Esercizi sul metodo del confronto

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Presentiamo in questa scheda degli esercizi sul metodo del confronto per sistemi lineari, svolti e commentati. Ci occuperemo sia di sistemi di due equazioni in due incognite, sia di sistemi in tre equazioni in tre incognite.

Ricordiamo che il metodo del confronto per i sistemi lineari consiste nel ricavare due differenti espressioni per una stessa incognita, e quindi confrontarle tra loro. Il risultato sarà una nuova equazione equivalente a quelle utilizzate per il confronto. In tal modo sarà possibile sostituire una delle equazioni a sistema con una nuova equazione nella quale è stata eliminata un’incognita. Questa è dunque la strategia da utilizzare negli esercizi sul metodo del confronto.

In questa lezione ci occuperemo prevalentemente di sistemi determinati, ma vedremo anche dei casi di sistemi impossibili e indeterminati.

Vediamo allora subito gli esercizi sul metodo del confronto per i sistemi lineari (sistemi di equazioni di primo grado).

Esercizi sul metodo del confronto (sistemi di due equazioni in due incognite)

Risolviamo il seguente sistema lineare con il metodo del confronto:

\begin{cases} x+y-7=0 \\ \\ x-y-3=0\end{cases}

Ricaviamo ad esempio un’espressione per l’incognita {x} da ciascuna equazione:

\begin{cases} x=7-y \\ \\ x=y+3\end{cases}

Importante. Dobbiamo ricavare da ciascuna equazione un’espressione per la stessa incognita.

Adesso uguagliamo le due espressioni tra loro. In questo modo otteniamo una nuova equazione che possiamo sostituire ad una delle due equazioni del sistema (ad esempio, la prima). Abbiamo:

\begin{cases} 7-y=y+3 \\ \\ x=y+3\end{cases}

Ora possiamo ricavare il valore dell’incognita {y} nella prima equazione:

\begin{cases} y=\dfrac{7-3}{2}=\dfrac{4}{2}=2 \\ \\ x=y+3\end{cases}

Infine sostituiamo il valore della {y} appena ricavato nella seconda equazione:

\begin{cases} y= 2 \\ \\ x = 2+3=5\end{cases}

Il sistema ha dunque come soluzione la coppia:

(5, \: 2)

Esercizio 2

Proseguiamo gli esercizi sul metodo del confronto con il seguente:

\begin{cases} x+2y-14=0 \\ \\ 2y+x+2=0\end{cases}

Ancora una volta, ricaviamo un’espressione da ciascuna equazione per la stessa incognita. Possiamo procedere come nell’esempio precedente, ricavando da ciascuna equazione un’espressione per la stessa incognita {x}. Tuttavia, per esercizio mostriamo come comportarci con l’incognita {y}.

Per applicare il metodo del confronto utilizzando l’incognita {y}, la strada più semplice consiste nel ricavare da ciascuna equazione un’espressione per la quantità {2y}. Non è infatti necessario isolare l’incognita. Possiamo ricavare un’espressione da ciascuna equazione anche per una quantità contenente l’incognita con uno stesso coefficiente anche diverso da {1}. Abbiamo così:

\begin{cases} 2y=14-x\\ \\ 2y=-x-2\end{cases}

Uguagliamo tra loro le due espressioni ottenute, e sostituiamo l’equazione che così si ottiene ad esempio alla seconda equazione:

\begin{cases} 2y=14-x \\ \\ 14-x=-x-2 \end{cases}

Proviamo a ricavare il valore della {x} dalla seconda equazione:

\begin{cases} 2y=14-x \\ \\  14=-2 \end{cases}

Come possiamo vedere i termini in {x} nella seconda equazione si cancellano tra loro. E la seconda equazione si riduce all’uguaglianza numerica {14=-2}, che è falsa. Di conseguenza il sistema è impossibile, e quindi non esiste per esso nessuna soluzione.

