Proponiamo in questa scheda una serie di esercizi sul metodo di sostituzione per i sistemi lineari. Metteremo così in pratica quanto visto sulla lezione teorica relativa al metodo di sostituzione.
Presenteremo in particolare esercizi sul metodo di sostituzione per i sistemi lineari sia relativi al caso di due equazioni in due incognite, sia relativi al caso di tre equazioni in tre incognite. Come sarà evidente non sempre il metodo si dimostrerà come il più efficiente per risolvere un sistema lineare, tuttavia è sicuramente il metodo dal procedimento più intuitivo. Il metodo di sostituzione si basa in particolare sul principio di sostituzione.
Fatte le dovute premesse passiamo subito a svolgere insieme gli esercizi sul metodo di sostituzione per i sistemi lineari (sistemi di equazioni di primo grado). Buon lavoro!
Esercizi sul metodo di sostituzione svolti e commentati
Prima parte: sistemi di due equazioni in due incognite
Risolviamo il seguente sistema lineare utilizzando il metodo per sostituzione:
\begin{cases} 3x-y=5 \\ \\ 4x+2y=1 \end{cases}Osservando il sistema, notiamo che l’incognita {y} compare nella prima equazione con coefficiente {-1}. Al fine di rendere il più semplice possibile ricavare un’espressione per la {y} dalla prima equazione, possiamo invertire i segni di tutti i termini della prima equazione. Ciò è corretto poiché corrisponde ad applicare il secondo principio di equivalenza, moltiplicando entrambi i membri dell’equazione per {-1}. Così facendo abbiamo:
\begin{cases} -3x+y=-5 \\ \\ 4x+2y=1 \end{cases}A questo punto è immediato isolare la {y} dalla prima equazione:
\begin{cases} y=-5+3x \\ \\ 4x+2y=1 \end{cases}Ora, partendo dall’informazione che ci fornisce la prima equazione, applicando il principio di sostituzione possiamo sostituire alla lettera {y} nella seconda equazione l’espressione {-5+3x}. Così abbiamo:
\begin{cases}y=-5+3x \\ \\ 4x+2(\overbrace{-5+3x}^{y})=1 \end{cases}Grazie a questa tecnica ora la seconda equazione presenta una sola incognita, ed è in particolare possibile ricavare da tale equazione il valore dell’incognita {x}. Abbiamo:
\begin{cases} y=-5+3x \\ \\ 4x-10+6x=1\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} y=-5+3x \\ \\ 10x=11 \quad \rightarrow \quad x=\dfrac{11}{10}\end{cases}A questo punto possiamo applicare di nuovo il principio di sostituzione. In particolare, procediamo sostituendo il valore appena ricavato alla {x} nella prima equazione. Abbiamo:
\begin{cases} y=-5+3 \cdot \left( \dfrac{11}{10}\right)=-\dfrac{17}{10} \\ \\ x= \dfrac{11}{10}\end{cases}Siamo così riusciti a determinare i valori delle incognite. Il sistema è allora determinato ed ammette per soluzione la coppia ordinata {(x, \: y)} seguente:
\left( \dfrac{11}{10}, \: -\dfrac{17}{10}\right)Esercizio 2
Risolviamo sempre con il metodo per sostituzione il seguente sistema:
\begin{cases} 3y-4x-2=0 \\ \\ x-y-1=0\end{cases}La strada più semplice è ricavare la {x} dalla seconda equazione. In questo modo infatti avendo un coefficiente unitario per l’incognita che vogliamo isolare non ci ritroviamo delle frazioni numeriche. Inoltre, dato che abbiamo il segno più per l’incognita, possiamo isolare l’incognita stessa senza dover lavorare troppo con i segni.
