Proponiamo ora una scheda di esercizi sul metodo di riduzione per i sistemi lineari. In particolare ci occuperemo di sistemi lineari di due equazioni in due incognite e di tre equazioni in tre incognite.
Come abbiamo visto nella lezione teorica, il metodo di riduzione consiste nel sommare o sottrarre membro a membro due equazioni del sistema tra loro, in modo da ottenere una nuova equazione che presenti un numeri minore di incognite. E la nuova equazione potrà essere sostituita ad una delle equazioni presenti nel sistema.
L’idea è quella di utilizzare convenientemente il metodo di riduzione negli esercizi, in modo da ridurre di volta in volta il numero delle incognite presenti nelle equazioni del sistema, fino ad arrivare eventualmente alla soluzione del sistema (se determinato).
Senza ulteriori indugi, vediamo subito questa serie di esercizi sul metodo di riduzione.
Esercizi svolti e commentati sul metodo di riduzione (sistemi lineari)
Prima parte: esercizi sul metodo di riduzione per sistemi lineari di due equazioni in due incognite
Esercizio 1
Risolviamo il seguente sistema lineare con il metodo di riduzione:
\begin{cases} 5x+5y=24 \\ \\ 5x-5y=26\end{cases}Il sistema è già in forma normale. Infatti, non abbiamo termini simili in nessun membro, al secondo membro abbiamo i soli termini noti e le lettere delle incognite si presentano in ordine alfabetico.
Prima di applicare il metodo di riduzione occorre ridurre il sistema dato alla forma normale. Infatti soltanto in questo modo sarà agevole sommare membro a membro le due equazioni, evitando errori.
Osserviamo che nella prima equazione compare il termine {5y}, mentre nella seconda equazione compare il termine {-5y}, ad esso uguale in valore assoluto ma di segno opposto.
Così, se sommiamo membro a membro la prima equazione e la seconda equazione, i termini {5y} e {-5y} si cancelleranno tra loro. Di conseguenza, otterremo una nuova equazione nella sola incognita x.
In particolare, sommando membro a membro le due equazioni a sistema abbiamo:
\begin{align*} & 5x+5y+(5x-5y)=24+26 \\ \\ & 5x+\cancel{5y}+5x-\cancel{5y}=50 \quad \Rightarrow \quad \boxed{10x=50} \end{align*}Ora, come visto nella teoria procedendo in questo modo abbiamo applicato il primo principio di equivalenza. Di conseguenza, la nuova equazione scritta è equivalente a ciascuna delle equazioni presenti nel sistema di partenza. Così, è possibile sostituire una delle due equazioni del sistema a nostra scelta con la nuova equazione appena scritta.
Sostituiamo ad esempio la prima equazione presente nel sistema con la nuova equazione scritta. Per quanto riguarda invece la seconda equazione, dovremo riscriverla così come è. Ragionando in questo modo il sistema diviene:
\begin{cases} 10x=50\\ \\ 5x-5y=26\end{cases}Ora la prima equazione è nella sola incognita {x}, e possiamo quindi ricavare il valore di tale incognita:
\begin{cases} 10x=50 \quad \rightarrow \quad x= \dfrac{50}{10} \quad \rightarrow \quad \boxed{x=5}\\ \\ 5x-5y=26\end{cases}Abbiamo così ricavato il valore dell’incognita {x}.
Ma a questo punto per ricavare la rimanente incognita {y} basta sostituire nella seconda equazione il valore numerico dell’incognita {x} appena ricavato. In questo modo infatti la seconda equazione si ridurrà ad una equazione nella sola incognita {y}. Abbiamo:
\small \begin{cases} x=5 \\ \\ 5x-5y=26 \quad \rightarrow \quad 5 \cdot 5-5y=26 \quad \rightarrow \quad -5y=26-25 \quad \rightarrow \quad \boxed{y=-\dfrac{1}{5}}\end{cases}In conclusione il sistema è determinato ed ammette come soluzione la coppia ordinata di valori {x, \: y}:
\left( 5, \: -\dfrac{1}{5}\right)Esercizio 2
Proseguiamo gli esercizi sul metodo di riduzione per i sistemi lineari con il seguente:
\begin{cases} 3x+5y=-2 \\ \\ 3x-2y=5 \end{cases}Osserviamo anzitutto che il sistema dato è già in forma normale.