Esercizio 3

Risolviamo insieme il seguente sistema:

\begin{cases} 2x+y=3 \\ \\ 4x+y=4 \end{cases}

Qui volendo applicare in maniera diretta il metodo del confronto la scelta è obbligata: dobbiamo lavorare sull’incognita {y}. Infatti è l’unica incognita tale da comparire con lo stesso coefficiente in entrambe le equazioni. Abbiamo:

\begin{cases} y=3-2x \\ \\ y=4-4x \end{cases}

Uguagliando tra loro le due espressioni appena ottenute e sostituendo l’equazione che così si ottiene ad esempio alla prima equazione del sistema abbiamo:

\begin{cases} 3-2x=4-4x \\ \\ y=4-4x\end{cases}

ovvero:

\begin{cases} 2x=4-3  \quad \rightarrow \quad x=\dfrac{1}{2} \\ \\ y=4-4 \cdot \dfrac{1}{2}=2\end{cases}

Otteniamo così come soluzione del sistema la coppia:

\left( \dfrac{1}{2}, \: 4\right)

Esercizio 4

Veniamo all’ultimo degli esercizi sui sistemi lineari con il metodo del confronto nel caso di due equazioni in due incognite. Passeremo poi ad esercizi con il metodo del confronto relativi a sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite.

\begin{cases} 5y+15x+5=0 \\ \\ y-1=-3(x-1)\end{cases}

Anzitutto eseguiamo il prodotto al secondo membro della seconda equazione. Inoltre, osserviamo che è anche possibile ridurre la prima equazione dividendo tutti i suoi termini per {5}:

\begin{cases} y+3x+1=0 \\ \\ y-1=-3x+3\end{cases}

A questo punto ricaviamo la {y} da entrambe le equazioni:

\begin{cases} y=-3x-1 \\ \\ y = -3x+3+1\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} y=-3x-1 \\ \\ y=-3x+4\end{cases}

Ora uguagliamo le due espressioni per {y} ottenute. In questo modo ricaviamo una nuova equazione, che possiamo sostituire ad esempio alla seconda equazione del sistema. Abbiamo:

\begin{cases} -3x-1=-3x+4 \quad \rightarrow \quad -1=4 \\ \\ y=-3x+4\end{cases}

Osserviamo che la prima equazione si riduce ad un’uguaglianza numerica falsa. Di conseguenza il sistema è impossibile.

Esercizi sul metodo del confronto (sistemi di tre equazioni in tre incognite)

Esercizio 5

Passiamo ad esercizi sul metodo del confronto relativi a sistemi di tre equazioni in tre incognite. Cominciamo risolvendo il seguente sistema:

\begin{cases}-3x+4y+z+1=0 \\ \\ 6x-2y+z=5 \\ \\ 6x-y-z=-2 \end{cases}

Osserviamo che in entrambe la seconda e la terza equazione è presente la quantità {6x}. Conviene allora applicare il metodo del confronto ricavando un’espressione per questa stessa quantità da ciascuna delle due equazioni. Abbiamo:

\begin{cases}-3x+4y+z+1=0 \\ \\6x=\boxed{5+2y-z} \\ \\ 6x=\boxed{-2+y+z} \end{cases}

Adesso uguagliamo le due espressioni evidenziate nei riquadri tra loro, ottenendo una nuova equazione, che riportiamo separatamente a seguire:

5+2y-z=-2+y+z

Ora, attenzione: possiamo mettere la nuova equazione nel sistema soltanto al posto della seconda o della terza equazione. In altre parole, se costruiamo una nuova equazione a partire da due equazioni esistenti, la nuova equazione stessa può sostituire soltanto una delle due equazioni a partire dalle quali è stata costruita. Di conseguenza, se sostituissimo la nuova equazione ottenuta alla prima equazione del sistema commetteremmo un errore.

Abbiamo quindi, sostituendo ad esempio la nuova equazione alla seconda:

\begin{cases}-3x+4y+z+1=0 \\ \\ 5+2y-z=-2+y+z \\ \\ 6x={-2+y+z} \end{cases}

Sommando i termini simili nella seconda equazione:

\begin{cases}-3x+4y+z+1=0 \\ \\y-2z=-7 \\ \\ 6x={-2+y+z} \end{cases}

E’ fondamentale osservare che la nuova equazione dipende dalle sole incognite y e z. E ora, ricordiamo. Per risolvere i sistemi di tre equazioni in tre incognite dobbiamo ricondurci temporaneamente ad un sistema di due equazioni in due incognite. E dato che abbiamo un’equazione nelle due sole incognite y e z, è evidente che dobbiamo ora procedere in modo da ritrovarci nel sistema un’ulteriore equazione anch’essa nelle sole incognite y e z.

Potremmo cadere nella tentazione di ricavare un’espressione per l’incognita {z} dalla prima e dalla terza equazione a sistema. Infatti in entrambe le equazioni è presente lo stesso termine z. Tuttavia, ciò sarebbe del tutto inutile, poiché ciò che vogliamo è ottenere una nuova equazione che contenga le incognite y e z.

