Espressioni con somme algebriche di polinomi

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Monomi e polinomi (superiori)

In questa scheda ci occupiamo di esercizi relativi ad espressioni con somme algebriche di polinomi. Metteremo così in partica quanto appreso sulla lezione inerente alla somma algebrica di polinomi. Il nostro obiettivo è togliere le parentesi in modo da passare da addizioni e sottrazioni tra polinomi a somme algebriche.

Nel corso dell’esercitazione mostreremo anche come ridurre i passaggi in modo da rendere più compatti gli svolgimenti. Ovviamente all’inizio è sempre bene svolgere tutti i passaggi al fine di evitare errori. Una maggiore scioltezza nei passaggi generalmente si acquisisce con il costante esercizio e con il tempo.

Fatte le dovute premesse, vediamo subito gli esercizi sulle espressioni con somme algebriche di polinomi.

Esercizi svolti su espressioni con somme algebriche di polinomi

Calcolare la seguente espressione:

ab-\left\{ \left[ -\left( b^2-a^2\right)-\left( 4ab-6b^2+3a^2\right)-b^2\right]-5ab\right\}-\left( 6a^2-4b^2\right)

All’interno delle parentesi tonde non ci sono monomi simili. Procediamo allora eliminando le parentesi tonde. Per fare questo, dobbiamo prima di tutto invertire i segni meno davanti alle parentesi tonde e allo stesso tempo invertire il segno di tutti i termini all’interno delle parentesi tonde stesse. Abbiamo:

\begin{align*}&ab-\left\{ \left[ -\left( b^2-a^2\right)-\left( 4ab-6b^2+3a^2\right)-b^2\right]-5ab\right\}-\left( 6a^2-4b^2\right)= \\ \\ & =  ab-\left\{ \left[ +(-b^2+a^2)+(-4ab+6b^2-3a^2)-b^2\right]-5ab\right\}+(-6a^2+4b^2) = \end{align*}

A questo punto è possibile eliminare le parentesi tonde togliendo anche i segni più davanti alle stesse:

=ab-\left\{ \left[ -b^2+a^2-4ab+6b^2-3a^2-b^2\right]-5ab\right\}-6a^2+4b^2=

A questo punto sommiamo i termini simili all’interno delle parentesi quadre e procediamo via via eliminando le parentesi e sommando i termini simili:

\begin{align*} &=ab-\left\{ 4b^2-2a^2-4ab-5ab\right\}-6a^2+4b^2= \\ \\ & = ab-\left( 4b^2-2a^2-9ab\right)-6a^2+4b^2= \\ \\ & = ab+(-4b^2+2a^2+9ab)-6a^2+4b^2 = \\ \\ & = ab-4b^2+2a^2+9ab-6a^2+4b^2= \\ \\ & = 10ab-4a^2 \end{align*}

Esercizio 2 (svolgimento più rapido)

Prima di passare all’esercizio vediamo delle tecniche per poter ridurre il numero dei passaggi.

Consideriamo la seguente espressione:

ab-(2ab+3a^2+9ab)

Per quanto sappiamo dobbiamo cambiare il meno davanti alle parentesi in più ed invertire tutti i segni dei termini entro le parentesi. Dopo di che sarà possibile eliminare le parentesi (eliminando in questo caso anche il più davanti alle parentesi). Vediamo i passaggi:

\begin{align*}& ab-(2ab+3a^2+9ab) = \\ \\ & = ab+(-2ab-3a^2-9ab) = \\ \\ & = ab-2ab-3a^2-9ab \end{align*}

Proviamo a saltare il passaggio intermedio passando direttamente al secondo passaggio:

\begin{align*}& ab-(2ab+3a^2+9ab) = \\ \\ & =  ab-2ab-3a^2-9ab \end{align*}

Deduciamo la seguente regola di calcolo rapido:

se compare un segno meno davanti ad una parentesi tonda ed il primo termine dentro la corrispondente coppia di parentesi è positivo, lasciamo tale segno ed eliminiamo le parentesi tonde invertendo il segno dei termini dentro le parentesi tonde stesse soltanto dal secondo in poi.

Ora passiamo ad un altro caso. Consideriamo la seguente espressione:

xy+2xz-(-3xy+4xz+9xy)

Applicando le regole standard abbiamo:

\begin{align*}& xy+2xz-(-3xy+4xz+9xy) = \\ \\ & = xy+2xz+(3xy-4xz-9xy) = \\ \\ & = xy+2xz+3xy-4xz-9xy \end{align*}

Ancora, saltando il secondo passaggio possiamo direttamente scrivere:

\begin{align*}& xy+2xz-(-3xy+4xz+9xy) = \\ \\  & = xy+2xz+3xy-4xz-9xy \end{align*}

Deduciamo questa ulteriore regola di calcolo rapido:

se compare un segno meno davanti ad una parentesi tonda ed il primo termine dentro la corrispondente coppia di parentesi è negativo, eliminiamo tale segno ed eliminiamo le parantesi tonde invertendo il segno di tutti i termini dentro le parentesi tonde stesse.

