Esercizi sulla retta in forma esplicita

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Esercizi sulla retta nel piano e coordinate cartesiane

In questa scheda proponiamo una serie di esercizi sull’equazione di una retta in forma esplicita, svolti e commentati. Ci occuperemo in particolare di esercizi basati sull’equazione di una retta del piano nella forma {y=mx+q}, detta forma esplicita, ove {m} è il coefficiente angolare mentre {q} è l’ordinata all’origine.

Vedremo nello specifico esercizi nei quali a partire dall’equazione di una retta in forma esplicita dovremo ricavare il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine, e viceversa.

Inoltre, presenteremo esercizi nei quali dovremo scrivere l’equazione in forma esplicita di una retta a partire dalle coordinate di due punti del piano appartenenti alla retta stessa, oppure a partire dalle coordinate di un punto e dal coefficiente angolare, ed infine a partire dalle coordinate di un punto e dall’ordinata all’origine.

Esercizi sull’equazione in forma esplicita di una retta del piano, svolti e commentati

Esercizio 1

Scrivere l’equazione in forma esplicita della retta del piano passante per i punti {P_1=(x_1,y_1)=(6,-2)} e {P_2=(x_2, y_2)=(-4,3)}.

L’equazione in forma esplicita di una retta del piano è della forma:

y=mx+q, \qquad m, q \in \R

Di conseguenza è evidente che per scrivere l’equazione in forma esplicita della retta in esame dovremo ricavare i corrispondenti valori di {m} e {q}.

Ricordiamo la formula che nel caso di punti non allineati verticalmente consente di ricavare il coefficiente angolare di una retta a partire dalle coordinate di due suoi punti:

m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, \qquad x_1 \neq x_2

Nel nostro caso abbiamo:

m=\dfrac{3-(-2)}{-4-6}=\dfrac{5}{-10}=-\dfrac{1}{2}

Per ricavare l’ordinata all’origine {q}, essendo noti il coefficiente angolare della retta e le coordinate di almeno un suo punto, possiamo utilizzare la formula:

q=y-mx

nella quale dovremo sostituire il valore del coefficiente angolare e le coordinate di un punto appartenente alla retta fra quelli dati. Scegliendo ad esempio il punto {P_1} abbiamo:

q=y_1-mx_1=-2-\left( -\dfrac{1}{2}\right) \cdot 6=-2+3=1

Di conseguenza l’equazione in forma esplicita della retta passante per i due punti dati è:

y=mx+q \quad \Rightarrow \quad  y=-\dfrac{1}{2}x+1

Esercizio 2

Proseguiamo gli esercizi sull’equazione in forma esplicita della retta del piano con un esercizio nel quale bisogna ricavare il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine a partire dall’equazione della retta. Se l’equazione è data in forma esplicita, gli esercizi di questo tipo sono piuttosto immediati. Vi è tuttavia l’avvertenza di prestare particolare attenzione ai segni.

Determinare il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine della retta di equazione in forma esplicita {y=3x-1}.

In questo caso basta confrontare l’equazione data, ovvero {y=3x-1}, con la forma generale dell’equazione di una retta in forma esplicita:

y=mx+q

Dal confronto tra le due equazioni segue immediatamente:

m=3, \qquad q=-1

Infatti l’equazione data deve essere riletta come:

y=3x+(-1)

da cui segue che l’ordinata all’origine è {q=-1} e, attenzione, non {q=1}.

Esercizio 3

Determinare il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine della retta di equazione esplicita {y=-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{4}}.

Come nell’esempio precedente, attenzione ai segni. Negli esercizi di questo tipo, l’equazione della retta (che è data in forma esplicita) va riletta come:

y=\underbrace{\left(-\dfrac{2}{3}\right)}_{m}x+\underbrace{\left(-\dfrac{5}{4} \right)}_{q}

da cui segue:

m=-\dfrac{2}{3}, \qquad q=-\dfrac{5}{4}

Esercizio 4

Scrivere l’equazione in forma esplicita della retta passante per il punto {P=(x_0, y_0)=\left( 1, -5\right)} ed avente coefficiente angolare {m=-\dfrac{1}{7}}.

In questo caso occorre utilizzare l’equazione di una retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto:

y-y_0=m(x-x_0)

Sostituendo i valori delle coordinate del punto dato e il valore del coefficiente angolare abbiamo:

y-(-5)=-\dfrac{1}{7}(x-1)

Eseguiamo i calcoli presenti in ciascun membro:

y+5=-\dfrac{1}{7}x+\dfrac{1}{7}

Isoliamo la {y} al primo membro:

y=-\dfrac{1}{7}x+\dfrac{1}{7}-5

Infine sommiamo i termini simili:

y=-\dfrac{1}{7}x-\dfrac{34}{7}

Abbiamo così ottenuto l’equazione cercata.

Esercizio 5

Proseguiamo ancora gli esercizi sull’equazione di una retta in forma esplicita con il seguente.

Scrivere l’equazione in forma esplicita della retta passante per il punto {P=\left( -\dfrac{2}{5}, \dfrac{7}{9}\right)} e avente coefficiente angolare {m=-3}.

Abbiamo:

y-y_0=m(x-x_0) \iff y-\dfrac{7}{9}=-3 \left[ x-\left( -\dfrac{2}{5}\right)\right]

Svolgendo i calcoli otteniamo:

y=-3x-\dfrac{6}{5}+\dfrac{7}{9} \quad \Rightarrow \quad y=-3x+\dfrac{-54+35}{45}

e quindi in conclusione:

y=-3x-\dfrac{19}{45}

Esercizio 6

Concludiamo questa serie di esercizi sull’equazione di una retta in forma esplicita con il seguente, nel quale viene richiesto di scrivere l’equazione di una retta a partire dalle coordinate di un punto ad essa appartenente e dall’ordinata all’origine.

Scrivere l’equazione in forma esplicita della retta del piano passante per il punto {P_1=(x_1, y_1)=(-3, -4)} ed avente ordinata all’origine {q=6}.

Osserviamo che se una retta ha ordinata all’origine {q=6}, ciò significa per definizione che per {x=0} avremo {y=6}. Di conseguenza, il punto {P_2=(x_2, y_2)=(0, 6)} appartiene necessariamente alla retta in esame.

Ma disponendo dei due punti {P_1} e {P_2} appartenenti alla retta possiamo calcolarne il coefficiente angolare {m} (la condizione {x_1 \neq x_2} è rispettata):

m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{6-(-4)}{0-(-3)}=\dfrac{10}{3}

Di conseguenza possiamo in conclusione scrivere l’equazione della retta in esame, essendo {m} e {q} ormai noti:

y=mx+q \quad \Rightarrow \quad  y=\dfrac{10}{3}x+6

Conclusioni

Per quanto riguarda gli esercizi svolti e commentati sull’equazione di una retta del piano in forma esplicita per questa scheda è tutto.

Un saluto a tutti voi e, come sempre, buon proseguimento con SìMatematica!