Ora, dato che in entrambe le equazioni compare lo stesso termine {3x}, dovremo costruire una nuova equazione sottraendo la seconda equazione a sistema alla prima. In tal modo i termini in {x} si cancelleranno tra loro e otterremo una nuova equazione nella sola incognita {y}. Abbiamo:
\small 3x+5y-(3x-2y)=-2-5 \quad \Rightarrow \quad \cancel{3x}+5y-\cancel{3x}+2y=-7e quindi:
7y=-7
A questo punto sostituiamo la nuova equazione ad esempio alla prima equazione a sistema:
\begin{cases} 7y=-7 \\ \\ 3x-2y=5 \end{cases}Possiamo a questo punto ricavare il valore dell’incognita {y} dalla prima equazione:
\begin{cases} 7y=-7 \quad \rightarrow \quad y=-\dfrac{7}{7}=-1 \quad \rightarrow \quad y=-1 \\ \\ 3x-2y=5 \end{cases}Ed ora per sostituzione possiamo ricavare il valore della {x}. Infatti, basta sostituire il valore appena ottenuto per l’incognita {y} nella seconda equazione:
\begin{cases} y=-1 \\ \\ 3x-2y=5 \quad \rightarrow \quad 3x-2(-1)=5 \quad \rightarrow \quad x=1 \end{cases}Così in conclusione il sistema è determinato ed ammette come soluzione la coppia ordinata di valori:
(1, \: -1)
Esercizio 3
Risolviamo con il metodo di riduzione il seguente sistema lineare:
\begin{cases} \dfrac{1}{24}x+3y=1 \\ \\ \dfrac{3}{2}\left( 3y+\dfrac{1}{2}x\right)-6=-10\end{cases}Il sistema non è in forma normale. Per cui dobbiamo prima di tutto ricondurlo a tale forma. In particolare, dobbiamo in questo caso eseguire il prodotto al primo membro della seconda equazione, e quindi sommare opportunamente i termini tra loro simili.
\begin{cases} \dfrac{1}{24}x+3y=1 \\ \\ \dfrac{9}{2}y+\dfrac{3}{4}x=-4\end{cases}Per ridurre il sistema alla forma normale, dobbiamo anche disporre i termini nella seconda equazione di modo che le lettere delle incognite si presentino in ordine alfabetico:
\begin{cases} \dfrac{1}{24}x+3y=1 \\ \\ \dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{2}y=-4\end{cases}A questo punto il sistema è ridotto alla forma normale. Moltiplichiamo ora entrambi i membri della prima equazione per {\dfrac{3}{2}}, applicando il secondo principio di equivalenza. In tal modo, ci ritroviamo in entrambe le equazioni a sistema con il termine {\dfrac{9}{2}y}:
\begin{cases}\dfrac{3}{2} \cdot \left( \dfrac{1}{24}x+3y\right)= \dfrac{3}{2} \cdot 1 \\ \\ \dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{2}y=-4\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \dfrac{1}{16}x+\dfrac{9}{2}y=\dfrac{3}{2} \\ \\ \dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{2}y=-4\end{cases}Ora possiamo applicare il metodo di riduzione sottraendo la seconda equazione a sistema alla prima. In questo modo i due termini {\dfrac{9}{2}y} si cancellano tra loro:
\begin{align*} & \dfrac{1}{16}x+\dfrac{9}{2}y-\left( \dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{2}y\right)=\dfrac{3}{2}-(-4) \\ \\ &\dfrac{1}{16}x+\cancel{\dfrac{9}{2}y}-\dfrac{3}{4}x-\cancel{\dfrac{9}{2}y}=\dfrac{3}{2}+4 \\ \\ &\boxed{-\dfrac{11}{16}x=\dfrac{11}{2} }\end{align*}Ora sostituiamo la nuova equazione ottenuta ad esempio alla prima equazione nel sistema. Abbiamo:
\begin{cases} -\dfrac{11}{16}x=\dfrac{11}{2} \\ \\ \dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{2}y=-4\end{cases}Ricaviamo il valore dell’incognita {x} dalla prima equazione:
\begin{cases} -\dfrac{11}{16}x=\dfrac{11}{2} \quad \rightarrow \quad x=\dfrac{11}{2} \cdot \left( -\dfrac{16}{11}\right) \quad \rightarrow \quad x=-8 \\ \\ \dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{2}y=-4\end{cases}Ora non resta che sostituire il valore appena trovato per l’incognita {x} nella seconda equazione:
\begin{cases} x=-8 \\ \\ \dfrac{3}{4} \cdot (-8)+\dfrac{9}{2}y=-4 \quad \rightarrow \quad \dfrac{9}{2}y=2\quad \rightarrow \quad y=\dfrac{4}{9}\end{cases}Così il sistema è in conclusione determinato ed ammette come soluzione la coppia:
\left(-8, \: \dfrac{4}{9} \right)Esercizio 4
Proseguiamo ora gli esercizi sul metodo di riduzione per i sistemi lineari con il seguente:
\begin{cases} x-y=2(x+y)+5 \\ \\ x-2y-5=0\end{cases}Data la presenza del termine {x} in entrambe le equazioni potremmo pensare di applicare direttamente il metodo di riduzione, sottraendo la seconda equazione alla prima. Tuttavia, procedendo in questo modo commetteremmo un errore. Infatti, il sistema non è in forma normale.