Forti di queste regole calcoliamo in modo più rapido la seguente espressione:

x^2y^2-\left\{ xy^3-\left[ x^3y-5x^2y^2-\left( 4x^3y-2xy^3\right)\right]\right\}-\left( xy^3-4x^2y^2\right)+2x^3y 

Cominciamo eliminando le parentesi tonde:

\begin{align*} &x^2y^2-\left\{ xy^3-\left[ x^3y-5x^2y^2-\left( 4x^3y-2xy^3\right)\right]\right\}-\left( xy^3-4x^2y^2\right)+2x^3y  = \\ \\ & = x^2y^2-\left\{ xy^3-\left[ x^3y-5x^2y^2-4x^3y+2xy^3\right]\right\}-xy^3+4x^2y^2+2x^3y = \end{align*}

Ora procediamo in modo del tutto simile eliminando le parentesi quadre:

\begin{align*} &= x^2y^2-\left\{ xy^3-x^3y+5x^2y^2+4x^3y-2xy^3\right\}-xy^3+4x^2y^2+2x^3y = \\ \\ & \end{align*}

Ora allo stesso modo eliminiamo le graffe:

=x^2y^2- xy^3+x^3y-5x^2y^2-4x^3y+2xy^3-xy^3+4x^2y^2+2x^3y=

Concludiamo sommando i termini simili:

= (1-5+4)x^2y^2+(-1+2-1)xy^3+(1-4+2)x^3y=-x^3y

Esercizio 3

Calcoliamo sempre utilizzando le regole di calcolo rapido la seguente espressione:

x^3-\left\{ -\left[ \dfrac{5}{2}-\left( x^2+2x\right)-\dfrac{1}{2}x^3\right]+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{7}{2}\right\}-\left( \dfrac{3}{2}x^3-\dfrac{7}{2}x\right)

Svolgiamo i passaggi utilizzando le stesse tecniche del precedente esercizio:

\begin{align*}& x^3-\left\{ -\left[ \dfrac{5}{2}-\left( x^2+2x\right)-\dfrac{1}{2}x^3\right]+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{7}{2}\right\}-\left( \dfrac{3}{2}x^3-\dfrac{7}{2}x\right) = \\ \\ & = x^3 -\bigg\{ -\underbrace{\left[ \dfrac{5}{2}-x^2-2x-\dfrac{1}{2}x^3\right]}_{\substack{\text{attenzione: il segno meno} \\ \text{davanti alla parentesi quadra} \\ \text{ha effetto solo su questi termini}}}+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{7}{2}\bigg\}-\dfrac{3}{2}x^3+\dfrac{7}{2}x = \\ \\ & = x^3-\bigg\{ -\dfrac{5}{2}+x^2+2x+\dfrac{1}{2}x^3+\underbrace{\dfrac{3}{2}x+\dfrac{7}{2}}_{\substack{\text{il segno di}  \\ \text{questi termini} \\ \text{non cambia}}}\bigg\}-\dfrac{3}{2}x^3+\dfrac{7}{2}x = \\ \\ & = x^3 +\dfrac{5}{2}-x^2-2x-\dfrac{1}{2}x^3-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{7}{2} -\dfrac{3}{2}x^3+\dfrac{7}{2}x = \\ \\ & = \left( 1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\right)x^3-x^2+\left( -2-\dfrac{3}{2}+\dfrac{7}{2}\right)x+\dfrac{5}{2}-\dfrac{7}{2} = \\ \\ & = -x^3-x^2-1\end{align*}

Importante: come evidenziato nei passaggi, prestiamo attenzione a dove hanno effetto i segni meno davanti alle parentesi. Evitiamo in tutti i modi l’errore di cambiare distrattamente il segno di termini che sono in realtà al di fuori della coppia di parentesi considerata.

Esercizio 4

Concludiamo gli esercizi sulle espressioni con polinomi di questa scheda con il seguente esercizio:

\scriptsize \dfrac{3}{2}x^2y-\left[ -\dfrac{1}{4}x^2y-\left( 5x^2y-2xy^2+3xy^2\right)-\left( -xy^2+4x^2y-3xy^2\right)-\left( 7x^2y-5xy^2\right)\right]-\dfrac{1}{4}x^2y+8xy^2

Proviamo a togliere parentesi tonde e quadre in un colpo solo. La tecnica è piuttosto avanzata e personalmente la sconsiglio. Tuttavia può tornare utile in alcuni casi ma è da utilizzare soltanto quando si è acquisita molta esperienza con il calcolo algebrico.

\scriptsize \begin{align*}& \dfrac{3}{2}x^2y-\left[ -\dfrac{1}{4}x^2y-\left( 5x^2y-2xy^2+3xy^2\right)-\left( -xy^2+4x^2y-3xy^2\right)-\left( 7x^2y-5xy^2\right)\right]-\dfrac{1}{4}x^2y+8xy^2 = \\ \\ &= \dfrac{3}{2}x^2y+\dfrac{1}{4}x^2y+5x^2y-2xy^2+3xy^2-xy^2+4x^2y-3xy^2+7x^2y-5xy^2-\dfrac{1}{4}x^2y+8xy^2 = \\ \\ & =  \left( \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4}+5+4+7-\dfrac{1}{4}\right)x^2y+\left( -2+3-1-3-5+8\right)xy^2 = \\ \\ & = \dfrac{35}{2}x^2y \end{align*}

Il trucco sta nel primo passaggio. Si tratta di vedere le quantità all’interno delle parentesi tonde come un unico termine e di considerare il simbolo di operazione che precede ciascuna parentesi come il segno di tali termini unici. Così nell’eliminare le parentesi quadre tutti i meno davanti alle parentesi tonde diventano più e di conseguenza i segni dei termini all’interno delle parentesi tonde rimangono immutati. E quindi le parentesi tonde possono essere nel contempo facilmente eliminate.

Se vi sentite più sicuri nel togliere un livello di parentesi alla volta non c’è problema ed anzi è la strada consigliabile. Ma andando avanti nel corso degli studi è bene conoscere anche queste tecniche di calcolo più rapide. Regolatevi come vi sentite più sicuri e non dimenticavi comunque di osservare le indicazioni del vostro insegnante.

Per quanto riguarda questi esercizi sulle espressioni con somme algebriche di polinomi è tutto. Buono studio!