Come risolvere un sistema lineare per riduzione

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Come si risolve un sistema lineare per riduzione? Potreste farmi un esempio su come risolvere un sistema per riduzione nel caso di un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite? Ci sono dei trucchi per poter risolvere un sistema in modo efficiente con il metodo di riduzione?

Vediamo come risolvere un sistema lineare per riduzione considerando il seguente esempio:

\begin{cases} x+z+y= 6 \\ \\ x-z-1=0 \\ \\ 2x+5y-3z=5\end{cases}

Cercheremo in questo svolgimento di evidenziare le scelte più adeguate per poter risolvere l’esercizio svolgendo il minor numero di calcoli. Allo stesso tempo, spiegheremo come risolvere un sistema lineare con il metodo di riduzione, rimandando per ulteriori dettagli alle lezioni ad esso dedicato. Iniziamo. 🙂

In teoria è possibile cominciare eliminando un’incognita da una qualsiasi equazione del sistema a nostra scelta, ma per questo particolare caso cerchiamo di essere furbi.

Come visto nello svolgimento di questo stesso esercizio nella lezione intensiva sui metodi risolutivi dei sistemi lineari, è sicuramente possibile sommare membro a membro la prima e la seconda equazione tra loro. In pratica si tratterebbe di scrivere una nuova equazione data dall’uguaglianza tra la somma dei primi membri delle prime due equazioni del sistema e la somma dei secondi membri di quelle stesse equazioni del sistema:

\underbrace{x+z+y}_{\begin{array}{c}\scriptsize{\text{1° membro}} \\ \scriptsize{\text{1° equazione}}  \end{array}}+\underbrace{(x-z-1)}_{\begin{array}{c}\scriptsize \text{1° membro} \\ \scriptsize \text{2° equazione} \end{array}}=\underbrace{6}_{\begin{array}{c}\scriptsize \text{2° membro} \\ \scriptsize \text{1° equazione}\end{array} }+\underbrace{0}_{\begin{array}{c}\scriptsize \text{2° membro} \\ \scriptsize  \text{2° equazione} \end{array}}

Otteniamo in questo modo sommando i termini simili la seguente nuova equazione:

x+\cancel{z}+y+x-\cancel{z}-1=6 \quad \rightarrow \quad \boxed{2x+y=7}

Ora, è possibile inserire la nuova equazione nel sistema, esclusivamente al posto di una delle due equazioni utilizzate per ricavarla. In questo particolare caso converrà cercare di eliminare dal sistema l’equazione che tra le due contiene il maggior numero di incognite. Così mettendo nel sistema l’equazione appena scritta al posto della prima equazione abbiamo:

\begin{cases} 2x+y=7 \\ \\ x-z-1=0 \\ \\ 2x+5y-3z=5\end{cases}

Ora, per risolvere i sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite utilizzando il metodo di riduzione, il trucco è quello di ricondursi ad un sistema lineare di due sole equazioni in due incognite, per poi ricavare la rimanente incognita in un secondo momento.

Effettivamente ora le prime due equazioni presentano entrambe due sole incognite, ma nella prima equazione abbiamo una coppia di incognite diversa da quella della seconda equazione. La domanda per questo particolare esercizio è: avremmo potuto operare all’inizio una scelta più intelligente, in modo da ritrovarci direttamente all’interno del sistema due equazioni in due sole incognite che presentano entrambe la stessa coppia di incognite? La risposta à . 😉

Ripartiamo da capo riprendendo il sistema nella sua forma iniziale:

\begin{cases} x+z+y= 6 \\ \\ x-z-1=0 \\ \\ 2x+5y-3z=5\end{cases}

E’ fondamentale osservare che qui abbiamo già un’equazione in due sole incognite (la seconda, che presenta le sole incognite {x} e {z}). Dunque, per ricondurci al caso di un sistema in due equazioni in due incognite (mettendo temporaneamente da parte la rimanente equazione), l’idea è quella di eliminare ad esempio l’incognita {y} dalla prima equazione. Questo è certamente più scomodo rispetto ad eliminare l’incognita {z} come fatto poco fa, ma il vantaggio che otterremo sarà evidente.

