Presentiamo in questa scheda degli esercizi sui sistemi indeterminati ed impossibili, sia con due equazioni in due incognite, sia con tre equazioni in tre incognite. Nel caso dei sistemi di due equazioni in due incognite, in particolare, mostreremo come sia possibile prevedere se un sistema è indeterminato oppure impossibile in base ai coefficienti delle incognite e ai termini noti presenti nel sistema stesso (ridotto in forma normale). In generale, inoltre, mostreremo come riconoscere se un sistema è indeterminato oppure impossibile verificando se delle equazioni presenti nel sistema si riducono rispettivamente ad una identità oppure ad una uguaglianza numerica falsa. Utilizzeremo in particolare quest’ultimo metodo nel caso dei sistemi di tre equazioni in tre incognite.
Così nello svolgimento degli esercizi sui sistemi indeterminati ed impossibili, in generale basta tenere conto che:
- se nel risolvere il sistema ci ritroviamo con un’identità (uguaglianza vera per ogni valore delle incognite) allora il sistema è indeterminato;
- se invece nel risolvere il sistema ci ritroviamo con un’uguaglianza numerica falsa, allora il sistema è impossibile.
Per il caso dei sistemi di due equazioni in due incognite, come già detto, mostreremo in alternativa l’utilizzo di una semplice tabella.
Vediamo allora subito gli esercizi sui sistemi indeterminati ed impossibili.
Prima parte: sistemi indeterminati o impossibili nel caso di due equazioni in due incognite
Per i sistemi di due equazioni in due incognite, al fine di capire se questi sono determinati, indeterminati o impossibili possiamo utilizzare questa tabella. Osserviamo che la tabella si riferisce ad un sistema in forma normale. Per cui il primo passo da fare negli esercizi sarà ricondurre il sistema da risolvere alla forma normale.
Esercizio 1
Risolviamo il seguente sistema:
\begin{cases} 7x-3y=4 \\ \\ x-\dfrac{3}{7}y=1-\dfrac{3}{7}\end{cases}Riscriviamo il sistema in forma normale e vediamo cosa ci dicono i coefficienti ed i termini noti presenti nel sistema. Le considerazioni da fare sono quelle viste nella lezione sui sistemi determinati, indeterminati ed impossibili. Abbiamo:
\begin{cases} 7x-3y=4 \\ \\ x-\dfrac{3}{7}y=\dfrac{4}{7}\end{cases}Per prima cosa: i coefficienti delle incognite sono tra loro proporzionali? In altre parole, il rapporto tra i coefficienti delle incognite {x} è uguale al rapporto tra i coefficienti delle incognite {y}? Si ha:
\begin{align*} & \dfrac{7}{1}=7 \qquad (\text{coeff. incognite x}); \\ \\ &\dfrac{-3}{-\frac{3}{7}}=-3 \cdot \left( -\dfrac{7}{3}\right)=7 \qquad (\text{coeff. incognite y}) \end{align*}I due rapporti sono uguali, e di conseguenza per quanto visto nella lezione teorica il sistema potrà essere indeterminato o impossibile.
A questo punto vediamo il rapporto tra i termini noti:
\dfrac{4}{\frac{4}{7}}=4 \cdot \dfrac{7}{4}=7 \qquad \text{(rapporto termini noti)}Il rapporto risulta uguale ai due rapporti precedenti e di conseguenza il sistema è indeterminato. Ciò dal punto di vista geometrico indica che le due equazioni a sistema rappresentano delle rette coincidenti (ovvero rette aventi tutti i punti in comune).
Esercizio 2
Risolviamo il seguente sistema:
\begin{cases} \dfrac{4}{9}x-\dfrac{1}{3}y=\dfrac{1}{9}(81-y) \\ \\ 2(2x-y)=13\end{cases}Prima di tutto riconduciamo il sistema alla forma normale. Svolgiamo i prodotti presenti in ciascuna equazione per poi sommare i termini simili:
\begin{cases}\dfrac{4}{9}x-\dfrac{1}{3}y=\dfrac{81}{9}-\dfrac{1}{9}y \\ \\ 4x-2y=13 \end{cases}; \qquad \begin{cases} \dfrac{4}{9}x-\dfrac{2}{9}y=\dfrac{81}{9} \\ \\ 4x-2y=13 \end{cases}Moltiplichiamo entrambi i membri della prima equazione per {9}. Otteniamo:
\begin{cases} 4x-2y=81 \\ \\ 4x-2y=13\end{cases}Ora, è evidente che la stessa quantità letterale {4x-2y} non può essere uguale a due numeri differenti. Di conseguenza già capiamo che il sistema è impossibile.
Volendo tuttavia fare delle verifiche, osserviamo che i rapporti tra i coefficienti rispettivamente delle incognite {x} e {y} sono fra loro uguali, ma questi differiscono dal rapporto tra i termini noti. Infatti:
\dfrac{4}{4} = \dfrac{-2}{-2} \neq \dfrac{81}{13}Ciò corrisponde, geometricamente, al caso di due rette parallele e non coincidenti, le quali non si incontrano in alcun punto.
