Esercizi sulla retta per l’origine

 - 

Esercizi sulla retta nel piano e coordinate cartesiane

Consideriamo in questa scheda degli esercizi sulla retta per l’origine. In altre parole, ci occuperemo di rette del piano cartesiano tali da passare per l’origine degli assi coordinati.

Ricordiamo che la generica equazione di una retta passante per l’origine (escluso il caso di una retta che coincida con l’asse delle {y}) è:

y=mx, \qquad m \in \R

ove {m} è il coefficiente angolare.

Negli esercizi su una retta passante per l’origine, è importante ricordare che se una retta passa per l’origine, questa è univocamente individuata una volta noto il suo coefficiente angolare. Infatti, la retta passante per l’origine ed avente una pendenza assegnata è unica. Di conseguenza, è possibile scrivere l’equazione di una retta passante per l’origine una volta noto il solo coefficiente angolare.

Inoltre, se è noto un punto appartenente ad una retta passante per l’origine, siamo in grado di scriverne l’equazione. Infatti, la retta passante per l’origine e per un punto assegnato è unica. Ed in particolare, dato un punto {P=(x_1, y_1)}, il coefficiente angolare della retta che passa per tale punto e per l’origine degli assi è:

m=\dfrac{y_1}{x_1}

Una volta ricavato {m}, sarà possibile scrivere l’equazione della retta in esame nella forma {y=mx}.

Nella presente scheda, oltre ad esercizi sulla retta passante per l’origine che tengono conto delle considerazioni sin qui svolte, presenteremo anche esercizi che richiedono di determinare le coordinate dei punti di una data retta che distano una fissata quota da un certo asse cartesiano.

Prima parte: retta passante per l’origine con coefficiente angolare dato

Esercizio 1

Scrivere l’equazione della retta passante per l’origine avente coefficiente angolare {m=-4}.

Si tratta in questo caso di sostituire il valore dato del coefficiente angolare {m} nell’equazione di una generica retta passante per l’origine:

y=mx

Abbiamo così in conclusione:

y=-4x

Esercizio 2

Scrivere l’equazione della retta passante per l’origine avente coefficiente angolare {m=3}.

Procedendo come nell’esercizio precedente, otteniamo l’equazione:

y=3x

Seconda parte: esercizi sulla retta per l’origine passante per un dato punto

Esercizio 3

Scrivere l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto {P=\left( \dfrac{1}{2}, 2\right)}.

Osserviamo anzitutto che il problema è ben posto. Infatti, la retta passante per l’origine e per un punto certo è unica.

L’idea per risolvere il problema è quella di ricavare il coefficiente angolare della retta a partire dalle coordinate del punto dato. Si ha:

m=\dfrac{y}{x}=\dfrac{2}{\frac{1}{2}}=2 \cdot 2=4

da cui concludiamo che la retta in esame ha equazione:

y=4x

Nota. Con riferimento al calcolo del coefficiente angolare in questo tipo di esercizi, può essere utile ricordare che per dividere una quantità per una frazione basta moltiplicare la quantità stessa per il reciproco della frazione.

Esercizio 4

Scrivere l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto {P=\left( -\dfrac{1}{3}, -3\right)}.

Come nell’esempio precedente, calcoliamo prima di tutto il coefficiente angolare:

m=\dfrac{y}{x}=\dfrac{-3}{-\frac{1}{3}}=9

L’equazione cercata è in conclusione:

y=9x

Esercizio 5

Determinare l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto {P=\left( -\dfrac{7}{2}, \dfrac{7}{2}\right)}.

Abbiamo:

m=\dfrac{y}{x}=\dfrac{\frac{7}{2}}{-\frac{7}{2}}=\dfrac{7}{2} \cdot \left( -\dfrac{2}{7}\right)=-1

Così, in conclusione, l’equazione della retta in esame è:

y=-x

che corrisponde alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante.

Terza parte: esercizi con la ricerca dei punti della retta distanti una certa quota da un dato asse cartesiano

Esercizio 6

Determinare le coordinate dei punti della retta di equazione {y=3x} che distano {2} dall’asse {x}.

Ricordiamo che per definizione la distanza di un punto {P(x,y)} rispetto all’asse {x} è data da {|y|} (vedi: coordinate cartesiane nel piano). Di conseguenza, ciò che dobbiamo fare è ricercare i punti della retta di equazione {y=3x} tali da soddisfare la relazione:

|y|=2

ovvero tali da essere distanti {2} dall’asse {x}.

Ora, per le proprietà del valore assoluto, dire {|y|=2} equivale a dire:

y=2 \quad \vee \quad y=-2

ove il simbolo {\vee} ha il significato di “oppure”. Così i punti che cerchiamo sono i punti della retta {y=3x} tali da avere ordinate {y_1=2} e {y_2=-2}.

Ora, l’ascissa di un generico punto appartenente alla retta in esame è data da:

y=3x \quad \Rightarrow \quad \boxed{x=\dfrac{y}{3}}

Di conseguenza, i punti della retta {y=3x} tali da essere distanti {2} dall’asse {x} avranno ascisse:

x_1 = \dfrac{y_1}{3}=\dfrac{2}{3}, \qquad x_2=\dfrac{y_2}{3}=\dfrac{-2}{3}=-\dfrac{2}{3}

Così in conclusione i punti cercati sono:

P_1=\left( \dfrac{2}{3}, 2\right), \quad P_2=\left( -\dfrac{2}{3}, -2\right)

Esercizio 7

Determinare le coordinate dei punti della retta {y=-\dfrac{3}{4}x} che distano {\dfrac{1}{3}} dall’asse {y.}

Per definizione la distanza di un punto {P=(x,y)} dall’asse {y} è data da {|x|}. Di conseguenza, ricerchiamo i punti della retta {y=-\dfrac{3}{4}x} tali da soddisfare la relazione:

|x|=\dfrac{1}{3}

ovvero, per le proprietà del valore assoluto:

x=\dfrac{1}{3} \quad \vee \quad x=-\dfrac{1}{3}

Così ricerchiamo i punti della retta {y=-\dfrac{3}{4}x} tali da avere ascisse {x_1=\dfrac{1}{3}} e {x_2=-\dfrac{1}{3}}.

L’ordinata del generico punto appartenente alla retta {y=-\dfrac{3}{4}x} si ottiene come:

y=-\dfrac{3}{4}x

Così le ordinate dei punti cercati sono rispettivamente:

\small y_1=-\dfrac{3}{4}x_1=-\dfrac{\cancel{3}}{4}\cdot \dfrac{1}{\cancel{3}}=-\dfrac{1}{4}, \qquad y_2=-\dfrac{3}{4}x_2=-\dfrac{3}{4} \cdot \left( -\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{4}

Per cui i punti della retta {y=-\dfrac{3}{4}x} tali da essere distanti {\dfrac{1}{3}} dall’asse {y} sono:

P_1=\left( \dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{4}\right), \qquad P_2=\left( -\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}\right)

Conclusioni

Per quanto riguarda questa scheda di esercizi sulle rette passanti per l’origine è tutto. Prima di salutarci, vogliamo soltanto rimarcare ancora una volta il fatto che la relazione:

m=\dfrac{y}{x}

è valida soltanto per rette passanti per l’origine. Nel caso più generale di rette non necessariamente passanti per l’origine, il coefficiente angolare si esprime infatti come:

m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

ove {P_1=(x_1, y_1)} e {P_2=(x_2, y_2)} sono due punti appartenenti alla retta di coefficiente angolare {m}, tali che sia {x_1 \neq x_2}.

Un saluto a tutti voi e buon proseguimento con SìMatematica! 🙂