Riduciamo allora anzitutto il sistema alla forma normale:
\begin{cases} x-y-2x-2y=5 \\ \\ x-2y-5=0\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} -x-3y=5 \\ \\ x-2y=5\end{cases}Ora il sistema è in forma normale. Applichiamo il metodo di riduzione sommando le due equazioni a sistema tra loro. In questo modo infatti ci libereremo dell’incognita {x}.
-x-3y+(x-2y)=5+5 \quad \rightarrow \quad -5y=10
Sostituiamo la nuova equazione così ottenuta ad esempio alla prima equazione a sistema:
\begin{cases} -5y=10 \quad \rightarrow \quad y=-2 \\ \\ x-2y=5\end{cases}Ora non resta che sostituire il valore appena trovato per l’incognita {y} nella seconda equazione, in modo da ricavare il valore dell’incognita {x}:
\begin{cases} y=-2 \\ \\ x-2 \cdot (-2) = 5 \quad \rightarrow \quad x=1\end{cases}In conclusione il sistema è determinato ed ammette come soluzione la coppia:
(1, \: -2)
Esercizio 5
Vediamo un ultimo svolgimento relativo agli esercizi sul metodo di riduzione per i sistemi lineari di due equazioni in due incognite. Negli esempi successivi passeremo al caso dei sistemi di tre equazioni in tre incognite.
\begin{cases} 20x-3y=-45 \\ \\ 15x+8y=120\end{cases}Il sistema dato è già in forma normale. In questo caso particolare ci ritroviamo con i coefficienti dei termini nelle incognite {x} e nelle incognite {y} tutti diversi tra loro. Non appare nemmeno intuitivo identificare due numeri che moltiplicati rispettivamente alla prima e alla seconda equazione consentano di avere dei termini nell’incognita {x} oppure nell’incognita {y} tra loro uguali o comunque opposti.
Tuttavia, possiamo osservare che i coefficienti dell’incognita {x}, ossia {20} e {15}, sono entrambi multipli di {5}. Ha così senso moltiplicare entrambi i membri della prima equazione per la frazione {\dfrac{3}{5}} ed entrambi i membri della seconda equazione per la frazione {\dfrac{4}{5}}. In tal modo ci ritroveremo al posto di entrambi i termini {20x} e {15x} lo stesso termine {12x}. A tal punto sarà possibile applicare il metodo di riduzione. Abbiamo:
\begin{cases}\dfrac{3}{5} \cdot \left( 20x-3y \right)=\dfrac{3}{5} \cdot (-45) \\ \\ \dfrac{4}{5} \cdot \left(15x+8y\right)=\dfrac{4}{5} \cdot 120\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 12x-\dfrac{9}{5}y=-27 \\ \\ 12x+\dfrac{32}{5}y=96\end{cases}Ora scriviamo una nuova equazione sottraendo la seconda equazione a sistema alla prima:
\begin{align*} & 12x-\dfrac{9}{5}y-\left( 12x+\dfrac{32}{5}y\right)=-27-96; \\ \\ & \cancel{12x}-\dfrac{9}{5}y-\cancel{12x}-\dfrac{32}{5}y=-123; \\ \\ &\boxed{-\dfrac{41}{5}y =-123}\end{align*}Sostituiamo la nuova equazione così ottenuta ad esempio alla prima equazione a sistema. A questo punto possiamo ricavare il valore dell’incognita {y}:
\begin{cases} -\dfrac{41}{5}y =-123 \quad \rightarrow \quad y=-123 \cdot \left( -\dfrac{5}{41}\right)=15\\ \\ 12x+\dfrac{32}{5}y=96 \end{cases}Ora non resta che sostituire il valore appena ottenuto per l’incognita {y} nella seconda equazione, in modo da ricavare il valore della rimanente incognita {x}:
\begin{cases} y=15 \\ \\ 12x+\dfrac{32}{5} \cdot 15=96 \quad \rightarrow \quad x=\dfrac{96-96}{12}=0\end{cases}Così in conclusione il sistema è determinato ed ammette come soluzione la coppia di valori:
(0, \: 15)
Seconda parte: esercizi sul metodo di riduzione con sistemi di tre equazioni in tre incognite
Passiamo ora ad esercizi sul metodo di riduzione relativi a sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite (brevemente, sistemi lineari “tre per tre”).