\begin{cases} 3y-4x-2=0 \\ \\ x=y+1\end{cases}A questo punto sostituiamo l’espressione {y+1} alla {x} nella prima equazione:
\begin{cases} 3y-4(y+1)-2=0 \\ \\ x=y+1\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 3y-4y-4-2=0 \\ \\ x=y+1\end{cases}Otteniamo così, ricavando la {y} dalla prima equazione:
\begin{cases} -y=6 \\ \\ x=y+1\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} y=-6 \\ \\ x=-6+1=-5\end{cases}In definitiva il sistema è determinato ed ammette come soluzione la coppia:
(-5, \: -6)
Esercizio 3
Proseguiamo gli esercizi sul metodo di sostituzione per i sistemi lineari (sistemi di equazioni di primo grado) con il seguente:
\begin{cases} 4-2(x-3y)-(3-x) = 0 \\ \\ 5(3-x)-(x-7)=8-2(x-2y)\end{cases}Non ci è possibile applicare il metodo di sostituzione al sistema in questa forma. Dobbiamo infatti riscriverlo in forma normale, o comunque in maniera tale che non vi siano nelle equazioni termini tra loro simili.
Prima di tutto, calcoliamo tutti i prodotti:
\begin{cases} 4-2x+6y-3+x=0 \\ \\ 15-5x-x+7=8-2x+4y\end{cases}Ora, portiamo tutti i termini della seconda equazione al primo membro (nella prima equazione tutti i termini sono già al primo membro):
\begin{cases} 4-2x+6y-3+x=0 \\ \\ 15-5x-x+7-8+2x-4y=0\end{cases}A questo punto sommiamo tutti i termini simili in ciascuna equazione:
\begin{cases} -x+6y+1=0 \\ \\ -4x -4y+14=0\end{cases}A questo punto abbiamo sommato tutti i termini simili ed è possibile applicare il metodo di sostituzione. Osserviamo che il sistema non è in forma normale, ma una volta che abbiamo sommato tutti i termini simili in ciascuna equazione possiamo comunque applicare il metodo di sostituzione.
Ricaviamo la {x} dalla prima equazione, e quindi sostituiamo l’espressione ottenuta alla {x} nella seconda equazione:
\begin{cases} x=6y+1 \\ \\ -4(6y+1)-4y+14=0\end{cases}E’ ora possibile ricavare la {y} dalla seconda equazione:
\begin{cases} x=6y+1 \\ \\ -24y-4-4y+14=0 \quad \rightarrow \quad -28y=-10 \quad \rightarrow \quad y=\dfrac{5}{14}\end{cases}Ma a questo punto basta sostituire il valore appena ottenuto per la {y} nella prima equazione, in modo da ricavare il valore della rimanente incognita {x}:
\begin{cases} x= 6 \cdot \dfrac{5}{14}+1 =\dfrac{22}{7}\\ \\ y= \dfrac{5}{14}\end{cases}Così in conclusione il sistema ammette come soluzione la coppia:
\left( \dfrac{22}{7}, \: \dfrac{5}{14}\right)Esercizio 4
Proseguiamo gli esercizi sul metodo di sostituzione con il seguente sistema:
\begin{cases} 2(4x-y)-3(4-2x)=5(x-y) \\ \\ 2x-3y=-7x-6y\end{cases}Calcoliamo i prodotti al primo membro della prima equazione:
\begin{cases}8x-2y-12+6x=5x-5y \\ \\ 2x-3y=-7x-6y\end{cases}Ora portiamo tutti i termini di ciascuna equazione al primo membro, quindi sommiamo tra loro i termini simili:
\begin{cases} 8x-2y-12+6x-5x+5y=0 \\ \\ 2x-3y+7x+6y=0\end{cases} \qquad \Rightarrow \quad \begin{cases} 9x+3y-12=0 \\ \\ 9x+3y=0\end{cases}Trasportiamo il termine noto della prima equazione al secondo membro:
\begin{cases} 9x+3y=12 \\ \\ 9x+3y=0\end{cases}Osserviamo che al primo membro delle equazioni compare la stessa quantità {9x+3y}. E tale quantità non può essere contemporaneamente uguale ai due distinti numeri {12} e {0} presenti al secondo membro di ciascuna equazione. Di conseguenza il sistema è impossibile e non ammette alcuna soluzione.
