Metodo di riduzione (sistemi lineari)

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Presentiamo ora una lezione interamente dedicata al metodo di riduzione per i sistemi lineari. L’obiettivo del metodo, come dice il nome, è quello di ridurre il numero delle incognite in gioco sostituendo di volta in volta una delle equazioni presenti nel sistema da risolvere con una nuova equazione che contiene un numero minore di incognite. E la nuova equazione si ottiene sommando o sottraendo tra loro due tra le equazioni presenti nel sistema. Ove necessario occorrerà anche sfruttare il secondo principio di equivalenza, in modo da effettivamente riuscire nel sommare o sottrarre due equazioni tra loro ad eliminare una delle incognite.

Il metodo di sostituzione risulta particolarmente pratico nel risolvere sistemi lineari anche con più di due equazioni. Così in presenza ad esempio di sistemi con tre equazioni in tre incognite il metodo di sostituzione è probabilmente quello da preferire.

Nel caso di un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite, come abbiamo visto per il metodo di sostituzione nella precedente lezione, anche il metodo di riduzione richiede l’accortezza di mettere da parte ad un certo punto una delle tre equazioni presenti, e di riprenderla soltanto quando è il momento di ricavare l’ultima incognita. E’ importante tenere ben presente questo in modo da evitare di cadere in un vicolo cieco nel risolvere il sistema.

Fatte le dovute premesse, vediamo subito nel dettaglio il metodo di sostituzione per i sistemi lineari in questa lezione espressamente dedicata ad esso.

Metodo di riduzione per sistemi lineari di due equazioni in due incognite (sistemi “due per due”)

Per esporre il metodo di riduzione per i sistemi lineari, partiamo subito da un esempio pratico. Risolviamo insieme il seguente sistema:

\begin{cases}3x-y=8 \\ \\ 4x+2y=4  \end{cases}

Per poter applicare convenientemente il metodo di riduzione, la prima cosa della quale dobbiamo occuparci è fare in modo di avere in entrambe le equazioni dei termini nella stessa incognita che siano uguali almeno in valore assoluto.

Nel nostro caso non abbiamo questa condizione per il momento, in quanto i termini {3x} e {4x} rispettivamente presenti nella prima e nella seconda equazione sono tra loro differenti (anche in modulo), allo stesso modo in cui sono differenti tra loro i termini {-y} e {2y} (anche in modulo).

Tuttavia, proviamo a moltiplicare per {2} tutti i termini della prima equazione. Ciò è lecito in quanto si basa sul secondo principio di equivalenza. Abbiamo:

\begin{cases}2 \cdot (3x-y)=2 \cdot 8  \quad \rightarrow \quad 6x-2y=16\\ \\ 4x+2y=4  \end{cases}

Così il sistema diviene:

\begin{cases}  6x-2y=16 \\ \\ 4x+2y=4 \end{cases}

Come possiamo vedere ora abbiamo nelle due equazioni rispettivamente i termini {-2y} e {2y} che contengono la stessa incognita e sono uguali in modulo. In altre parole, i due termini sono tra loro uguali a meno del segno.

Così, proviamo a scrivere un’equazione data dalla somma membro a membro tra la prima equazione a sistema e la seconda:

\underbrace{6x-2y+\overbrace{(4x+2y)}^Q}_{\text{somma primi membri}}=\underbrace{16+\overbrace{4}^{Q}}_{\text{somma secondi membri}}

Come possiamo vedere abbiamo scritto un’equazione data dall’uguaglianza tra la somma del primo membro della prima equazione e il primo membro della seconda equazione, e la somma del secondo membro della prima equazione e del secondo membro della seconda equazione.

La nuova equazione ottenuta è equivalente ad entrambe le equazioni del sistema, come conseguenza del primo principio di equivalenza. Infatti, per la seconda equazione del sistema, possiamo pensare di aver sommato a ciascun membro della prima equazione la stessa quantità {Q}.