Ricordiamo che il trucco per risolvere i sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite (con i metodi di sostituzione, riduzione e confronto) è quello di ricondursi temporaneamente ad un sistema di due equazioni in due incognite, mettendo da parte una delle tre equazioni. In questo modo è possibile ricavare il valore di due incognite. Dopo di che, riprendendo l’equazione messa da parte è possibile ricavare il valore della rimanente incognita.
Applicando il metodo di riduzione, l’idea è ancora quella di ottenere una nuova equazione a partire da due equazioni del sistema a nostra scelta. Ma a tal punto, attenzione. La nuova equazione potrà sostituire unicamente una delle due equazioni utilizzate per costruirla.
Fatti i dovuti richiami teorici, vediamo subito come svolgere gli esercizi sui sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite utilizzando il metodo di riduzione.
Esercizio 6
Risolviamo il seguente sistema lineare di tre equazioni in tre incognite utilizzando il metodo di riduzione:
\begin{cases} 3x+4y-z=5 \\ \\ 2x-3y+2z=6 \\ \\ x+y-z=1 \end{cases}Osserviamo anzitutto che il sistema dato è in forma normale. Nelle equazioni infatti non vi sono termini tra loro simili, ai secondi membri abbiamo i soli termini noti e le lettere delle incognite si presentano in ordine alfabetico.
Dato che nella prima equazione e nella terza equazione abbiamo lo stesso termine {-z}, scriviamo una nuova equazione sottraendo alla prima equazione la terza equazione:
\begin{align*} & 3x+4y-z-(x+y-z)=5-1\\ \\ & 3x+4y-\cancel{z}-x-y+\cancel{z}=4 \\ \\ & \boxed{2x+3y=4}\end{align*}Per quanto detto nei richiami teorici, possiamo sostituire la nuova equazione ottenuta soltanto alla prima o alla terza equazione. Infatti sono queste le due equazioni utilizzate per costruire la nuova equazione stessa.
Dato che la terza equazione appare di forma più semplice rispetto alla prima, scegliamo di mettere a sistema la nuova equazione al posto della prima equazione:
\begin{cases} 2x+3y=4 \\ \\ 2x-3y+2z=6 \\ \\ x+y-z=1 \end{cases}Ora abbiamo nel sistema un’equazione nelle due sole incognite {x} e {y}. Poiché desideriamo ricondurci temporaneamente ad un sistema di due equazioni in due incognite, dobbiamo costruire una nuova equazione che abbia come incognite ancora {x} e {y}. Il nostro obiettivo è dunque scrivere una nuova equazione priva dell’incognita {z}.
