Esercizi sull’equazione di una retta

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Esercizi sulla retta nel piano e coordinate cartesiane

Proponiamo in questa scheda una serie di esercizi sull’equazione di una retta, il cui obiettivo è quello di scrivere l’equazione di una retta noti:

• le coordinate di due punti appartenenti alla retta;
• le coordinate di un punto appartenente alla retta e il valore del suo coefficiente angolare;
• infine, il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine.

Inoltre potrà essere richiesto in ciascun esercizio di scrivere l’equazione della retta in forma esplicita o implicita. Di conseguenza, per poter svolgere questa serie di esercizi sull’equazione di una retta, rivedremo anche come passare dalla forma esplicita alla forma implicita dell’equazione di una retta e viceversa.

A conclusione di questa scheda di esercizi proporremo anche problemi nei quali, a partire dall’equazione di una retta, dovremo ricavarne il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine.

Nel risolvere gli esercizi sull’equazione di una retta qui proposti utilizzeremo quanto appreso sulla lezione introduttiva all’equazione di una retta nel piano. Ulteriori esercizi sono inoltre disponibili a corredo di molte fra le lezioni teoriche disponibili (vedi: lezioni sulla retta nel piano).

Esercizi svolti e commentati sull’equazione di una retta del piano cartesiano

Prima parte: equazione di una retta a partire dalla coordinate di due punti ad essa appartenenti

Cominciamo considerando il caso di due punti {P_1} e {P_2} non allineati né orizzontalmente né verticalmente.

Ricordiamo che se due punti {P_1=(x_1, y_1)} e {P_2=(x_2, y_2)} appartengono ad una data retta {r} di coefficiente angolare {m} e ordinata all’origine {q}, le coordinate di ciascun punto dovranno necessariamente soddisfare le seguenti condizioni di appartenenza:

y_1=mx_1+q, \qquad y_2=mx_2+q

e quindi per i principi di equivalenza delle equazioni, dovrà anche essere:

y_1-y_2=mx_1+q-(mx_2+q)

ovvero:

y_1-y_2=mx_1+\cancel{q}-mx_2-\cancel{q}

da cui raccogliendo al secondo membro:

y_1-y_2=m(x_1-x_2)

o il che è lo stesso:

y_2-y_1=m(x_2-x_1)

Isolando {m}:

\boxed{m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}

Ciò consente di ricavare il valore del coefficiente angolare di una retta passante per due punti dati. Ma poiché l’equazione di una generica retta non verticale in forma esplicita è:

y=mx+q

dobbiamo anche ricavare l’ordinata {q}. Tuttavia, una volta noto {m}, basterà sostituire le coordinate di uno dei due punti dati nell’equazione della retta in forma esplicita, ricavando {q}.

In alternativa, in modo più diretto è possibile utilizzare la formula dell’equazione di una retta passante per due punti {P_1=(x_1,y_1)} e {P_2 = (x_2, y_2)}:

\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}

Infine, nel caso in cui invece i due punti siano allineati orizzontalmente o verticalmente, dobbiamo procedere in maniera diversa da quanto visto sinora. In particolare, se i due punti {P_1} e {P_2} sono allineati verticalmente, ovvero se:

x_1=x_2

allora l’equazione della retta sarà data semplicemente da:

x=x_1

e corrisponderà ad una retta verticale.

Se invece i due punti sono allineati orizzontalmente, ovvero se:

y_1=y_2

allora l’equazione della retta sarà data da:

y=y_1

e corrisponderà ad una retta orizzontale.

Ma passiamo subito agli esercizi.

Esercizio 1

Scrivere l’equazione in forma esplicita della retta passante per i due punti {P_1=(2,4)} e {P_2=(-3,-6)}.

Osserviamo che i due punti non sono allineati né orizzontalmente, né verticalmente. Infatti abbiamo {x_1 \neq x_2} e {y_1 \neq y_2}.

