Limite di una funzione esponenziale a base variabile

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Domande e risposte

Calcolare il seguente limite di una funzione esponenziale a base variabile:

\lim_{x \to \frac{3}{2}\pi} (1+\sin x)^{1+\sin x}

Osserviamo che il limite da risolvere si presenta come una forma indeterminata del tipo {0^0}. Di conseguenza non è possibile risolvere il limite per sostituzione diretta.

Poiché il logaritmo naturale e l’esponenziale naturale sono funzioni tra loro inverse, vale l’identità {e^{\log x}= x}. Ciò è conseguenza del fatto che componendo tra loro una funzione e la sua inversa otteniamo la funzione identità:

f(f^{-1}(x))=x

In virtù di tale proprietà possiamo quindi scrivere:

\lim_{x \to \frac{3}{2}\pi} (1+\sin x)^{1+\sin x}=\lim_{x \to \frac{3}{2}\pi} e^{\log(1+\sin x)^{1+ \sin x}}=

Per la regola dell’esponente (proprietà dei logaritmi), è possibile portare a moltiplicare davanti al logaritmo l’esponente dell’argomento del logaritmo stesso:

\begin{align*} & = \lim_{x \to \frac{3}{2}\pi} e^{(1+\sin x )\log(1+\sin x)}=\lim_{x \to \frac{3}{2}\pi}e^{\log(1+\sin x)(1+\sin x)}\end{align*}

Osserviamo che per comodità abbiamo poi riordinato i fattori nell’esponente.

A questo punto per risolvere il limite è opportuno porre una sostituzione, utilizzando il teorema del limite della funzione composta. Tralasciamo per semplicità la verifica delle ipotesi del teorema, che comunque a rigore andrebbe effettuata.

Poniamo in particolare la sostituzione {1+\sin x = t}. Si ha che per {x \to \frac{3}{2}\pi} la quantità {1+\sin x} tende a zero, mantenendosi positiva (vedi grafico della funzione seno).

Quindi il limite nella nuova variabile sarà per {t \to 0^{+}}:

\lim_{t \to 0^{+}}e^{\log(t) t}

A questo punto consideriamo il limite dell’esponente:

\lim_{t \to 0^{+}} \log(t)t=0

Ciò si giustifica osservando che:

\lim_{t \to 0^{+}} \log(t)t=\lim_{t \to 0^{+}}\dfrac{\log(t)t}{1}=\lim_{t \to 0^{+}} \dfrac{\frac{\log(t)t}{t}}{\frac{1}{t}}=\lim_{t \to 0^{+}}\dfrac{\log(t)}{\frac{1}{t}}=0

Infatti la funzione logaritmo è la più lenta ad andare ad infinito, per cui il risultato discende dal confronto tra infiniti. Più precisamente, il logaritmo è un infinito di ordine inferiore rispetto a{\dfrac{1}{t}}.

Precisiamo tra parentesi che alcune fonti considerano il precedente limite come un limite notevole:

\lim_{x \to 0^{+}} x \log x  = 0

Tuttavia come abbiamo mostrato il limite è calcolabile con le regole di confronto degli infiniti. In ogni caso, pur non trattandosi di un vero e proprio limite notevole, può comunque essere utile ricordarlo a memoria.

In conclusione, per il limite di partenza abbiamo, effettuando una semplice sostituzione diretta:

\lim_{t \to 0^{+}} e^{\log(t)t}=e^0=1

Ecco dunque il risultato del limite di una funzione esponenziale con base variabile che dovevamo risolvere.

NOTA: nell’esercizio abbiamo indicato il logaritmo naturale (logaritmo in base {e}) con il simbolo {\log}. In alternativa viene usato anche il simbolo {\ln} oppure {\log_e}.