Proviamo allora a moltiplicare tutti i termini della prima equazione per {-2}, applicando il secondo principio di equivalenza delle equazioni:

\begin{cases}6x-8y-2z-2=0 \\ \\y-2z=-7 \\ \\ 6x={-2+y+z} \end{cases}

Con questo semplice accorgimento ci ritroviamo sia nella prima, sia nella terza equazione la stessa quantità {6x}, per la quale possiamo ricavare un’espressione da entrambe le equazioni. Tra l’altro, nella terza equazione tale quantità è già esplicitata.

\begin{cases}6x=\boxed{8y+2z+2}\\ \\y-2z=-7 \\ \\ 6x=\boxed{-2+y+z} \end{cases}

Ora uguagliamo le due quantità evidenziate nel riquadro, e sostituiamo la nuova equazione che così si ottiene alla prima equazione a sistema. In alternativa avremmo potuto sostituire la nuova equazione anche alla terza equazione a sistema, ma non alla seconda. Abbiamo:

\begin{cases} 8y+2z+2=-2+y+z \\ \\ y-2z=-7 \\ \\ 6x=-2+y+z\end{cases}

Sommiamo i termini simili nella prima equazione:

\begin{cases} 7y+z=-4 \\ \\ y-2z = -7 \\ \\ 6x=-2+y+z\end{cases}

E’ ora immediato osservare che la prima e la seconda equazione sono nelle stesse incognite y e z. Conviene allora a questo punto mettere da parte la terza equazione, in modo da ricondurci temporaneamente ad un sistema di due solo equazioni in due incognite.

\begin{cases} 7y+z=-4 \\ \\ y-2z = -7 \\ \\ \dots \end{cases}

A questo punto ci ritroviamo praticamente con un sistema di due equazioni in due sole incognite. Proviamo ad utilizzare ancora il metodo del confronto. A tale scopo, moltiplichiamo per {-2} tutti i termini della prima equazione:

\begin{cases} -14y-2z=8 \\ \\ y-2z = -7 \\ \\ \dots \end{cases}

Ora ricaviamo la stessa quantità {-2z} da entrambe le equazioni:

\begin{cases} -2z=\boxed{8+14y} \\ \\ -2z=\boxed{-7-y} \\ \\ \dots \end{cases}

Ancora, uguagliamo le due espressioni ottenute tra loro, sostituendo la nuova equazione che si ottiene ad esempio alla prima equazione a sistema. Abbiamo:

\begin{cases} 8+14y=-7-y \\ \\ -2z=-7-y \\ \\ \dots\end{cases}

Ricaviamo a questo punto il valore dell’incognita {y} dalla prima equazione:

\begin{cases} y=-1 \\ \\ -2z=-7-y \\ \\ \dots \end{cases}

Ora basta sostituire il valore appena ottenuto per l’incognita {y} nella seconda equazione, in modo da ricavare il valore dell’incognita {z}:

\begin{cases} y=-1 \\ \\ -2z=-7-y \quad \rightarrow \quad z=\dfrac{7+y}{2}=\dfrac{7+(-1)}{2}=3 \\ \\ \dots \end{cases}

A questo punto rimane da ricavare soltanto il valore dell’incognita {x}. Ma per fare questo basta riprendere la terza equazione e sostituire in essa i valori sin qui ricavati per le incognite y e z:

\begin{cases} y=-1 \\ \\ z=3 \\ \\  6x=-2+y+z \quad \rightarrow \quad x=\dfrac{-2+(-1)+3}{6}=0\end{cases}

A questo punto abbiamo ricavato i valori di tutte e tre le incognite, ed il sistema ha per soluzione la terna {(x, \: y, \: z)} seguente:

(0, \:-1, \: 3)

Esercizio 6

Concludiamo questa serie di esercizi sui sistemi lineari con il metodo del confronto con il seguente:

\begin{cases} 2x-4y+6z=2 \\ \\ 3x-y+2=0 \\ \\ 2x-4y+6z = 2\end{cases}

Cominciamo ricavando la stessa quantità {2x} dalla prima e dalla seconda equazione:

\begin{cases} 2x=\boxed{4y-6z+2} \\ \\ 3x-y+2=0 \\ \\ 2x=\boxed{4y-6z+2}\end{cases}

Osserviamo che uguagliando le due espressioni così ottenute ci ritroviamo con l’identità {0=0}, che è vera per ogni valore delle incognite x e y. Di conseguenza il sistema è indeterminato.

Conclusioni

Per quanto riguarda questa serie di esercizi sul metodo del confronto per i sistemi lineari è tutto. Buon proseguimento con SìMatematica! 🙂


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