Primo metodo. Cominciamo ricavando il coefficiente angolare {m} a partire dalle coordinate dei due punti dati:

m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{-6-4}{-3-2}=\dfrac{-10}{-5}=2

Ora sostituiamo {m=2} e ad esempio {x_1=2} e {y_1=4} nella seguente equazione:

y=mx+q

otteniamo:

4=2 \cdot 2+q

da cui ricavando {q}:

q=4-4\quad \Rightarrow \quad q=0

In conclusione la retta data ha coefficiente angolare {m=2} e ordinata all’origine {q=0}. Pertanto la sua equazione in forma esplicita è:

y=\underbrace{2}_{m}x+\underbrace{0}_{q} \quad \Rightarrow y=2x

Secondo metodo. Sostituiamo nella seguente formula:

\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}

le coordinate dei punti {P_1} e {P_2} (prestiamo sempre attenzione a non confondere tra loro i valori delle ascisse e quelli delle ordinate). Abbiamo:

\dfrac{y-4}{-6-4}=\dfrac{x-2}{-3-2}

ovvero:

\dfrac{y-4}{-10}=\dfrac{x-2}{-5}

ossia, trasportando tutto al primo membro:

\dfrac{y-4}{-10}-\dfrac{x-2}{-5}=0

Lavorando sui segni:

\dfrac{4-y}{10}-\dfrac{2-x}{5}=0

Mettiamo tutti i termini a denominatore comune:

\dfrac{4-y-4+2x}{10}=0

Eliminando direttamente il denominatore (questo infatti è un numero):

4-y-4+2x=0

Ora esplicitiamo la {y} sommando anche i termini simili:

y=2x

Ritroviamo così anche in questo modo l’equazione della retta cercata.

Esercizio 2

Proseguiamo gli esercizi sull’equazione di una retta con il seguente, che richiede di scrivere l’equazione di una data retta in forma implicita.

Scrivere l’equazione in forma implicita della retta passante per i due punti {P_1=(-3,5)} e {P_2=(1,7)}.

Come nell’esercizio precedente, anche in questo caso i due punti non sono allineati né orizzontalmente, né verticalmente.

L’idea è quella di utilizzare prima di tutto uno dei due metodi dell’esercizio precedente, tenendo però conto che desideriamo ottenere l’equazione della retta in forma implicita.

Cominciamo utilizzando ad esempio la formula diretta:

\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}

che nel nostro caso, sostituendo le coordinate dei punti dati, diviene:

\dfrac{y-5}{7-5}=\dfrac{x-(-3)}{1-(-3)}

Attenzione. Stiamo particolarmente attenti ai segni nel caso in cui, effettuando le sostituzioni nelle formule, le coordinate da sottrarre siano negative. Un abbondante uso delle parentesi tonde è di aiuto all’inizio nell’evitare spiacevoli errori di segno.

Sviluppando i calcoli:

\dfrac{y-5}{2}=\dfrac{x+3}{4}; \qquad \dfrac{y-5}{2}-\dfrac{x+3}{4}=0

Mettiamo i termini a denominatore comune:

\dfrac{2y-10-x-3}{\cancel{4}}=0

Sommiamo i termini simili:

2y-x-13=0

Ora, poiché desideriamo l’equazione in forma implicita, non dobbiamo isolare la {y}. Ciò che dobbiamo fare è soltanto ordinare i termini in modo da ricondurci alla forma {ax+by+c=0}. Scriviamo quindi in conclusione:

-x+2y-13=0

ovvero, cambiando se preferite i segni di tutti i termini:

x-2y+13=0

Questa è l’equazione in forma implicita della retta in esame.

Metodo alternativo. Possiamo anche in questo caso procedere alternativamente calcolando il coefficiente angolare {m} e l’ordinata all’origine {q}. Tuttavia per quanto richiesto dovremo anche essere in grado di ricondurre l’equazione {y=mx+q} che così otterremo alla forma implicita.

Cominciamo ricavando {m} e {q}.

\begin{align*} &m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{7-5}{1-(-3)}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}; \\ \\ &y_1=mx_1+q \quad \Rightarrow q=y_1-mx_1=5+\dfrac{1}{2} \cdot 3=\dfrac{13}{2}\quad \end{align*}

Di conseguenza l’equazione in forma esplicita della retta in esame è:

y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{13}{2}

Ora, attenzione, non abbiamo finito. Dobbiamo ricondurre l’equazione alla forma implicita. Per fare questo, trasportiamo tutti i termini al primo membro:

y-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{13}{2}=0

Ora procediamo riordinando i termini:

-\dfrac{1}{2}x+y-\dfrac{13}{2}=0

Infine riconduciamo l’equazione alla forma intera. Per fare ciò, riduciamo tutti i termini a denominatore comune, per poi eliminare il denominatore (questo infatti è un numero):

\dfrac{-x+2y-13}{\cancel{2}}=0 \quad \Rightarrow \quad -x+2y-13=0

Infine invertiamo per un discorso estetico i segni di tutti i termini. Otteniamo così per la retta in esame l’equazione in forma implicita:

x-2y+13=0

Esercizio 3

Scrivere l’equazione della retta passante per i punti {P_1=(-2,4)} e {P_2=(3,4)}.