Esercizio 5
Veniamo ora all’ultimo degli esercizi sul metodo di sostituzione relativi a sistemi lineari di due equazioni in due incognite. A seguire proporremo invece esercizi sui sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite.
\begin{cases} (x-1+y)^2-(x^2+y^2)=2y(x+1) \\ \\ y+(x-2)^2=36+(x-4)(x+4)\end{cases}Calcoliamo tutte le potenze ed i prodotti:
\begin{cases} \cancel{x^2}+1+\cancel{y^2}-2x+\cancel{2xy}-2y-\cancel{x^2}-\cancel{y^2}=\cancel{2xy}+2y \\ \\ y+\cancel{x^2}-4x+4=36+\cancel{x^2}-16\end{cases}e quindi:
\begin{cases}-4y-2x+1=0 \\ \\ -4x+y=16 \end{cases}Ricaviamo ad esempio la {y} dalla seconda equazione. Questa è la strada più immediata rispetto alle altre alternative poiché il coefficiente della {y} nella seconda equazione è 1. Sostituiamo inoltre l’espressione che in questo modo otteniamo per {y} nella prima equazione. Abbiamo:
\begin{cases}-4(16+4x)-2x+1=0 \\ \\ y=16+4x \end{cases}Ricaviamo la {x} dalla prima equazione:
\small \begin{cases} -64-16x-2x+1=0 \quad \rightarrow \quad -18x=63 \quad \rightarrow \quad x=-\dfrac{63}{18}=-\dfrac{7}{2} \\ \\ y=16+4x\end{cases}Infine ricaviamo la {y} dalla seconda equazione:
\begin{cases} x=-\dfrac{7}{2} \\ \\ y=16+4 \cdot \left( -\dfrac{7}{2}\right)=2\end{cases}Il sistema ha dunque come soluzione la coppia:
\left( -\dfrac{7}{2}, \: 2\right)Seconda parte: esercizi sul metodo di sostituzione con sistemi di tre equazioni in tre incognite
Passiamo ora ad esercizi sul metodo di sostituzione relativi a sistemi di tre equazioni in tre incognite. Il ragionamento da seguire non differisce molto dal caso dei sistemi di tre equazioni in tre incognite, tuttavia occorrerà prestare attenzione alle equazioni che si considerano di volta in volta. In particolare, il procedimento da seguire è:
- ricavare un’espressione per un’incognita da una delle tre equazioni;
- sostituire l’espressione ottenuta a ciascuna delle rimanenti equazioni in modo da avere due equazioni in due incognite all’interno del sistema;
- lavorare con le sole due equazioni contenenti due incognite riconducendosi al caso di un sistema di due equazioni in due incognite. In questo modo è possibile ricavare i valori di due incognite;
- infine, utilizzare l’equazione lasciata da parte per ricavare la rimanente incognita, sostituendo in tale equazione i valori delle due incognite dei quali si dispone.
L’idea è così quella di ricondursi temporaneamente ad un sistema di due equazioni in due incognite, per poi utilizzare l’equazione messa da parte per ricavare l’ultima incognita.
Vediamo subito degli esercizi. 😉
Esercizio 6
Risolviamo il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite con il metodo di sostituzione:
\begin{cases} 2x+y+2z=1 \\ \\ x-3y-2z=0 \\ \\ 2y-z=\dfrac{5-2x}{2}\end{cases}Per comodità scriviamo il sistema in forma normale. Ciò non è in verità obbligatorio se si utilizza il metodo di sostituzione ma ci è comunque di aiuto per organizzarci meglio.