Ora, l’idea è quella di sostituire la nuova equazione scritta ad una delle due equazioni presenti nel sistema di partenza, ad esempio la prima. Così il sistema diventa:

\begin{cases}  6x-2y+4x+2y=16+4 \\ \\ 4x+2y=4 \end{cases}

Sommiamo tutti i termini simili:

\begin{cases}  6x-\cancel{2y}+4x+\cancel{2y}=16+4 \\ \\ 4x+2y=4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 10x=20 \\ \\ 4x+2y=4\end{cases}

Ora la prima equazione presenta una sola incognita. Siamo infatti riusciti ad eliminare l’incognita {y} nella prima equazione. Ed è quindi possibile ricavare dalla prima equazione l’incognita {x}:

\begin{cases}x=\dfrac{20}{10}=2 \\ \\ 4x+2y=4  \end{cases}

Ma a questo punto siamo arrivati. Infatti ora sostituendo il valore di {x} appena ottenuto nella seconda equazione del sistema possiamo ricavare il valore della incognita {y}:

\small \begin{cases}x=2 \\ \\ 4x+2y=4 \quad \rightarrow \quad y=\dfrac{4-4x}{2} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x= 2 \\ \\ y=\dfrac{4-4 \cdot 2}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\end{cases}

Così in conclusione otteniamo per le incognite i valori:

\begin{cases} x=2 \\ \\ y = -2\end{cases}

ed il sistema ha come soluzione la coppia:

(2, \: -2)

Abbiamo così risolto il sistema.

Nel metodo di riduzione l’idea è quella di sostituire ad una delle equazioni del sistema una nuova equazione ad essa equivalente nella quale risulti ridotto il numero delle incognite. E la nuova equazione si ottiene sommando o sottraendo membro a membro due equazioni del sistema.

Vediamo ora come poter utilizzare il metodo di riduzione nel caso dei sistemi lineari con tre equazioni in tre incognite.

Metodo di riduzione nel caso dei sistemi con tre equazioni in tre incognite

Risolviamo insieme con il metodo di riduzione il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite:

\begin{cases} 2x+y-2z=0 \\ \\ x-2y-z=1 \\ \\ x - y +3z = 2\end{cases}

Nel sistema abbiamo tre equazioni e figurano in tutto le tre incognite {x, \: y, \: z}.

Per risolvere un sistema di tre equazioni in tre incognite con il metodo di riduzione, l’idea in generale è quella di applicare il metodo di riduzione due volte, in modo da sostituire due equazioni del sistema di partenza con due nuove equazioni con due sole incognite.

Fatto questo, escludendo temporaneamente l’equazione in tre incognite, potremo risolvere il sistema dato dalle sole due equazioni rimanenti, quindi un sistema di due equazioni in due incognite. A quel punto, ricavate due incognite, per ricavare la rimanente incognita basterà riprendere l’equazione che avevamo messo da parte, e sostituire in essa i valori delle due incognite note, così da ricavare il valore dell’ultima incognita.

Ma vediamo subito il metodo nella pratica. Cominciamo applicando il metodo di riduzione alla seconda e terza equazione. Costruiamo una nuova equazione ottenuta sottraendo membro a membro la terza equazione alla seconda. Ciò ha senso poiché in entrambe le equazioni compare lo stesso termine {x}, e sottraendo le due equazioni membro a membro l’incognita {x} scomparirà. Poi, sostituiamo l’equazione così ottenuta ad esempio alla seconda equazione.

Importante. La nuova equazione che si ottiene per riduzione in un sistema di tre equazioni e tre incognite, può andare a sostituire soltanto una delle due equazioni che è stata utilizzata per ottenerla. Così ad esempio se otteniamo una nuova equazione sommando o sottraendo tra loro la seconda e la terza equazione di un sistema, la nuova equazione potrà sostituire solo una delle due equazioni utilizzate, e non la prima. Questo accorgimento è fondamentale onde evitare di bloccarsi durante la risoluzione del sistema.

Abbiamo quindi:

\begin{cases} 2x+y-2z=0 \\ \\ x-2y-z=1 \\ \\ x - y +3z = 2 \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 2x+y-2z=0 \\ \\ x-2y-z-(x-y+3z)=1-2 \\ \\ x-y+3z=2\end{cases}

Come possiamo vedere confrontando il sistema a sinistra e a destra abbiamo sostituito la seconda equazione con la differenza membro a membro tra la seconda equazione e la terza.

Sommando i termini simili nella seconda equazione otteniamo:

\begin{cases} 2x+y-2z=0 \\ \\ -y-4z=-1\\ \\ x-y+3z=2\end{cases}

E’ fondamentale a questo punto osservare che abbiamo un’equazione nelle sole incognite y e z (la seconda equazione). Per poter ricondurci ad un sistema di due equazioni in due incognite, abbiamo bisogno di sostituire alla prima o alla terza equazione una nuova equazione equivalente ma contenente anch’essa le sole due incognite y e z.