Cominciamo moltiplicando la terza equazione per {2}:
\begin{cases} 2x+3y=4 \\ \\ 2x-3y+2z=6 \\ \\ 2x+2y-2z=2 \end{cases}Adesso la seconda e la terza equazione hanno i termini nell’incognita {z} tra loro opposti. Per eliminare la {z} basterà quindi sommare tra loro membro a membro la seconda e la terza equazione:
\begin{align*} & 2x-3y+2z+(2x+2y-2z)=6+2; \\ \\& 2x-3y+\cancel{2z}+2x+2y-\cancel{2z}=8; \\ \\ & \boxed{4x-y=8} \end{align*}Sostituiamo a questo punto la nuova equazione ottenuta ad esempio alla seconda equazione del sistema:
\begin{cases} 2x+3y=4 \\ \\4x-y=8\\ \\ 2x+2y-2z=2 \end{cases}Le prime due equazioni sono ora nelle sole due incognite {x} e {y}. Possiamo quindi escludere per il momento la terza equazione (che invece presenta tutte e tre le incognite), in modo da poter ricondurci ad un sistema di due equazioni in due incognite:
\begin{cases} 2x+3y=4 \\ \\4x-y=8\\ \\ \dots \end{cases}Applichiamo il metodo di riduzione. Moltiplichiamo anzitutto la prima equazione per {2}:
\begin{cases} 4x+6y=8 \\ \\4x-y=8\\ \\ \dots \end{cases}Ora scriviamo una nuova equazione sottraendo la seconda equazione alla prima. In questo modo ci liberiamo dell’incognita {x}:
\begin{align*} &4x+6y-(4x-y)=8-8; \\ \\ & \cancel{4x}+6y-\cancel{4x}+y=0; \\ \\ &\boxed{7y=0} \end{align*}Sostituiamo la nuova equazione ad esempio alla prima equazione del sistema:
\begin{cases} 7y=0 \\ \\4x-y=8\\ \\ \dots \end{cases}Ricaviamo la {y} dalla prima equazione, e sostituiamo il valore ottenuta nella seconda equazione:
\begin{cases} 7y=0 \quad \rightarrow \quad y=0\\ \\4x-y=8 \quad \rightarrow \quad 4x-0=8 \quad \rightarrow \quad x=2\\ \\ \dots \end{cases}Abbiamo così ricavato i valori delle incognite {x} e {y}. Ora non resta che recuperare l’equazione che avevamo messo da parte in modo da ricavare il valore della rimanente incognita {z}:
\scriptsize \begin{cases} y=0 \\ \\ x=2 \\ \\ 2x+2y-2z=2 \quad \rightarrow \quad x+y-z=1\quad \rightarrow \quad z=x+y-1=1\end{cases}In conclusione il sistema è determinato ed ammette come soluzione la terna ordinata {(x, \: y, \: z)} di valori:
(2, \: 0, \: 1)
A seguire proponiamo degli esercizi che avevamo già svolto utilizzando il metodo di sostituzione. In questo modo sarà possibile confrontare tra loro gli svolgimenti relativi ai due metodi.
Esercizio 7
Proseguiamo gli esercizi sul metodo di riduzione per i sistemi di tre equazioni in tre incognite con il seguente:
\begin{cases} 2x+y+2z=1 \\ \\ x-3y-2z=0 \\ \\ 2y-z=\dfrac{5-2x}{2}\end{cases}Anzitutto riconduciamo il sistema alla forma normale, lavorando sulla terza equazione:
\begin{cases} 2x+y+2z=1 \\ \\ x-3y-2z=0 \\ \\ 2x+ 4y-2z=5\end{cases}A questo punto nella prima e nella terza equazione abbiamo lo stesso termine {2x}. Procediamo quindi scrivendo una nuova equazione che si ottiene sottraendo la terza equazione alla prima:
\begin{align*} & 2x+y+2z-(2x+4y-2z)=1-5; \\ \\ & \cancel{2x}+y+2z-\cancel{2x}-4y+2z=1-5; \\ \\ &\boxed{-3y+4z=-4} \end{align*}Sostituiamo la nuova equazione appena scritta ad esempio alla prima equazione a sistema. Ricordiamo, poiché abbiamo ottenuto la nuova equazione lavorando con la prima e la terza equazione, la nuova equazione stessa può sostituire nel sistema soltanto una di tali due equazioni. Abbiamo:
\begin{cases}-3y+4z=-4 \\ \\ x-3y-2z=0 \\ \\ 2x+ 4y-2z=5\end{cases}Prima di tutto, osserviamo che la prima equazione è nelle sole due incognite {y} e {z}. Abbiamo quindi bisogno di una nuova equazione anch’essa nelle sole due incognite {y} e {z}. Quindi attenzione. La presenza ad esempio degli stessi termini {-2z} e {-2z} nella seconda e nella terza equazione non ci è di nessun aiuto.