Osserviamo che la terza equazione non è frazionaria. Infatti, non compaiono incognite ai denominatori. Siamo quindi in presenza di un sistema lineare. La terza equazione è del tipo intera a termini frazionari, e possiamo ricondurci a termini interi moltiplicando per {2} entrambi i membri. Abbiamo:
\begin{cases} 2x+y+2z=1 \\ \\ x-3y-2z=0 \\ \\ 4y-2z=5-2x\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 2x+y+2z=1 \\ \\ x-3y-2z=0 \\ \\ 4y-2z+2x=5\end{cases} A questo punto ricaviamo ad esempio la {x} dalla seconda equazione. Conviene sempre scegliere di isolare un’incognita a partire se possibile da un’equazione che contiene un termine nell’incognita stessa avente coefficiente uguale a {1}. Così abbiamo:
\begin{cases} 2x+y+2z=1 \\ \\ x-3y-2z=0 \quad \rightarrow \quad x=\boxed{3y+2z} \\ \\ 4y-2z+2x=5\end{cases} A questo punto sostituiamo l’espressione evidenziata nel riquadro nella prima e nella terza equazione. Così facendo eliminiamo l’incognita {x} da entrambe le equazioni:
\begin{cases} 2(\overbrace{3y+2z}^{\boxed{x}})+y+2z=1 \\ \\ x=\boxed{3y+2z} \\ \\ 4y-2z+2(\overbrace{3y+2z}^{\boxed{x}})=5\end{cases} Svolgendo i prodotti e sommando tra loro i termini simili:
\begin{cases} 6y+4z+y+2z= 1 \\ \\ x=3y+2z \\ \\ 4y-2z+6y+4z=5 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 7y+6z=1 \\ \\ x=3y+2z \\ \\ 10y+2z=5\end{cases}A questo punto ci ritroviamo con la prima e la terza equazione nelle sole incognite {y} e {z}. Conviene quindi escludere per il momento la seconda equazione in modo da ritrovarci con un sistema di due sole equazioni in due incognite, che possiamo risolvere come visto negli esercizi precedenti.
\begin{cases} 7y+6z=1 \\ \\ \dots \\ \\ 10y+2z=5\end{cases}Ragioniamo allora soltanto con le due equazioni che abbiamo lasciato. Ricaviamo ad esempio la {z} dalla seconda equazione:
\begin{cases} 7y+6z=1 \\ \\ \dots \\ \\ z=\dfrac{5}{2}-5y \end{cases}Ora sostituiamo l’espressione ottenuta per {z} nella prima equazione:
\begin{cases} 7y+6\left( \dfrac{5}{2}-5y\right)=1 \\ \\ \dots \\ \\ z=\dfrac{5}{2}-5y \end{cases}Ricaviamo il valore della {y} dalla prima equazione, e quindi di conseguenza il valore di {z} dalla terza:
\small \begin{cases} 7y+15-30y=1 \\ \\ \dots \\ \\ z=\dfrac{5}{2}-5y\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} y=\dfrac{14}{23} \\ \\ \dots \\ \\ z=\dfrac{5}{2}-5 \cdot\dfrac{14}{23}=\dfrac{5}{2}-\dfrac{70}{23}=\dfrac{115-140}{46}=-\dfrac{25}{46}\end{cases}Abbiamo così ricavato i valori delle incognite {y} e {z} semplicemente facendo finta di avere un sistema di due equazioni in due incognite. A questo punto, per ricavare la rimanente incognita {x} dobbiamo riprendere la seconda equazione. Riscriviamola al posto dei puntini:
\begin{cases} y=\dfrac{14}{23} \\ \\ x=3y+2z \\ \\ z=-\dfrac{25}{46}\end{cases}Sostituendo a questo punto i valori delle incognite {y} e {z} nella seconda equazione ricaviamo il valore dell’incognita {x}:
\begin{cases} y=\dfrac{14}{23} \\ \\ x=3 \cdot \dfrac{14}{23}+2 \cdot \left( -\dfrac{25}{46}\right)=\dfrac{42}{23}-\dfrac{50}{46}=\dfrac{84-50}{46}=\dfrac{34}{46}=\dfrac{17}{23} \\ \\ z=-\dfrac{25}{46}\end{cases}Così in conclusione il sistema ammette come soluzione la terna:
\left( \dfrac{17}{23}, \: \dfrac{14}{23}, \: -\dfrac{25}{46}\right)Esercizio 7
Proseguiamo questi esercizi sul metodo di sostituzione per i sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite con il seguente:
\begin{cases} 3x+y-6z=16 \\ \\ x-2y-z=9 \\ \\ 2x+3y-2z=4\end{cases}Il sistema è già dato in forma normale. Ricaviamo ad esempio la {y} dalla prima equazione:
\begin{cases} y=\boxed{16-3x+6z} \\ \\ x-2y-z=9 \\ \\ 2x+3y-2z=4\end{cases}A questo punto sostituiamo l’espressione ottenuta per l’incognita {y} nelle altre due equazioni:
\begin{cases} y={16-3x+6z} \\ \\ x-2\left( 16-3x+6z\right)-z=9 \\ \\ 2x+3\left( 16-3x+6z\right)-2z=4\end{cases}Calcoliamo i prodotti e sommiamo i termini simili nella seconda e nella terza equazione:
\begin{cases} y={16-3x+6z} \\ \\ x-32+6x-12z-z=9 \\ \\ 2x+48-9x+18z-2z=4\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} y=16-3x+6z \\ \\7x-13z=41 \\ \\ -7x+16z=-44 \end{cases}Arrivati a questo punto è importante osservare che la seconda e la terza equazione sono entrambe nelle sole due incognite {x} e {z}. Conviene quindi escludere la prima equazione in modo da ricondurci alla risoluzione di un sistema di due equazioni nelle due incognite {x} e {z}:
\begin{cases}\dots \\ \\7x-13z=41 \\ \\ -7x+16z=-44 \end{cases}Ricaviamo ad esempio un’espressione per {x} dalla prima equazione, per poi sostituire l’espressione stessa nella seconda equazione :
\begin{cases}\dots \\ \\ x=\dfrac{41+13z}{7} \\ \\ -7 \left( \dfrac{41+13z}{7} \right)+16z=-44 \end{cases}Con qualche conto ricaviamo il valore dell’incognita {z} dalla terza equazione:
\begin{cases}\dots \\ \\ x=\dfrac{41+13z}{7} \\ \\ z=-1\end{cases}e sostituendo il valore di {z} appena calcolato possiamo ricavare il valore dell’incognita {x} dalla seconda equazione:
\begin{cases}\dots \\ \\ x=\dfrac{41+13 \cdot (-1)}{7}=\dfrac{41-13}{7}= 4\\ \\ z=-1\end{cases}Ora riprendiamo la prima equazione che avevamo messo da parte e sostituendo in essa i valori sin qui noti per le incognite concludiamo ricavando il valore dell’ultima incognita {y}:
\begin{cases} y={16-3x+6z} \\ \\ x=4 \\ \\ z = -1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} y=16-3 \cdot 4 + 6 \cdot (-1)=-2 \\ \\ x=4 \\ \\ z=-1\end{cases}Così la soluzione del sistema dato è la terna seguente:
\left( 4, \: -2, \: -1\right)
Esercizio 8
Proseguiamo ancora con il seguente esercizio:
\begin{cases} 4x+y-z+1=0 \\ \\ 2x-4y+2z=9 \\ \\ 2x+3y-2z=-6\end{cases}Il sistema non è in forma normale (il termine noto nella prima equazione non è al secondo membro), tuttavia non vi sono termini simili in nessuna equazione. Possiamo quindi applicare il metodo di sostituzione con il sistema anche nella forma di partenza.
