Derivata della radice di x e di una funzione

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Domande e risposte

Come si fa a calcolare la derivata della radice di x e più in generale della radice di una funzione? Potreste dirmi come derivare una funzione del tipo radice n-esima di x e radice n-esima di una funzione di x?

Nel rispondere alla domanda su come calcolare la derivata della radice di x e di una funzione di x è utile sviluppare i seguenti punti:

• calcolo della derivata della radice quadrata di x e in generale derivata della radice n-esima di {x};
• come calcolare la derivata della radice n-esima di una funzione della variabile {x}.

Mostreremo inoltre per ciascun caso degli esercizi di esempio sul calcolo delle derivate di radici.

Calcolo della derivata della radice quadrata di x

Cominciamo dal caso più semplice, ovvero vediamo come calcolare la derivata della radice quadrata di {x}:

\dfrac{d}{dx}\sqrt{x}

Poiché tale derivata è piuttosto ricorrente, è senza dubbio conveniente ricordarne il risultato a memoria. In particolare abbiamo:

\dfrac{d}{dx}\sqrt{x} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Ricordiamo che anche i simboli {D(\sqrt{x})} oppure {(\sqrt{x})'} indicano equivalentemente la derivata della funzione {\sqrt{x}} (sottintendendo il calcolo rispetto alla variabile {x}).

Ora, al di là delle regole mnemoniche, è immediato ricavare in modo ragionato il risultato. Ricordiamo infatti, per prima cosa, che è possibile riscrivere una quantità sotto radice utilizzando le potenze razionali, ovvero ricorrendo a potenze aventi per esponente una frazione:

\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}

Di conseguenza, possiamo ricondurre il calcolo della derivata di {\sqrt{x}} a:

\dfrac{d}{dx}x^{\frac{1}{2}}

Ricordiamo la regola per la derivata della funzione potenza:

\dfrac{d}{dx}x^{\alpha}=\alpha x^{\alpha - 1}, \qquad \alpha \in \R

Così nel nostro caso, essendo {\alpha=\dfrac{1}{2}}:

\dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\dfrac{d}{dx}x^{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}x^{(\frac{1}{2}-1)}=\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=

Per proseguire i passaggi occorre ora ricordare la regole relative alle potenze con esponenti negativi. In generale abbiamo {x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}}. Così proseguendo i passaggi:

=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=

A questo punto, basta ricordare che {x^{\frac{1}{2}}} è uguale a {\sqrt{x}}. Così, proseguendo ancora:

=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Quindi, in conclusione:

\dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}

Abbiamo così ritrovato il risultato relativo alla regola presentata inizialmente.

Calcolo della radice n-esima di x

In caso di indice della radice qualsiasi, è comunque possibile estendere la regola relativa al caso della radice quadrata. Basta infatti ricorrere, come già mostrato, alle proprietà delle potenze con esponente razionale ed alla regola per la derivata della funzione potenza. In questo particolare caso, è importante ricordare che:

\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}

ove limitandoci ai casi di nostro interesse {n} e {m} sono numeri naturali.

Detto così {n} l’indice della radice (numero naturale), abbiamo:

\dfrac{d}{dx}\sqrt[n]{x}= \dfrac{d}{dx}x^{\frac{1}{n}}=\dfrac{1}{n}x^{\left(\frac{1}{n}-1\right)}=\dfrac{1}{n}x^{\frac{1-n}{n}}=\dfrac{1}{n}\sqrt[n]{x^{1-n}}=

Tenendo ancora conto delle proprietà delle potenze e dei radicali (supponendo nel corso dei passaggi {x \neq 0}):

=\dfrac{1}{n}\sqrt[n]{x \cdot x^{(-n)}}=\dfrac{1}{n}\sqrt[n]{\dfrac{x}{x^n}}=\dfrac{1}{n}\sqrt[n]{\dfrac{\frac{x}{x}}{\frac{x^n}{x}}} =\dfrac{1}{n}\sqrt[n]{\dfrac{1}{x^{n-1}}}=\dfrac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}}

Di conseguenza otteniamo la regola generale:

\boxed{\dfrac{d}{dx}\sqrt[n]{x}=\dfrac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}}}

Tuttavia, è sempre possibile riscrivere il radicale da derivare come potenza con esponente frazionario, e quindi applicare la regola della derivata della funzione potenza. In tal modo evitiamo lo sforzo di imparare troppe regole a memoria. Ma vediamo subito un esempio.