Cominciamo moltiplicando per {-5} la prima equazione del sistema:

\begin{cases} -5x-5z-5y= -30 \\ \\ x-z-1=0 \\ \\ 2x+5y-3z=5\end{cases}

Ora sommiamo membro a membro la prima equazione e la terza. Come vedremo, l’incognita {y} sparirà:

\small \underbrace{-5x-5z-5y}_{\begin{array}{c}\scriptsize{\text{1° membro}} \\ \scriptsize{\text{1° equazione}}  \end{array}}+\underbrace{(2x+5y-3z)}_{\begin{array}{c}\scriptsize{\text{1° membro}} \\ \scriptsize{\text{3° equazione}}  \end{array}}=\underbrace{-30}_{\begin{array}{c}\scriptsize{\text{2° membro}} \\ \scriptsize{\text{1° equazione}}  \end{array}}+\underbrace{25}_{\begin{array}{c}\scriptsize{\text{2° membro}} \\ \scriptsize{\text{3° equazione}}  \end{array}}

Effettivamente svolgendo i calcoli otteniamo la nuova equazione:

\small -5x-5z-\cancel{5y}+2x+\cancel{5y}-3z=-25 \quad \rightarrow \:-3x-8z=-25

e quindi, moltiplicando tutti i termini per {-1}:

\boxed{3x+8z=25}

Ora ricordiamo, possiamo inserire nel sistema la nuova equazione ottenuta soltanto al posto di una delle due equazioni usate per costruirla. Così sostituendo ad esempio la prima equazione del sistema con la nuova equazione ottenuta abbiamo:

\begin{cases} 3x+8z=25\\ \\ x-z-1=0 \\ \\ 2x+5y-3z=5\end{cases}

Adesso, grazie alle scelta che abbiamo fatto il sistema presenta due equazioni nelle due stesse incognite x e z.

Possiamo allora mettere da parte per il momento la terza equazione (che sostituiamo con dei puntini), e quindi risolvere ad esempio per sostituzione il sistema di due equazioni in due incognite dato dalle prime due equazioni:

\begin{cases} 3x+8z=25\\ \\ x-z-1=0 \\ \\ \dots \end{cases}

Procedendo per sostituzione otteniamo:

\begin{cases} 3x+8z=25 \quad \rightarrow \: 3(z+1)+8z=25 \quad \rightarrow \: z=2\\ \\ x-z-1=0 \quad \rightarrow \: x=z+1\\ \\ \dots \end{cases}

e quindi:

\begin{cases} z=2\\ \\  x=z+1  \quad \rightarrow \: x=3\\ \\ \dots \end{cases}

Ora riprendiamo la terza equazione che avevamo messo da parte, e sostituiamo in essa i valori ottenuti sinora per le incognite. In questo modo, potremo ricavare il valore della rimanente incognita {y}:

\small \begin{cases} z= 2 \\ \\ x = 3 \\ \\ 2x+5y-3z=5 \quad \rightarrow \: y=\dfrac{5-2x+3z}{5} \quad \rightarrow \: y=\dfrac{5-2\cdot3+3\cdot2}{5}=1\end{cases}

In conclusione il sistema è risolto per i valori delle incognite:

\begin{cases} z=2 \\ \\ x=3 \\ \\ y = 1\end{cases}

e quindi ha per soluzione la terna ordinata {(x, \: y, \: z)} seguente:

(3, \: 1, \: 2)

Abbiamo quindi risolto per riduzione il sistema lineare dato cercando di utilizzare il minor numero di passaggi possibili. In questo particolare caso abbiamo cercato di trarre vantaggio dal fatto che nel sistema di partenza un’equazione era priva di un’incognita.


Vediamo ora un altro esempio, nel quale cercheremo di eseguire i calcoli in modo più rapido per quanto riguarda la costruzione delle nuove equazioni.