Esercizio 3
Proseguiamo questa serie di esercizi sui sistemi indeterminati ed impossibili con il seguente:
\begin{cases} x-3[-2-(y-1)]=-7 \\ \\ 2[(x+y)+10]=-4y\end{cases}Riconduciamo anzitutto il sistema alla forma normale (attenzione a rispettare l’ordine delle operazioni e a non commettere errori di segno):
\begin{cases} x-3(-2-y+1)=-7 \\ \\ 2x+2y+20=-4y\end{cases}; \qquad \begin{cases} x+6+3y-3=-7 \\ \\ 2x+2y+4y=20\end{cases}e quindi:
\begin{cases} x+3y=-10 \\ \\ 2x+6y=-20\end{cases}; \qquad \begin{cases} x+3y=-10 \\ \\ x+3y=-10\end{cases}In pratica dato che ci ritroviamo nel sistema due equazioni uguali tra loro possiamo immediatamente concludere che il sistema è indeterminato.
Tuttavia, volendo fare la verifica sui rapporti dei coefficienti delle incognite e sui rapporti dei termini noti abbiamo:
\dfrac{1}{1}=\dfrac{3}{3} =\dfrac{-10}{-10}Ne risulta che i coefficienti delle incognite e i termini noti sono tutti proporzionali tra loro, e quindi per le regole esposte nella lezione teorica ritroviamo conferma del fatto che il sistema è indeterminato.
Seconda parte: sistemi indeterminati o impossibili nel caso di tre equazioni in tre incognite
Come già anticipato, nel caso di tre equazioni in tre incognite non abbiamo delle regole di pratico utilizzo che si basano sui coefficienti delle incognite e sui termini noti (almeno generalmente nell’ambito del programma delle scuole superiori). Piuttosto, preferiamo verificare risolvendo i sistemi se ci imbattiamo in un’identità (sistema indeterminato) oppure in un’equazione numerica falsa (sistema impossibile).
Esercizio 4
Risolviamo il seguente sistema:
\begin{cases} 4x+y-3z=1 \\ \\ 2x-y-z=2 \\ \\ 2x-y=z+5\end{cases}Utilizziamo ad esempio il metodo del confronto e ricaviamo la stessa incognita {y} dalle ultime due equazioni:
\begin{cases} 4x+y-3z=1 \\ \\ -y=\boxed{2-2x+z}\\ \\ -y=\boxed{z+5-2x}\end{cases}Uguagliando le due espressioni nel riquadro otteniamo l’uguaglianza numerica falsa:
2-2x+z=z+5-2x \quad \rightarrow \quad\boxed{ 2=5}Di conseguenza il sistema dato è impossibile.
Esercizio 5
Risolviamo il seguente sistema lineare (esercizi sui sistemi lineari indeterminati e impossibili):
\begin{cases} 2x+y+2z=1 \\ \\ x-4y+7z=-4 \\ \\ x-y+3z=-1\end{cases}Isoliamo la {x} dalle ultime due equazioni:
\begin{cases} 2x+y+2z=1 \\ \\ x=-4+4y-7z \\ \\ x=-1+y-3z\end{cases}Uguagliando tra loro le espressione per {x} ottenute dalle ultime due equazioni abbiamo:
-4+4y-7z=-1+y-3z \quad \rightarrow \quad \boxed{3y-4z=3}Sostituiamo la nuova equazione così ottenuta ad esempio alla seconda equazione del sistema:
\begin{cases} 2x+y+2z=1 \\ \\ 3y-4z=3 \\ \\ x=-1+y-3z\end{cases}Per meglio procedere riduciamo a questo punto il sistema alla forma normale:
\begin{cases} 2x+y+2z=1 \\ \\ 3y-4z=3 \\ \\ x-y+3z=-1\end{cases}Applichiamo il metodo di riduzione alla prima e alla terza equazione, in modo da ottenere una nuova equazione priva dell’incognita {x}. Anzitutto, moltiplichiamo per {2} entrambi i membri della terza equazione:
\begin{cases} 2x+y+2z=1 \\ \\ 3y-4z=3 \\ \\2 x-2y+6z=-2\end{cases}Ora sottraiamo la terza equazione alla prima, e sostituiamo la nuova equazione così ottenuta ad esempio alla terza equazione a sistema:
\begin{cases} 2x+y+2z=1 \\ \\ 3y-4z=3 \\ \\2x+y+2z-(2x-2y+6z)=1-(-2)\end{cases}e quindi:
\begin{cases} 2x+y+2z=1 \\ \\ 3y-4z=3 \\ \\\cancel{2x}+y+2z-\cancel{2x}+2y-6z=1+2 \quad \rightarrow \quad 3y-4z=3\end{cases}ovvero:
\begin{cases} 2x+y+2z=1 \\ \\ 3y-4z=3 \\ \\3y-4z=3\end{cases}Osserviamo che le ultime due equazioni sono uguali. Di conseguenza il sistema è indeterminato. Infatti, applicando ad esempio il metodo di riduzione alla seconda e alla terza equazione ci ritroviamo con l’identità {0=0}, che è verificata per valori qualsiasi delle incognite.
Conclusioni
Per quanto riguarda gli esercizi sui sistemi indeterminati ed impossibili è tutto. Ricordiamo la lezione teorica sui sistemi determinati, indeterminati ed impossibili, in modo da non perdere mai di vista il perché delle regole utilizzate negli esercizi di questa scheda.
Buon proseguimento con SìMatematica! 🙂
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