Calcoliamo la seguente derivata:

\dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{x}

Applicando la regola generale appena data, essendo {n=3} si ha:

\dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{x}=\dfrac{1}{3 \sqrt[3]{x^{3-1}}}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}

Se non ricordiamo la regola, niente panico. Basta utilizzare in alternativa le proprietà sin qui ricordate:

\small \dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{x}=\dfrac{d}{dx}x^{\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{3}x^{\left(\frac{1}{3}-1\right)}=\dfrac{1}{3}x^{\frac{1-3}{3}}=\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{x^{\frac{2}{3}}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}

Arriviamo così ugualmente al risultato finale.

Calcolo della derivata della radice n-esima di una funzione della variabile x

Veniamo ora al caso più generale su come calcolare la derivata di una radice, ovvero al calcolo di una derivata del tipo:

\dfrac{d}{dx}\sqrt[n]{f(x)}

ove l’argomento della radice è una funzione della variabile {x}.

La regola generale si ottiene tenendo conto dei ragionamenti fatti nel caso della derivata della radice n-esima di {x} e ricordando il teorema della derivata della funzione composta. In particolare abbiamo:

\boxed{\dfrac{d}{dx}\sqrt[n]{f(x)} = \dfrac{1}{n \sqrt[n]{f(x)^{n-1}}} \cdot \dfrac{d}{dx}f(x)}

In altre parole, è possibile ragionare in modo del tutto simile alla regola vista per la derivata n-esima di {x}, ma ricordando di moltiplicare per la derivata dell’argomento della radice di partenza.

Vediamo subito alcuni esempi.

Esempio 1 (come calcolare la derivata della radice di una funzione)

Calcoliamo la seguente derivata di una funzione sotto radice:

\dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{x^2-1}

Ci ritroviamo a calcolare la derivata della radice cubica di una funzione della variabile {x}, con {f(x)=x^2-1}. Di conseguenza, applicando la regola generale appena mostrata con {n=3} ed {f(x)=x^2-1} abbiamo:

\begin{align*} & \dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{\underbrace{x^2-1}_{\text{argomento}}}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x^2-1)^{3-1}}} \cdot \underbrace{\dfrac{d}{dx}(x^2-1)}_{\substack{\text{derivata} \\ \text{dell'argomento}}} = \\ \\ & =\dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x^2-1)^2} } \cdot 2x = \dfrac{2}{3}\cdot  \dfrac{x}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2}} \end{align*}

Esempio 2

Vediamo come calcolare la seguente derivata di una funzione sotto radice:

\dfrac{d}{dx}\sqrt[5]{\sin(x)}

Abbiamo:

\begin{align*} &\dfrac{d}{dx}\sqrt[5]{\sin(x)}\end{align*}=\dfrac{1}{5\sqrt[5]{\sin^4(x)}} \cdot \dfrac{d}{dx}\sin(x) = \dfrac{\cos(x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(x)}}

Esempio 3

Calcolare:

\dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{(x^3-4)^2}

Rispetto agli esempi precedenti, vi è una difficoltà in più, data dal fatto che l’argomento della radice è una funzione composta. Infatti, la funzione:

f(x)=(x^3-4)^2

è una funzione composta avente come funzione esterna la funzione potenza {x^2} e come funzione interna la funzione {x^3-4}. Quindi, nel derivare l’argomento della radice dovremo utilizzare la regola della derivata della funzione composta.