Ricaviamo la {y} dalla prima equazione, quindi sostituiamo l’espressione che otteniamo per tale incognita nella seconda e nella terza equazione:
\begin{cases}y=-4x+z-1 \\ \\ 2x-4\left( -4x+z-1\right)+2z=9 \\ \\ 2x+3\left( -4x+z-1\right)-2z=-6\end{cases}Allo stesso modo dei precedenti esercizi sul metodo di sostituzione per i sistemi lineari, calcoliamo i prodotti e sommiamo i termini simili (seconda e terza equazione):
\begin{cases}y=-4x+z-1 \\ \\18x-2z+4=9 \\ \\-10x+z-3=-6\end{cases}A questo punto escludiamo la prima equazione e lavoriamo sulle rimanenti in modo da ricavare le incognite {x} e {z}:
\begin{cases}\dots \\ \\18x-2z+4=9 \\ \\-10x+z-3=-6\end{cases}Ricaviamo un’espressione per l’incognita {z} dalla terza equazione:
\begin{cases}\dots \\ \\18x-2z+4=9 \\ \\z=-6+3+10x=-3+10x\end{cases}e quindi:
\small \begin{cases} \dots \\ \\ 18x-2 \left( -3+10x\right)=5 \quad \rightarrow \quad 18x+6-20x=5 \quad \rightarrow \quad x= \dfrac{1}{2}\\ \\ z=-3+10x\end{cases}A questo punto ricaviamo agevolmente il valore dell’incognita {z}:
\begin{cases} \dots \\ \\ x=\dfrac{1}{2} \\ \\ z=-3+10x=-3+10 \cdot \dfrac{1}{2}=2\end{cases}Anche in questo caso per ricavare il valore dell’ultima incognita rimasta dobbiamo riprendere l’equazione che avevamo per il momento messo da parte:
\begin{cases} y=-4x+z-1 \quad \rightarrow \quad y=-4 \cdot \dfrac{1}{2}+2-1=-1\\ \\ x=\dfrac{1}{2} \\ \\ z=2\end{cases}Così il sistema è in conclusione risolto ed ha per soluzione la terna:
\left( \dfrac{1}{2}, \: -1 , \: 2\right)Esercizio 9
Risolviamo ancora utilizzando il metodo di sostituzione il seguente sistema:
\begin{cases} \dfrac{2}{x-1}+\dfrac{4}{y-1}=1-\dfrac{xy}{(x-1)(y-1)} \\ \\ 10x+4y+z=16 \\ \\ 15x+y+6z= 5 \end{cases}Eccoci arrivati ad esercizi sul metodo di sostituzione per i sistemi lineari di livello un po’ più avanzato. In particolare osserviamo che il sistema dato non è lineare. Infatti nella prima equazione abbiamo delle incognite ai denominatori. Come abbiamo visto nella lezione dedicata, per risolvere questo tipo di sistemi dobbiamo ricondurre le equazioni che contengono incognite ai denominatori alla forma intera. E per fare ciò, dovremo imporre opportune condizioni di esistenza.
Poiché nella prima equazione compaiono delle frazioni algebriche aventi i numeratori {x-1} e {y-1}, dovremo imporre le condizioni di esistenza:
x-1 \neq 0 \quad \wedge \quad y-1 \neq 0
e quindi:
x\neq 1 \quad \wedge \quad y \neq 1
In altre parole, richiediamo che tutti i denominatori delle frazioni algebriche presenti nel sistema siano diversi da zero. Di conseguenza, una volta risolto il sistema dovremo non accettare un’eventuale soluzione del sistema stesso che comprenda dei valori per le incognite {x=1} e {y=1}.