Osserviamo subito che i due punti condividono la stessa ordinata. In altre parole si ha:

y_1=y_2

Ciò significa che i due punti sono allineati orizzontalmente e di conseguenza l’equazione cercata è:

y=y_1

ovvero:

y=4

In questo caso non ha senso distinguere tra equazione in forma esplicita o implicita. L’equazione può essere infatti scritta solo in questo modo (abbiamo una retta orizzontale).

Parte seconda: esercizi su come scrivere l’equazione della retta passante per un punto ed avente coefficiente angolare noto

Ricordiamo che l’equazione di una retta passante per un punto {P_0=(x_0, y_0)} ed avente coefficiente angolare {m} si scrive in forma esplicita come:

y-y_0=m(x-x_0)

Questa è l’equazione della retta nella forma utile per gli esercizi che proporremo a seguire.

Esercizio 4

Scrivere l’equazione in forma esplicita della retta passante per il punto {P_0=(-1,3)} ed avente coefficiente angolare {m=2}.

L’idea è utilizzare l’equazione della retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto:

y-y_0=m(x-x_0)

Sostituendo le coordinate del punto {P_0} e il valore del coefficiente angolare {m} (anche questo noto) abbiamo:

y-3=2 \cdot [x-(-1)] \quad \Rightarrow \quad y-3=2(x+1)

e quindi:

y=2x+2+3 \quad \Rightarrow \quad y=2x+5

Esercizio 5

Proseguiamo ancora gli esercizi sull’equazione di una retta con il seguente.

Scrivere l’equazione in forma implicita della retta passante per il punto {P_0=(1,-2)} ed avente coefficiente angolare {m=-\dfrac{1}{2}}.

Intanto cominciamo con lo scrivere l’equazione della retta in esame nella forma esplicita. Abbiamo:

\small y-(-2)=-\dfrac{1}{2}(x-1) \quad \Rightarrow \quad y+2=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}

Ora non resta che ricondurre l’equazione alla forma implicita. Ricordiamo: bisogna portare tutti i termini al primo membro, ricondurre se necessario l’equazione alla forma intera e quindi riordinare eventualmente i termini. Si ha:

y+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}=0; \qquad \dfrac{2y+x+3}{\cancel{2}}=0; \qquad x+2y+3=0

Terza parte: esercizi sull’equazione di una retta a partire dal coefficiente angolare e dall’ordinata all’origine

Proseguiamo questa serie di esercizi sull’equazione della retta con esercizi nei quali abbiamo come dati di partenza il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine.

Esercizio 6

Scrivere l’equazione in forma esplicita di una retta avente coefficiente angolare {m=3} ed ordinata all’origine {q=2}.

Abbiamo, semplicemente sostituendo i valori dei quali disponiamo nell’equazione {y=mx+q}:

y=3x+2

Esercizio 7

Scrivere l’equazione in forma implicita della retta avente coefficiente angolare {m=-2} e ordinata all’origine {q=-\dfrac{1}{2}}.

Procedendo anzitutto come nell’esercizio precedente abbiamo:

y=-2x-\dfrac{1}{2}

Ora non resta che ricondurre l’equazione alla forma implicita:

\small y+2x+\dfrac{1}{2}=0; \qquad \dfrac{2y+4x+1}{\cancel{2}}=0; \qquad 4x
+2y+1=0

Quarta parte: esercizi nei quali viene richiesto di ricavare il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine a partire dall’equazione della retta

Concludiamo questa serie di esercizi sull’equazione di una retta con esercizi nei quali dovremo ricavare il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine a partire dall’equazione di una retta, data sia in forma esplicita, sia in forma implicita.