Abbiamo:

\begin{align*} &\dfrac{d}{dx} \sqrt[3]{\underbrace{(x^3-4)^2}_{\text{argomento}}} =\dfrac{1}{3 \sqrt[3]{\left[ (x^3-4)^2\right]^{3-1}}} \cdot \underbrace{\dfrac{d}{dx} [(x^3-4)^2]}_{\substack{\text{derivata} \\ \\ \text{dell'argomento}}}=\\ \\ & =\dfrac{1}{\cancel{3}\sqrt[3]{\left[ (x^3-4)^2\right]^2}} \cdot \underbrace{2(x^3-4)\cdot\cancel{3}x^2}_{\substack{\text{regola della derivata} \\ \\ \text{della f. composta}}}=\boxed{\dfrac{2x^2(x^3-4)}{\sqrt[3]{\left( x^3-4\right)^4}}}\end{align*}

Per una migliore comprensione dei passaggi, è sicuramente utile ricordare con maggior dettaglio come calcolare la derivata:

\dfrac{d}{dx}\left[ \left( x^3-4\right)^2\right]

Qui si tratta di calcolare la derivata di una funzione potenza, la cui base però è a sua volta una funzione. Mostriamo a seguire come eseguire il calcolo utilizzando, per maggiore chiarezza, dei cambi di variabile.

In questo caso basta porre {x^3-4=u} e quindi utilizzare la regola della derivata della funzione composta, come segue:

\begin{align*} &\dfrac{d}{dx}\left[ \left( x^3-4\right)^2\right]=\dfrac{d}{du}u^2 \cdot \dfrac{d}{dx}(x^3-4) = 2u \cdot 3x^2=2(x^3-4) \cdot 3x^2\end{align*}

Osserviamo che nell’ultimo passaggio abbiamo sostituito alla variabile {u} l’espressione in {x} che le avevamo assegnato. Ciò al fine di poter esprimere il risultato finale del calcolo nella sola variabile {x}.

Naturalmente, con l’esperienza sarà possibile omettere i cambi di variabile.

Esempio 4

Calcolare:

\dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{x^5}

Siamo di nuovo nel caso della derivata della radice di una funzione, con {f(x)=x^5}. Applicando la regola generale abbiamo:

\begin{align*} &\dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{x^5}=\dfrac{1}{3 \sqrt[3]{\left( x^5\right)^{3-1}}}  \cdot \dfrac{d}{dx} x^5= \dfrac{1}{3 \sqrt[3]{\left( x^5\right)^2}} \cdot 5x^4=\boxed{\dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{x^4}{\sqrt[3]{x^{10}}}}\end{align*}

Osservazione. Più semplicemente, è possibile calcolare la derivata in esame utilizzando le proprietà dei radicali. In particolare, l’idea è quella di riscrivere la funzione da derivare utilizzando gli esponenti razionali. Si ha:{\dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{x^5} = \dfrac{d}{dx}x^{\frac{5}{3}}=\dfrac{5}{3}x^{\frac{5}{3}-1}=\dfrac{5}{3}x^{\frac{2}{3}}=\dfrac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}}Il risultato è equivalente a quello ottenuto precedentemente, come dimostreremo nel seguito.

Regole di calcolo ancora più generali

Al fine di ridurre gli sforzi nel ricordare le formule, ci siamo sin qui limitati a presentare le sole due seguenti regole:

\dfrac{d}{dx}\sqrt[n]{x}=\dfrac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}}

e

\dfrac{d}{dx}\sqrt[n]{f(x)} = \dfrac{1}{n \sqrt[n]{f(x)^{n-1}}} \cdot \dfrac{d}{dx}f(x)

Abbiamo infatti mostrato negli ultimi due esempi come calcolare anche derivate del tipo