Ora, sotto l’ipotesi appena scritta possiamo mettere tutti i termini della prima equazione a denominatore comune e quindi eliminare il denominatore. Abbiamo:
\begin{cases} \dfrac{2}{x-1}+\dfrac{4}{y-1}-1+\dfrac{xy}{(x-1)(y-1)}=0 \\ \\ 10x+4y+z=16 \\ \\ 15x+y+6z= 5 \end{cases}e quindi:
\begin{cases} \dfrac{2(y-1)+4(x-1)-(x-1)(y-1)+xy}{(x-1)(y-1)}=0 \\ \\ 10x+4y+z=16 \\ \\ 15x+y+6z= 5 \ \end{cases}ovvero, sviluppando ulteriormente i calcoli:
\begin{cases} \dfrac{2y-2+4x-4-\cancel{xy}+x+y-1+\cancel{xy}}{(x-1)(y-1)}=0 \\ \\ 10x+4y+z=16 \\ \\ 15x+y+6z= 5 \ \end{cases}Quindi eliminando il denominatore della prima equazione (sotto le ipotesi dette, non dimentichiamo):
\begin{cases} 3y+5x-7=0 \\ \\ 10x+4y+z=16 \\ \\ 15x+y+6z= 5 \ \end{cases} \qquad \text{con} \: x \neq 1, \: y \neq 1Ricaviamo ora un’espressione per l’incognita {y} dalla terza equazione:
\begin{cases} 3y+5x-7=0 \\ \\ 10x+4y+z=16 \\ \\ y=5-15x-6z \ \end{cases}Sostituiamo l’espressione appena ottenuta per {y} nella prima e nella seconda equazione:
\begin{cases} 3(5-15x-6z)+5x-7=0 \\ \\ 10x+4(5-15x-6z)+z=16 \\ \\ y=5-15x-6z \ \end{cases}Calcoliamo i prodotti:
\begin{cases} 15-45x-18z+5x-7=0 \\ \\ 10x+20-60x-24z+z=16 \\ \\ y=5-15x-6z\end{cases}Sommiamo i termini simili:
\begin{cases}-40x-18z=-8\\ \\ -50x-23z=-4\\ \\ y=5-15x-6z\end{cases}A questo punto, osserviamo che le prime due equazioni sono nelle due stesse incognite {x} e {z}. Escludiamo allora la terza equazione (per il momento) e ricaviamo i valori delle incognite {x} e {z} utilizzando le prime due equazioni. Quindi, come negli esercizi precedenti ricaviamo il valore dell’incognita rimanente riprendendo la terza equazione.
Otteniamo così per le incognite i valori:
\begin{cases}x=\dfrac{28}{5} \\ \\ z=-12\\ \\ y=-7 \end{cases}I valori ottenuti rispettano le condizioni che abbiamo imposto per il sistema (condizioni di esistenza per il sistema). Infatti entrambi i valori ottenuti per le incognite {x} e {y} sono diversi da {1}. Così in conclusione il sistema assegnato ha per soluzione la terna:
\left( \dfrac{28}{5}, \: -7, \: -12\right)Esercizio 10
Concludiamo questa serie di esercizi sul metodo di sostituzione per i sistemi lineari con il seguente:
\begin{cases} \dfrac{x+z}{3}+y=1 \\ \\ 2x-y+z=7 \\ \\ \dfrac{x-2y+2z}{4}=\dfrac{1}{2}\end{cases}Prima di tutto è importante fare caso che il sistema non è frazionario, ma è un normale sistema lineare di tre equazioni in tre incognite. Infatti, non abbiamo incognite al denominatore, ma soltanto numeri. Ciascuna equazione è dunque intera del tipo a termini frazionari.
Non abbiamo dunque bisogno di nessun accorgimento come nel caso dell’esercizio precedente. Il sistema è già lineare (ovvero abbiamo già un sistema di equazioni intere di primo grado).
