti il termine di grado massimo fra i termini che compongono il polinomio è di quinto grado. Osserviamo che il termine 9 è un monomio di grado zero.
Grado di un polinomio rispetto ad una lettera
Il grado di un polinomio rispetto ad una lettera è il massimo fra i gradi dei termini del polinomio rispetto a quella lettera.
Esempi
Il primo polinomio precedentemente visto:
9x^3y^2+7x^2y^5-12x^3y^3
è di terzo grado rispetto alla lettera x, poiché effettivamente il più grande esponente con il quale si presenta la lettera x nel polinomio è 3. Invece, il polinomio è di quinto grado rispetto alla lettera y poiché il più grande esponente che accompagna la lettera y nel polinomio è proprio 5.
Il secondo polinomio:
5x^5+3x^2+9
è di quinto grado rispetto alla lettera x. Osserviamo che in questo caso, dato che il polinomio contiene una sola lettera, il grado del polinomio rispetto alla lettera presente coincide con quello complessivo del polinomio. Così per un polinomio di una sola lettera parleremo semplicemente di grado del polinomio.
E per il grado del polinomio nullo?
Il polinomio nullo è un polinomio i cui termini sono monomi aventi tutti coefficiente nullo. Così, un polinomio nullo è una somma di monomi tutti nulli. In pratica il polinomio nullo può essere visto come lo zero.
Ora, il polinomio nullo ha grado indeterminato. Alcune fonti attribuiscono al polinomio nullo grado -\infty (meno infinito).
Grado delle equazioni
Un’equazione algebrica intera in forma normale in una sola incognita può essere vista come un’uguaglianza del tipo:
P(x)=0
ove P(x) è un polinomio nella sola variabile x. Il grado dell’equazione è uguale al grado di P(x).
Così ad esempio l’equazione:
x^2+2x+7=0
è un’equazione di secondo grado (infatti P(x) è di secondo grado), mentre l’equazione:
2x^3+7x^2+9x+6=0
è di terzo grado (infatti P(x) è di terzo grado).
Le definizioni qui introdotte saranno quindi utilissime nel prosieguo dei vostri studi per capire di quale grado è un’equazione che dobbiamo risolvere. E cogliamo l’occasione anche per chiarire che la definizione di polinomio omogeneo introdotta nella precedente lezione si rivelerà in futuro utile per capire quando un’equazione è omogenea.
Conclusioni
Per questa lezione è tutto. A partire dalla prossima lezione cominceremo lo studio delle operazioni con i polinomi. La prima operazione che incontreremo sarà l’addizione tra polinomi. Proseguiremo poi con la sottrazione, fino ad introdurre l’operazione generica di somma algebrica. Quest’ultima comprende sia l’operazione di addizione tra monomi, sia quella di sottrazione.
Inoltre, per fissare le idee sulle definizioni che abbiamo visto in queste prime due lezioni sui polinomi è disponibile l’esercitazione correlata, con esercizi sulla definizione di polinomio, la riduzione dei polinomi in forma normale, polinomi omogenei, ordinati e altro ancora.
Infine, per ulteriori approfondimenti è anche disponibile questa risorsa.
Buono studio a tutti voi!
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