Se l’equazione è data in forma esplicita:

y=mx+q

è immediato ricavare il coefficiente angolare {m} e l’ordinata all’origine {q}. Questi sono infatti, rispettivamente, il coefficiente del termine in {x} ed il termine noto.

Nel caso in cui invece l’equazione sia data in forma implicita, ovvero nella forma:

ax+by+c=0

dobbiamo ricordare che si ha:

m=-\dfrac{a}{b}, \qquad q=-\dfrac{c}{b}

Ciò si giustifica osservando che per {b \neq 0} si ha:

\dfrac{ax+by+c}{b}=\dfrac{0}{b}, \qquad b \neq 0

ovvero:

\dfrac{a}{b}x+y+\dfrac{c}{b}=0

e quindi esplicitando la {y}:

y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}

da cui segue immediatamente {m=-\dfrac{a}{b}} e {q=-\dfrac{c}{b}}.

Esercizio 8

Determinare coefficiente angolare e ordinata all’origine della retta di equazione {y=-2x+5}.

Poiché l’equazione data è in forma esplicita, ovvero della forma {y=mx+q}, da un semplice confronto segue immediatamente:

m=-2, \qquad q=5

Esercizio 9

Determinare coefficiente angolare e ordinata all’origine della retta di equazione {3x+4y+2=0}.

L’equazione è della forma {ax+by+c=0} (forma implicita) con:

a=3, \: b=4, \: c=2

da cui abbiamo:

m=-\dfrac{a}{b}=-\dfrac{3}{4}; \qquad q=-\dfrac{c}{b}=-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{2}

Esercizio 10

Veniamo finalmente all’ultimo di questa serie di esercizi sull’equazione di una retta nel piano.

Determinare coefficiente angolare ed ordinata all’origine della retta di equazione {3x+4y=5}.

In questo caso prestiamo attenzione a portare tutti i termini al primo membro prima di assegnare i valori ai coefficienti {a,b,c}. Diversamente è facile imbattersi in spiacevoli errori di segno. Abbiamo:

3x+4y-5=0

da cui:

a=3, \: b=4, \: c=-5

E quindi in conclusione:

m=-\dfrac{a}{b}=-\dfrac{3}{4}, \qquad q=-\dfrac{c}{b}=-\dfrac{-5}{4}=\dfrac{5}{4}

Conclusioni

Per quanto riguarda questa scheda di esercizi sull’equazione della retta nel piano è tutto. Ma prima di salutarci desideriamo riepilogare brevemente le formule sin qui utilizzate.

Per determinare l’equazione di una retta a partire dalle coordinate di due punti passanti per essa (non allineati orizzontalmente) possiamo ricavare il coefficiente angolare e quindi l’ordinata all’origine, per poi scrivere l’equazione nella forma {y=mx+q}:

m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}; \qquad y_1=mx_1+q \quad \Rightarrow q=y_1-mx_1

Nota: una volta ricavato il coefficiente angolare {m}, è anche possibile utilizzare se si preferisce l’equazione {y-y_1=m(x-x_1)}, sostituendo in essa i dati dei quali disponiamo. A tal proposito vedi la lezione: retta passante per due punti.

In alternativa al metodo appena richiamato, possiamo utilizzare direttamente la seguente formula (se i punti non sono allineati né orizzontalmente, né verticalmente):

\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}

Note invece le coordinate di un punto {P=(x_0, y_0)} e il coefficiente angolare {m} della retta, basterà usare la formula:

y-y_0=m(x-x_0)

Inoltre, per ricavare il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine di una retta a partire dall’equazione della retta stessa, nel caso meno immediato di equazione data in forma implicita basterà ricordare che:

m=-\dfrac{a}{b}, \qquad q=-\dfrac{c}{b}

Non dimentichiamo infine i casi di rette verticali (punti allineati verticalmente) e di rette orizzontali (punti allineati orizzontalmente), per i quali abbiamo rispettivamente:

\begin{align*} &x_1=x_2 \quad \Rightarrow x=x_1; \\ \\ &y_1=y_2 \quad \Rightarrow y=y_1 \end{align*}

Con questo non ci rimane che salutarci, rimandando alle lezioni teoriche sulla retta nel piano per ulteriori chiarimenti. Un saluto a tutti voi!