\dfrac{d}{dx}\sqrt[n]{x^m}, \qquad \qquad \dfrac{d}{dx}\sqrt[n]{f(x)^m}

ragionando semplicemente con la regola della derivata della funzione composta. Tuttavia, volendo ricavare delle regole anche per questi ultimi casi, possiamo procedere come segue. In particolare abbiamo:

\begin{align*} &\dfrac{d}{dx}\sqrt[n]{x^m}\end{align*}=\dfrac{d}{dx}x^{\frac{m}{n}}=\dfrac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}=\dfrac{m}{n}x^{\frac{m-n}{n}}=\dfrac{m}{n}\sqrt[n]{x^{m-n}}

da cui segue la regola:

\boxed{\dfrac{d}{dx}\sqrt[n]{x^m}=\dfrac{m}{n}\sqrt[n]{x^{m-n}}}

Inoltre abbiamo:

\begin{align*} & \dfrac{d}{dx}\sqrt[n]{f(x)^m}=\dfrac{d}{dx}f(x)^{\frac{m}{n}}=\dfrac{m}{n}f(x)^{\frac{m}{n}-1}\cdot \dfrac{d}{dx}f(x) =\\ \\ & =\dfrac{m}{n}f(x)^{\frac{m-n}{n}} \cdot \dfrac{d}{dx}f(x)=\dfrac{m}{n}\sqrt[n]{f(x)^{m-n}} \cdot \dfrac{d}{dx}f(x)\end{align*}

da cui segue la regola:

\boxed{ \dfrac{d}{dx}\sqrt[n]{f(x)^m}=\dfrac{m}{n}\sqrt[n]{f(x)^{m-n}} \cdot \dfrac{d}{dx}f(x)}

Così applicando tali regole, con riferimento all’esempio 4 abbiamo:

\begin{align*} &\dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{x^5}=\dfrac{5}{3} \sqrt[3]{x^{5-3}}=\dfrac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}\end{align*}

mentre con riferimento all’esempio 3:

\begin{align*} &\dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{(x^3-4)^2} =\dfrac{2}{3}\sqrt[3]{(x^3-4)^{2-3}} \cdot \dfrac{d}{dx}(x^3-4)=\\ \\ & =\dfrac{2}{3} \sqrt[3]{(x^3-4)^{-1}} \cdot 3x^2=\dfrac{2}{3}\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^3-4}} \cdot 3x^2=\dfrac{2}{\cancel{3}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^3-4}} \cdot \cancel{3}x^2=\\ \\ & =\dfrac{2x^2}{\sqrt[3]{x^3-4}} \end{align*}

Si può dimostrare che i risultati appena scritti sono equivalenti a quelli ottenuti nei precedenti esempi. Infatti sviluppando ulteriormente i risultati degli esempi precedenti abbiamo rispettivamente:

\begin{align*} &\boxed{\dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{x^4}{\sqrt[3]{x^{10}}}}=\dfrac{5}{3}\cdot \sqrt[3]{\dfrac{\left(x^4\right)^3}{x^{10}}}=\dfrac{5}{3}\sqrt[3]{\dfrac{x^{12}}{x^{10}}}=\dfrac{5}{3}\sqrt[3]{x^{12-10}}=\dfrac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}\end{align*}

e:

\begin{align*} &\boxed{\dfrac{2x^2(x^3-4)}{\sqrt[3]{\left( x^3-4\right)^4}}}= 2x^2 \sqrt[3]{\dfrac{(x^3-4)^3}{(x^3-4)^4}}=2x^2 \sqrt[3]{\dfrac{1}{(x^3-4)}}=\dfrac{2x^2}{\sqrt[3]{x^3-4}}\end{align*}

Ritroviamo così in entrambi i casi i risultati nelle forme relative alle ultime due regole enunciate.

Abbiamo così visto come calcolare la derivata della radice n-esima di x e più in generale la derivata della radice di una funzione, anche nei casi in cui l’argomento della radice sia elevato ad un certo esponente m. Un uso ragionato del teorema della derivata della funzione composta consente di ridurre al minimo le regole da ricordare. Tuttavia, nella seguente tabella intendiamo riepilogare come utile riferimento per gli esercizi sulle derivate le varie regole sin qui presentate.