Proviamo a risolvere insieme il seguente sistema lineare per riduzione:

\begin{cases}x+2y+3z=2  \\ \\   2x+4y-5z=4 \\ \\ x+y-z=8\end{cases}

Il sistema è già in forma normale e possiamo applicare direttamente il metodo di riduzione.

Sottraiamo la terza equazione alla prima in modo da far cancellare i termini in {x}. Senza scrivere la nuova equazione separatamente, possiamo direttamente eseguire le operazioni aritmetiche mentalmente sui coefficienti delle due equazioni, e riscrivere il sistema con la nuova equazione ottenuta.

Ricordiamo inoltre che la nuova equazione potrà sostituire soltanto una delle due equazioni utilizzare per costruirla. E scegliendo ad esempio di sostituire la prima equazione con la nuova equazione abbiamo:

\begin{cases}\overbrace{y}^{2y-y} +\overbrace{4z}^{3z-(-z)}=\overbrace{-6}^{2-8 } \\ \\   2x+4y-5z=4 \\ \\ x+y-z=8\end{cases}

Ora la prima equazione è nelle due sole incognite {y, \: z}. Infatti abbiamo eliminato l’incognita {x} eseguendo mentalmente la sottrazione {x-x}. Così l’idea è ora quella di costruire una nuova equazione anch’essa nelle due sole incognite {y, \: z}.

Per fare questo, dobbiamo eliminare nella nuova equazione l’incognita {x}. Moltiplichiamo allora ciascun termine della terza equazione per {2}:

\begin{cases}y+4z=-6\\ \\   2x+4y-5z=4 \\ \\ 2x+2y-2z=16\end{cases}

Ora, sottraiamo membro a membro la terza equazione alla seconda, in modo da eliminare l’incognita {x}:

\begin{cases}{y} +{4z}={-6} \\ \\   2x+4y-5z=4 \\ \\ \overbrace{2y}^{4y-2y}\overbrace{-3z}^{-5z-(-2z)}=\overbrace{-12}^{4-16}\end{cases}

Adesso escludiamo temporaneamente la seconda equazione, in modo da ritrovarci con un sistema di due equazioni in due incognite:

\begin{cases}{y} +{4z}={-6} \\ \\   \dots \\ \\ 2y-3z=-12\end{cases}

Applichiamo ancora il metodo di riduzione. Moltiplichiamo la prima equazione per {2} (ciascun suo termine):

\begin{cases}{2y} +{8z}={-12} \\ \\   \dots \\ \\ 2y-3z=-12\end{cases}

Quindi sottraiamo la terza equazione alla seconda. Scriviamo la nuova equazione ad esempio al posto della terza:

\begin{cases}{2y} +{8z}={-12} \\ \\   \dots \\ \\ \overbrace{11z}^{8z-(-3z)}=\overbrace{0}^{-12-(-12)}\end{cases}

Otteniamo quindi:

\begin{cases}{2y} +{8z}={-12} \\ \\   \dots \\ \\z=0\end{cases}

Infine per sostituzione:

\begin{cases}{2y} +{8z}={-12} \quad \rightarrow \: 2y=-12+0 \quad \rightarrow \: y=-6 \\ \\   \dots \\ \\z=0\end{cases}

Ora che abbiamo ricavato due incognite, riprendiamo la seconda equazione in modo da ricavare l’ultima incognita:

\begin{cases} y=-6 \\ \\ 2x+4y-5z=4 \quad \rightarrow \: 2x=4-4y+5z \quad \rightarrow \: x=\dfrac{4+24}{2}=14 \\ \\ z=0 \end{cases}

In conclusione grazie al metodo di riduzione siamo riusciti a risolvere il sistema lineare, che ha per soluzione la terna:

(14, \: -6, \: 0)

Per ulteriori dettagli su come risolvere un sistema lineare per riduzione consigliamo la lettura della lezione: metodo di riduzione per i sistemi lineari. Un saluto e buon proseguimento con SìMatematica! 🙂


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