In questa lezione vedremo come si esegue l’addizione di polinomi. Ci riferiremo a questa operazione anche con il termine di somma tra polinomi, nonostante il termine più corretto sia quello di addizione.
La somma tra polinomi è la prima fra le operazioni tra polinomi che prendiamo in considerazione. Ora, per chi ha ben compreso la somma tra monomi la strada è piuttosto in discesa. Infatti per sommare due polinomi tra loro è sufficiente sommare tra loro tutti i monomi che li compongono. Ed è quindi fondamentale saper riconoscere i monomi simili. Ricordiamo comunque che due monomi si dicono simili quando presentano la stessa parte letterale.
Nella lezione preciseremo anche quale può essere in generale il grado del risultato dell’addizione tra due o più polinomi. Sarà importante per la comprensione di tale aspetto la definizione di grado di un polinomio, introdotta nella precedente lezione.
Cominciamo allora subito a vedere come si esegue l’addizione tra polinomi (somma tra polinomi). Con l’occasione presenteremo anche la definizione di polinomi opposti.
Somma tra polinomi
Consideriamo i seguenti polinomi:
x^2+3x+7; \qquad 9x^2+5x+9
Il risultato dell’addizione tra i due polinomi è dato dai due polinomi scritti uno di seguito all’altro, separati dal simbolo +. Inoltre, indicheremo il secondo polinomio tra parentesi. Così scriviamo:
x^2+3x+7 + \left(9x^2+5x+9 \right)
Le parentesi hanno l’utilità di rendere chiaro quali sono i termini che compongono il primo polinomio e quali sono quelli relativi al secondo.
Il risultato dell’addizione si ottiene togliendo le parentesi tonde e sommando tra loro i monomi simili. Ci ritroviamo quindi nel caso di una semplice espressione con monomi:
\begin{align*} &x^2+3x+7 + \left(9x^2+5x+9 \right)= \\ \\ & = x^2+3x+7+9x^2+5x+9= \\ \\ & = (1+9)x^2+(3+5)x+7+9=10x^2+8x+16 \end{align*}Così il polinomio 10x^2+8x+16 è il risultato dell’addizione dei due precedenti polinomi.
Veniamo ad un altro esempio. Eseguiamo la seguente addizione tra polinomi:
3a^2b+2ab-7+(-2a^2b+3ab+3)
In questo caso non dobbiamo soltanto togliere le parentesi relative al secondo polinomio ma dobbiamo anche eliminare il segno + che separa i due polinomi:
\begin{align*}&3a^2b+2ab-7+(-2a^2b+3ab+3) = \\ \\ & = 3a^2b+2ab-7-2a^2b+3ab+3= \\ \\ & = (3-2)a^2b+(2+3)ab-7+3=a^2b+5ab-4 \end{align*}E’ ora importante fare un’osservazione:
in generale la somma di due o più polinomi è un polinomio. In alcuni particolari casi il risultato di tale somma può essere un monomio.
Consideriamo ad esempio la seguente addizione tra polinomi:
9ab^2+7ab+5ab^2 +(6ab^2-20ab^2+3ab)
abbiamo:
\begin{align*}&9ab^2+7ab+5ab^2 +(6ab^2-20ab^2+3ab)= \\ \\ & = 9ab^2+7ab+5ab^2 +6ab^2-20ab^2+3ab= \\ \\ & = (9+5+6-20)ab^2+(7+3)ab = \\ \\ & =0ab^2 +10 ab = 10ab \end{align*}Osserviamo che effettivamente abbiamo ottenuto come risultato un monomio poiché i termini in ab^2 si sono cancellati fra loro. Infatti, come vediamo dai passaggi la somma algebrica dei coefficienti di tutti i monomi aventi parte letterale ab^2 è nulla.
E’ importante notare che nella prima somma abbiamo ottenuto un polinomio avente grado uguale al massimo fra i gradi dei polinomi di partenza. Nella seconda somma abbiamo invece ottenuto un risultato avente grado inferiore al massimo fra i gradi dei polinomi di partenza.
In generale abbiamo che:
il grado del risultato della somma di polinomi sarà sempre minore o al più uguale al massimo fra i gradi dei polinomi nella somma.
Da ciò concludiamo che è impossibile che il grado della somma di polinomi sia maggiore del massimo fra i gradi dei polinomi che compaiono nella somma.
Infatti, eseguendo un’addizione tra polinomi può tutt’al più scomparire la parte letterale relativa a monomi che si annullano tra loro. Tuttavia, per il resto non compariranno mai nel risultato finale parti letterali diverse da quelle presenti nei polinomi di partenza. Di qui l’impossibilità di ottenere per il risultato dell’addizione tra polinomi un polinomio di grado maggiore del massimo fra i gradi dei polinomi di partenza.
Opposto di un polinomio e somma di polinomi opposti
Dato un polinomio P, il polinomio opposto -P è un polinomio dato dalla somma algebrica degli opposti dei monomi che compongono P.
Così dato il polinomio:
3ab^2+7ab-9a^3b
il corrispondente polinomio opposto è dato da:
-3ab^2-7ab+9a^3b
Come possiamo vedere il polinomio opposto è dato da termini tutti opposti rispetto a quelli che figurano nel polinomio di partenza. In altre parole dato un polinomio il suo opposto si ottiene cambiando il segno di tutti i suoi termini.
Mostriamo ora un importante risultato sulla somma di polinomi tra loro opposti.
La somma di due polinomi tra loro opposti è uguale al polinomio nullo. In altre parole, sommando due polinomi tra loro opposti otteniamo risultato zero.
Infatti nel nostro caso abbiamo:
\begin{align*} &3ab^2+7ab-9a^3b+\left(-3ab^2-7ab+9a^3b \right) = \\ \\ & = 3ab^2+7ab-9a^3b-3ab^2-7ab+9ab^3 = \\ \\ & = (3-3)ab^2+(7-7)ab+(-9+9)ab^3=0\end{align*}Attenzione: per scrivere il polinomio opposto di un dato polinomio occorre invertire i segni di tutti i suoi termini. Un possibile errore nel quale si può incorrere all’inizio è quello di dimenticarsi di cambiare il segno di un qualche termine.
Per quanto riguarda l’addizione tra polinomi è tutto. Nella prossima lezione ci occuperemo della sottrazione. Buon proseguimento!
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