Cominciamo piuttosto moltiplicando entrambi i membri della seconda equazione per {2}:
\begin{cases}-3y+4z=-4 \\ \\ 2x-6y-4z=0 \\ \\ 2x+ 4y-2z=5\end{cases}Adesso lavoriamo con la seconda e la terza equazione. In particolare, scriviamo una nuova equazione sottraendo la terza equazione alla seconda:
\begin{align*} &2x-6y-4z-(2x+4y-2z)=0-5; \\ \\ &\cancel{2x}-6y-4z-\cancel{2x}-4y+2z=-5; \\ \\& \boxed{-10y-2z=-5}\end{align*}Ora, sostituiamo la nuova equazione appena costruita ad esempio alla seconda equazione a sistema:
\begin{cases}-3y+4z=-4 \\ \\ -10y-2z=-5 \\ \\ 2x+ 4y-2z=5\end{cases}Ora le prime due equazioni sono entrambe nelle due sole incognite {y} e {z}. Di conseguenza, se escludiamo per il momento la terza equazione possiamo ricondurci ad un sistema di due equazioni in due incognite. Ed in tal modo è possibile determinare i valori delle incognite {y} e {z}.
Mettiamo anzitutto da parte la terza equazione:
\begin{cases}-3y+4z=-4 \\ \\ -10y-2z=-5 \\ \\ \dots \end{cases}Applichiamo ancora il metodo di riduzione. Moltiplichiamo la seconda equazione per {2}:
\begin{cases}-3y+4z=-4 \\ \\ -20y-4z=-10 \\ \\ \dots \end{cases}A questo punto scriviamo una nuova equazione che si ottiene sommando le prime due equazioni membro a membro:
\begin{align*} &-3y+4z+(-20y-4z)=-4+(-10); \\ \\ & -3y+\cancel{4z}-20y-\cancel{4z}=-4-10; \\ \\ &-23y=-14; \\ \\ &\boxed{23y=14}\end{align*}Sostituiamo l’equazione appena ottenuta ad esempio alla seconda equazione a sistema:
\begin{cases}-3y+4z=-4 \\ \\23y=14 \quad \rightarrow \quad y=\dfrac{14}{23} \\ \\ \dots \end{cases}Abbiamo così ricavato il valore dell’incognita {y}. E’ ora possibile ricavare il valore dell’incognita {z}, sostituendo il risultato ottenuto nella prima equazione:
\small \begin{cases} -3y+4z=-4 \quad \rightarrow \quad -3 \cdot \dfrac{14}{23}+4z=-4 \quad \rightarrow \quad z=\dfrac{-4+\dfrac{42}{23}}{4}=-\dfrac{25}{46}\ \\ \\ y=\dfrac{14}{23} \\ \\ \dots \end{cases}Ricavate le incognite {y} e {z}, per ricavare la rimanente incognita {x} non resta come ormai sappiamo riprendere l’equazione che avevamo messo da parte:
\small \begin{cases}z=-\dfrac{25}{46}\\ \\ y=\dfrac{14}{23} \\ \\ 2x+ 4y-2z=5 \quad \rightarrow \quad x=\dfrac{5-4y+2z}{2}=\dfrac{5-4 \cdot \dfrac{14}{23}+2 \cdot\left( -\dfrac{25}{46}\right)}{2}=\dfrac{17}{23}\end{cases}Siamo così finalmente arrivati alla soluzione del sistema, data dalla coppia ordinata {(x, \: y, \: z)}:
\left( \dfrac{17}{23}, \: \dfrac{14}{23}, \: -\dfrac{25}{46}\right)Esercizio 8
Proseguiamo gli esercizi sul metodo di riduzione per i sistemi lineari “tre per tre” con il seguente:
\begin{cases} 3x+y-6z=16 \\ \\ x-2y-z=9 \\ \\ 2x+3y-2z=4\end{cases}Dato che ormai abbiamo preso familiarità con il metodo per riduzione, da questo esercizio in poi svolgeremo i passaggi in modo più rapido.
Cominciamo ad esempio moltiplicando per {2} la prima equazione, sommando poi membro a membro la prima e la seconda equazione. In tal modo otteniamo una nuova equazione priva dell’incognita {y} (i termini {2y} e {-2y} si cancellano tra loro. Sostituiamo la nuova equazione che così si ottiene ad esempio alla prima equazione. Abbiamo:
\begin{cases} 6x+2y-12z=32 \\ \\ x-2y-z=9 \\ \\ 2x+3y-2z=4\end{cases} \quad \Rightarrow \quad\begin{cases} 6x+2y-12z+(x-2y-z)=32+9 \\ \\ x-2y-z=9 \\ \\ 2x+3y-2z=4\end{cases}e quindi:
\begin{cases} 7x-13z=41 \\ \\ x-2y-z=9 \\ \\ 2x+3y-2z=4\end{cases}Ora abbiamo nel sistema una prima equazione nelle sole incognite {x} e {z}. Ciò di cui abbiamo ora bisogno è di un’altra equazione nel sistema anch’essa nelle sole incognite {x} e {z}. In tal modo sarà possibile ricondursi temporaneamente ad un sistema lineare di due equazioni in due incognite.