La seconda equazione non presenta nessun termine frazionario, ovvero non abbiamo in essa alcun numero ai denominatori (diverso da 1). Nelle rimanenti equazioni dobbiamo invece portare tutti i termini al primo membro e quindi metterli a denominatore comune:
\begin{cases} \dfrac{x+z}{3}+y-1 =0\\ \\ 2x-y+z=7 \\ \\ \dfrac{x-2y+2z}{4}-\dfrac{1}{2}=0\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \dfrac{x+z+3y-3}{3}=0\\ \\ 2x-y+z=7 \\ \\ \dfrac{x-2y+2z-2}{4}=0\end{cases}Possiamo a questo punto eliminare tranquillamente i denominatori nella prima e nella terza equazione senza alcuna discussione. Infatti, lo rimarchiamo ancora, i denominatori sono numeri. Abbiamo quindi:
\begin{cases} \dfrac{x+z+3y-3}{\cancel{3}}=0\\ \\ 2x-y+z=7 \\ \\ \dfrac{x-2y+2z-2}{\cancel{4}}=0\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x+z+3y-3=0\\ \\ 2x-y+z=7 \\ \\x-2y+2z-2=0\end{cases}Osserviamo che non abbiamo termini simili in nessuna delle equazioni. E quindi, anche se il sistema non è ancora in forma normale, possiamo comunque già applicare il metodo di sostituzione. Ricaviamo ad esempio un’espressione per l’incognita {x} dalla terza equazione:
\begin{cases} x+z+3y-3=0\\ \\ 2x-y+z=7 \\ \\x=\boxed{2y-2z+2}\end{cases}Ora sostituiamo come al solito l’espressione ottenuta nelle altre equazioni:
\begin{cases} 2y-2z+2+z+3y-3=0\\ \\ 2\left( 2y-2z+2\right)-y+z=7 \\ \\x=\boxed{2y-2z+2}\end{cases}Svolgendo i calcoli:
\begin{cases}5y-z-1=0 \\ \\ 4y-4z+4-y+z=7 \\ \\ x=2y-2z+2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 5y-z-1=0 \\ \\ 3y-3z-3=0 \\ \\ x=2y-2z+2\end{cases}Ma ora basta osservare che le prime due equazioni sono entrambe nelle due sole incognite {y} e {z}. Così possiamo escludere per il momento la terza equazione, ritrovandoci così di fatto con un sistema di due equazioni in due incognite:
\begin{cases} 5y-z-1=0 \\ \\ 3y-3z-3=0 \\ \\ \dots\end{cases}Ormai lo svolgimento rimanente dovrebbe essere chiaro dagli esercizi precedenti, per cui ci limitiamo a riportare i soli passaggi:
\begin{cases} z=5y-1 \\ \\ 3y-3(5y-1)-3=0 \quad \rightarrow \quad y=0 \\ \\ \dots \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} z=-1 \\ \\ y= 0 \\ \\ \dots \end{cases}\begin{cases} z=-1 \\ \\ y=0 \\ \\ x=2y-2z+2 =4\end{cases}Così in conclusione otteniamo per il sistema di partenza la soluzione:
\left( 4, \: 0, \: -1\right)
Conclusioni
Per quanto riguarda questa serie di esercizi sul metodo di sostituzione per i sistemi lineari è tutto. Ci salutiamo osservando che il metodo risulta piuttosto scomodo per i sistemi di tre equazioni in tre incognite. Inoltre, talvolta le sostituzioni da eseguire possono risultare macchinose anche nei più semplici sistemi di due equazioni in due incognite. Per cui, il metodo di sostituzione è probabilmente il più semplice da capire per i sistemi lineari, ma non è sempre quello che offre i calcoli più agili per la risoluzione del sistema assegnato.
Consigliamo di conseguenza di utilizzare questo metodo soltanto per sistemi di forma particolarmente semplice, invitando ad acquisire un’ottima padronanza anche degli altri metodi per risolvere i sistemi lineari (metodo di riduzione, metodo del confronto e metodo di Cramer).
Buon proseguimento a tutti con SìMatematica!
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