In questa scheda vi proponiamo degli esercizi sulla definizione di polinomio. Potrete così testare la comprensione di tutte le definizioni introdotte nella lezione sulla definizione di polinomio e sul grado di un polinomio.
In particolare in questi esercizi metteremo in pratica quanto appreso sulla definizione di polinomio, sui polinomi ordinati, omogenei, completi e sulle nozioni di grado di un polinomio e di polinomio opposto.
Veniamo allora subito agli esercizi sulla definizione di polinomio di questa scheda.
Esercizi sulla definizione di polinomio e definizioni correlate
Esercizio 1
Ridurre in forma normale il seguente polinomio:
3x^2+9xy3z+2ab+5ab+9xy^2
Il polinomio non è in forma normale poiché il secondo termine è un monomio non in forma normale. Inoltre, sono presenti dei termini simili (i due termini in ab). Per ridurre il polinomio dato alla forma normale dobbiamo allora ridurre in forma normale il monomio 9xy3z e sommare tra loro i monomi simili (in questo caso i termini che condividono la stessa parte letterale ab).
\begin{align*} &3x^2+9xy3z+2ab+5ab+9xy^2 \\ \\ & =3x^2+27xyz+(2+5)ab+9xy^2 = \\ \\ & = 3x^2+27xyz+7ab+9xy^2\end{align*}Il polinomio è ora ridotto in forma normale in quanto somma di monomi tutti ridotti in forma normale e non simili tra loro.
Esercizio 2
Stabilire il grado dei seguenti polinomi:
1) \qquad 3a^4+3a^3-8a^5+2a, \qquad 2) \qquad x^2y-5x^2y^2+2y^3-3y
Il primo polinomio è di quinto grado poiché il monomio di grado massimo in esso presente è di quinto grado (ci riferiamo al termine -8a^5). Osserviamo che, poiché il polinomio è di una sola lettera, il grado del polinomio stesso coincide con il più grande fra gli esponenti che accompagnano l’unica lettera presente.
Nel secondo polinomio compaiono due lettere, di conseguenza possiamo in generale riferirci sia al grado complessivo del polinomio, sia al grado rispetto ad una delle due lettere. Poiché il testo dell’esercizio parla semplicemente di grado, allora considereremo il grado complessivo.
Ora, ricordiamo che il grado di un monomio è in generale dato dalla somma di tutti gli esponenti presenti nel monomio. Così, avendo nel polinomio in esame monomi con più lettere, il grado di ciascun termine sarà dato dalla somma degli esponenti che accompagnano le lettere presenti in quel termine.
Osserviamo che il primo termine è di grado 2+1=3, il secondo termine è di grado 2+2=4, il terzo termine è di grado 3 e il quarto è di primo grado. Così il grado del polinomio sarà il massimo fra i gradi dei suoi termini, ovvero il polinomio è di quarto grado.
Esercizio 3
Determinare il grado complessivo del seguente polinomio e il grado rispetto a ciascuna lettera.
2x^2y+5-3xy^3
Il polinomio è di quarto grado (complessivo) poiché il termine di grado massimo è di quarto grado (ci riferiamo al termine -3xy^3).
Rispetto alla lettera x il polinomio è di secondo grado poiché il più grande tra gli esponenti che accompagnano la lettera x nel polinomio è 2. Allo stesso modo, rispetto alla lettera y il polinomio è di terzo grado poiché il più grande tra gli esponenti che accompagnano la lettera y è 3.
Esercizio 4
Ordinare il seguente polinomio rispetto alla lettera x e stabilire se è completo rispetto ad x.
y^4+4x^2y^3-5xy^2+4x^3y-2x^4+9
Sfruttando la proprietà commutativa dell’addizione si tratta di scambiare di posto i termini del polinomio di modo che la x si presenti con esponenti decrescenti da sinistra verso destra. E’ importante in generale concentrarsi soltanto sugli esponenti della lettera considerata per l’ordinamento, senza lasciarsi confondere dalle altre lettere. Abbiamo:
\begin{align*} &y^4+4x^2y^3-5xy^2+4x^3y-2x^4+9 \\ \\ & \Rightarrow -2x^4+4x^3y+4x^2y^3-5xy^2 +y^4+9\end{align*}Osserviamo che sia nel termine y^4 sia nel termine 9 la lettera x non compare. Di conseguenza entrambi i termini sono di grado zero rispetto ad x e possiamo scrivere nel polinomio ordinato indifferentemente y^4+9 (come effettivamente abbiamo fatto) oppure 9+y^4.
Esercizio 5
Stabilire se il seguente polinomio è omogeneo.
xyz-x^2z+8z^3
Il polinomio è omogeneo poiché tutti i termini che lo compongono sono di terzo grado. Infatti xyz è di terzo grado poiché la somma degli esponenti delle lettere presenti è uguale a 1+1+1=3. Anche il termine -x^2z è di terzo grado poiché la somma degli esponenti delle sue lettere è 2+1=3. Infine, il termine 8x^3 è banalmente di terzo grado.
Esercizio 6
Scrivere l’opposto del seguente polinomio, e verificare che la somma del polinomio dato e del suo opposto restituisce il polinomio nullo.
6xy^2+3xy-5x-7y+9
Il polinomio opposto si ottiene invertendo il segno di tutti i termini del polinomio dato:
-6xy^2-3xy+5x+7y-9
Verifichiamo che la somma tra il polinomio di partenza e il suo opposto restituisce lo zero (polinomio nullo):
\begin{align*}& 6xy^2+3xy-5x-7y+9+\left(-6xy^2-3xy+5x+7y-9 \right) = \\ \\ & = \cancel{6xy^2}-\cancel{6xy^2}+\cancel{3xy}-\cancel{3xy}-\cancel{5x}+\cancel{5x}-\cancel{7y}+\cancel{7y}+\cancel{9}-\cancel{9}=0 \end{align*}Effettivamente tutti i termini nella somma si cancellano.
Per quanto riguarda gli esercizi sulla definizione di polinomio e definizioni correlate è tutto. Buon proseguimento!
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