Il nostro obiettivo è dunque sommare algebricamente due equazioni tra loro membro a membro in modo da fare cancellare i termini contenenti l’incognita {y}. Per fare questo, moltiplichiamo la seconda equazione per {3} e la terza equazione per {2}:
\begin{cases} 7x-13z=41 \\ \\ 3 \cdot (x-2y-z)=3 \cdot 9 \\ \\ 2\cdot (2x+3y-2z)=2\cdot 4\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 7x-13z=41 \\ \\ 3x-6y-3z=27 \\ \\4x+6y-4z=8 \end{cases}Ora la seconda e la terza equazione contengono dei termini in {y} tra loro opposti. E’ dunque possibile ottenere una nuova equazione nelle sole incognite {x} e {z} sommando membro a membro la seconda e la terza equazione. Scrivendo separatamente la nuova equazione, abbiamo:
\begin{align*} &3x-6y-3z+(4x+6y-4z)=27+8;\\ \\ & 3x-\cancel{6y}-3z+4x+\cancel{6y}-4z=35; \\ \\ &7x-7z=35; \\ \\ & \boxed{x-z=5} \end{align*}Mettiamo nel sistema la nuova equazione appena ottenuta ad esempio al posto della seconda equazione:
\begin{cases} 7x-13z=41 \\ \\ x-z=5 \\ \\4x+6y-4z=8 \end{cases}Ora le prime due equazioni del sistema sono nelle due sole incognite {x} e {z}, e possiamo quindi escludere per il momento la terza equazione ritrovandoci con un sistema di due equazioni in due incognite.
\begin{cases} 7x-13z=41 \\ \\ x-z=5 \\ \\\dots \end{cases}Appare qui comodo utilizzare il metodo di sostituzione. Ricaviamo la {x} dalla seconda equazione:
\begin{cases} 7x-13z=41 \\ \\ x-z=5 \\ \\\dots \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 7x-13z=41 \\ \\ x=5+z \\ \\ \dots \end{cases}Ora sostituiamo l’espressione ottenuta per {x} nella prima equazione, in modo da ricavare il valore dell’incognita {z}:
\small \begin{cases} 7(5+z)-13z=41 \quad \rightarrow \quad 35+7z-13z=41 \quad \rightarrow \quad z=-1 \\ \\ x=5+z \\ \\ \dots \end{cases}Ed ora possiamo ricavare il valore dell’incognita {x}:
\begin{cases} z=-1 \\ \\ x=5+(-1)=4 \\ \\ \dots\end{cases}Concludiamo l’esercizio ricavando il valore della rimanente incognita {y}, riprendendo la terza equazione:
\small \begin{cases} z=-1 \\ \\ x=4 \\ \\ 4 x+6y-4z=8 \quad \rightarrow \quad 6y=8-4x+4z \quad \rightarrow \:y=\dfrac{8-4 \cdot 4 +4 \cdot (-1)}{6}=-2\end{cases}In conclusione il sistema è determinato ed ammette come soluzione la terna:
(4, \: -2, \: -1)
Esercizio 9
Concludiamo gli esercizi sul metodo di riduzione con sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite con il seguente:
\begin{cases} 4x+y-z+1=0 \\ \\ 2x-4y+2z=9 \\ \\ 2x+3y-2z=-6\end{cases}Vediamo velocemente lo svolgimento. Prima di tutto riscriviamo il sistema in forma normale:
\begin{cases} 4x+y-z=-1\\ \\ 2x-4y+2z=9 \\ \\ 2x+3y-2z=-6\end{cases}Cominciamo sottraendo la terza equazione alla seconda (membro a membro). Sostituiamo la nuova equazione che così si ottiene ad esempio alla seconda equazione:
\begin{cases} 4x+y-z=-1 \\ \\ -7y+4z=15\\ \\ 2x+3y-2z=-6\end{cases}Avendo ottenuto un’equazione nelle sole incognite {y} e {z}, per proseguire l’esercizio dobbiamo scrivere una nuova equazione che non contenga l’incognita {x}. Moltiplichiamo intanto la terza equazione per {2}:
\begin{cases} 4x+y-z=-1\\ \\ -7y+4z=15\\ \\ 4x+6y-4z=-12\end{cases}A questo punto possiamo sottrarre la terza equazione alla prima, sostituendo la nuova equazione che così si ottiene ad esempio alla terza equazione. Abbiamo:
\begin{cases} 4x+y-z=-1 \\ \\ -7y+4z=15\\ \\ -5y+3z=11\end{cases}Ora, escludiamo momentaneamente la prima equazione e risolviamo il sistema di due equazioni in due incognite al quale così ci riconduciamo:
\begin{align*} & \small \begin{cases} \dots \\ \\ -7y+4z=15\\ \\ -5y+3z=11\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \dots \\ \\ -35y+20z=75 \\ \\ -35y+21z=77 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \dots \\ \\ -35y+20z=75 \\ \\ -z=-2 \quad \rightarrow \quad z=2\end{cases} \\ \\ & \Rightarrow\begin{cases}\dots \\ \\ -35y=75-40 \quad \rightarrow \quad y=-1 \\ \\ z=2 \end{cases} \end{align*}Per concludere riprendiamo la prima equazione in modo da ricavare il valore della rimanente incognita {x}:
\begin{cases} 4x+y-z=-1 \quad \rightarrow \quad x=\dfrac{-1-y+z}{4}=\dfrac{-1+1+2}{4}=\dfrac{1}{2}\\ \\ y=-1 \\ \\ z=2\end{cases}Quindi il sistema è determinato ed ammette per soluzione la terna:
\left( \dfrac{1}{2}, \: -1, \: 2\right)Conclusioni
Per quanto riguarda questa serie di esercizi sul metodo di riduzione per i sistemi lineari è tutto. Prima di salutarci, vogliamo come ultima cosa osservare che è molto utile una volta compreso il metodo cercare di ridurre i passaggi il più possibile. Questo è del resto quanto abbiamo voluto evidenziare con l’ultimo esercizio proposto. In questo modo riesce ancora più evidente la versatilità del metodo di riduzione.
In particolare, l’idea è quella di evitare di scrivere separatamente ciascuna nuova equazione che si ottiene come somma algebrica membro a membro di due equazioni del sistema. Piuttosto, guardando il passaggio precedente è possibile scrivere direttamente la nuova equazione all’interno del sistema sommando mentalmente i termini tra loro. Ad esempio, dato il seguente sistema:
\begin{cases} x+y-2z=8 \\ \\ 3x-y+6z=-4 \\ \\ 6x-2y-12z=64\end{cases}cominciamo dividendo per {2} tutti i termini della terza equazione:
\begin{cases} x+y-2z=8 \\ \\ 3x-y+6z=-4 \\ \\ 3x-y-6z=32\end{cases}Quindi sottraiamo membro a membro la terza equazione alla seconda, scrivendo direttamente la nuova equazione che così si ottiene ad esempio al posto della seconda equazione:
\begin{cases} x+y-2z=8 \\ \\ 12z=-36 \quad \rightarrow \quad z=-3\\ \\ 3x-y-6z=32\end{cases}In questo particolare caso è poi conveniente procedere direttamente per sostituzione:
\begin{cases} x+y+6=8 \\ \\ z= -3 \\ \\ 3x-y+18=32\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x+y=2 \\ \\ z=-3 \\ \\ 3x-y=14\end{cases}Escludiamo la seconda equazione e ricaviamo per sostituzione i valori delle incognite {x} e {y}:
\begin{cases} x+y=2 \\ \\ \dots \\ \\ 3x-y=14\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x=2-y \\ \\ \dots \\ \\ 3(2-y)-y=14 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x=2-y\\ \\ \dots \\ \\ -4y=8 \quad \rightarrow \quad y=-2\end{cases}e quindi:
\begin{cases} x=2+2=4\\ \\ \dots \\ \\ y=-2 \end{cases}Infine riprendiamo la seconda equazione ricavando il valore dell’ultima incognita (che in questo caso è già esplicitata):
\begin{cases} x=4 \\ \\ z=-3 \\ \\ y=-2 \end{cases}Così il sistema è determinato ed ammette come soluzione la terna:
(4, \: -2, \: -3)
L’esercizio appena svolto mostra l’utilità di ridurre i passaggi il più possibile ed inoltre evidenzia l’efficacia che spesso può avere l’uso combinato del metodo di riduzione e del metodo di sostituzione.
Un saluto a tutti e buono studio con SìMatematica! 🙂
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