Per fare questo moltiplichiamo anzitutto tutti i termini della terza equazione per 2:

\begin{cases} 2x+y-2z=0 \\ \\ -y-4z=-1\\ \\ 2x-2y+6z=4\end{cases}

Ora sottraiamo membro a membro la terza equazione alla prima, e quindi sostituiamo la nuova equazione ottenuta ad esempio alla prima equazione (in alternativa potremmo sostituirla anche alla terza, ma non alla seconda, attenzione). Così abbiamo:

\begin{cases} 2x+y-2z-(2x-2y+6z)=0-4 \quad \rightarrow \quad 3y-8z=-4\\ \\ -y-4z=-1\\ \\ 2x-2y+6z=4\end{cases}

Abbiamo così il sistema:

\begin{cases}  3y-8z=-4\\ \\ -y-4z=-1\\ \\ 2x-2y+6z=4\end{cases}

Ora attenzione. Le prime due equazioni contengono entrambe le sole incognite y e z. Quindi possiamo mettere da parte la terza equazione, in modo da ricondurci ad un sistema di sole due equazioni in due incognite:

\begin{cases}  3y-8z=-4\\ \\ -y-4z=-1\\ \\ \dots \end{cases}

Facciamo quindi finta di avere un sistema di due equazioni in due incognite, e per risolverlo utilizziamo ad esempio di nuovo il metodo di riduzione. Moltiplichiamo per 3 la seconda equazione, e scriviamo una nuova equazione sommando la prima equazione alla seconda. Sostituiamo la nuova equazione ad esempio alla prima equazione. Abbiamo:

\begin{cases}  3y-8z=-4\\ \\ -3y-12z=-3\\ \\ \dots \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 3y-8z+(-3y-12z)=-4+(-3) \\ \\ -3y-12z=-3 \\ \\ \dots\end{cases}

Sommando i termini simili nella prima equazione abbiamo:

\begin{cases} -20z=-7 \quad \rightarrow \quad z=\dfrac{7}{20} \\ \\ -3y-12z=-3 \\ \\ \dots  \end{cases} 

Sostituendo il valore di {z} nella seconda equazione:

\begin{cases} z=\dfrac{7}{20} \\ \\ -3y-12 \cdot \dfrac{7}{20}=-3 \quad \rightarrow \quad -3y=-3+\dfrac{21}{5} \quad \rightarrow \quad y=-\dfrac{2}{5} \\ \\ \dots  \end{cases}

Abbiamo così ricavato i valori delle incognite {z} e {y}. Ora non resta che recuperare la terza equazione e sostituire in essa i valori delle incognite {z} e {y} ormai noti. In tal modo riusciremo a ricavare il valore dell’ultima incognita rimasta, ovvero la {x}. Abbiamo:

\small \begin{cases} z= \dfrac{7}{20} \\ \\ y=-\dfrac{2}{5} \\ \\ 2x-2y+6z=4 \quad \rightarrow \quad 2 x=4+2y-6z \quad \rightarrow \quad x=\dfrac{4+2 \cdot \left( -\dfrac{2}{5}\right)-6 \cdot \dfrac{7}{20}}{2} \end{cases}

Da cui proseguendo i passaggi relativamente alla terza equazione:

x=\dfrac{4 -\dfrac{4}{5}-\dfrac{21}{10}}{2}=\dfrac{\dfrac{40-8-21}{10}}{2}=\dfrac{11}{10} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{11}{20}

Così in conclusione otteniamo per le incognite i seguenti valori:

\small \begin{cases} z= \dfrac{7}{20} \\ \\ y=-\dfrac{2}{5} \\ \\ x = \dfrac{11}{20} \end{cases}

e il sistema ammette come soluzione la terna:

\left( \dfrac{11}{20}; \: -\dfrac{2}{5}; \: \dfrac{7}{20}\right)

Conclusioni

Per quanto riguarda il metodo di riduzione per i sistemi lineari è tutto. Come evidenziato dagli esempi presentati il metodo risulta piuttosto agevole sia nel caso di sistemi di due equazioni in due incognite, sia nel caso di tre equazioni in tre incognite. Si tratta a nostro parere del miglior metodo in generale per poter risolvere i sistemi lineari. Tuttavia, ciascun metodo presenta i suoi svantaggi e vantaggi e chiaramente la scelta del metodo da utilizzare dipende anche dalla particolare forma del sistema che dobbiamo risolvere.

Per chi vuole ulteriormente approfondire l’utilizzo del metodo relativamente a sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite consigliamo la lettura della risposta correlata.

Auguriamo a tutti voi buono studio e come sempre buon proseguimento con SìMatematica! 🙂


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