Esercizi sulla scomposizione con il quadrato di un binomio

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Monomi e polinomi (superiori)

Proponiamo in questa scheda una serie di esercizi svolti e commentati sulla scomposizione in fattori con il quadrato di un binomio.

Ci occuperemo inizialmente di esercizi di livello base, per poi passare ad esercizi più complessi anche con esponenti letterali. Ricordiamo che gli esercizi si basano sulla regola del prodotto notevole del quadrato di un binomio.

Cominciamo allora subito gli esercizi sulla scomposizione in fattori dei polinomi con il quadrato di un binomio.

Esercizi svolti sulla scomposizione in fattori dei polinomi con il prodotto notevole del quadrato di un binomio

Esercizio 1

Scomporre il polinomio:

9a^2b^4+4a^4b^2+12a^3b^3

Osserviamo che i primi due termini sono rispettivamente i quadrati dei termini {3ab^2} e {2a^2b}. Infatti:

\sqrt{9}a^{2:2}b^{4:2}=3ab^2; \qquad \sqrt{4}a^{4:2}b^{2:2}=2a^2b

Ora, vediamo se il doppio prodotto tra i due termini appena ricavati è uguale al rimanente termine nel trinomio di partenza:

2 \cdot 3ab^2 \cdot 2a^2b = 12a^3b^3

Effettivamente ci siamo per cui in conclusione possiamo scrivere:

9a^2b^4+4a^4b^2+12a^3b^3=(3ab^2+2a^2b)^2

Esercizio 2

Scomporre in fattori il polinomio:

24x^2-24x+6

Sicuramente {-24x} non è il quadrato di nessun termine poiché l’esponente della {x} è {1}. Di conseguenza, i quadrati dovranno essere ricercati nei rimanenti due termini. Osserviamo tuttavia che nessuno dei due termini può essere un quadrato, poiché né {24} né {6} sono il quadrato di nessun numero intero o razionale.

Osserviamo tuttavia che è possibile eseguire un raccoglimento a fattore comune totale:

24x^2-24x+6=6(4x^2-4x+1)

A questo punto possiamo ragionare nel polinomio entro le parentesi tonde, riconoscendo in esso nel primo termine il quadrato di {2x} e nel terzo termine il quadrato di {1}. Ora, vediamo quanto vale il doppio prodotto tra i due termini individuati:

2 \cdot 2x \cdot 1 = 4x

Tuttavia osserviamo che nel rimanente termine del trinomio dentro le parentesi abbiamo un termine {-4x}, che è uguale in modulo al risultato ottenuto ma di segno opposto. Ciò significa che dovremo prendere uno tra i due termini {2x} e {1} con segno meno. Scegliamo ad esempio di considerare il termine {-1}. Così in conclusione possiamo scrivere:

\begin{align*} & 24x^2-24x+6=6(4x^2-4x+1)  =6(2x-1)^2 \end{align*}

Prestiamo sempre attenzione alla possibilità di poter eseguire subito un raccoglimento totale nel polinomio da scomporre. Ciò spesso elimina l’utilizzo di altri metodi di scomposizione inutilmente più complicati. Infatti, come abbiamo anticipato nell’introduzione alla scomposizione dei polinomi, è possibile scomporre il trinomio dato utilizzando anche la regola del trinomio caratteristico. Tuttavia, i passaggi sono molto più complicati:

\begin{align*} & 24x^2-24x+6=24x^2+(-12-12)x+6=\\ \\ & =24x^2-12x-12x+6= 12x(2x-1)-6(2x-1)= \\ \\ & =(2x-1)(12x-6)=(2x-1)6(2x-1)=6(2x-1)^2\end{align*}

Per chi non conosce ancora la regola di scomposizione del trinomio caratteristico nessun problema: ne parleremo diffusamente in una prossima lezione. 😉

Proseguiamo ora gli esercizi sulla scomposizione con il quadrato di un binomio con il seguente.

Esercizio 4

x^{12}+x^6y^4+\dfrac{1}{4}y^8

Consideriamo i due termini {x^{12}} e \dfrac{1}{4}y^8. Osserviamo che entrambi gli esponenti che compaiono nelle loro lettere sono divisibili per due. Proviamo allora a vedere se riusciamo a trovare dei termini che corrispondono ai due quadrati:

x^{12:2}=x^6; \qquad \sqrt{\dfrac{1}{4}}y^{8:2}=\dfrac{1}{2}y^4

Quindi nel trinomio abbiamo rispettivamente i quadrati di {x^6} e {\dfrac{1}{2}y^4}.

Verifichiamo ora se il doppio prodotto dei due termini appena trovati è uguale al rimanente termine nel trinomio:

2 \cdot x^6 \cdot \dfrac{1}{2}y^4 = x^6y^4

Effettivamente ci siamo, per cui in conclusione possiamo scrivere:

x^{12}+x^6y^4+\dfrac{1}{4}y^8=\left( x^6+\dfrac{1}{2}y^4\right)^2

Esercizio 5

Proseguiamo con la serie di esercizi sulla scomposizione con il quadrato di un binomio con un esercizio contenente dei quadrati di un binomio.

(m+n)^2-4m(m+n)+4m^2

E’ immediato accorgerci che abbiamo i quadrati rispettivamente di {m+n} e di {2m}. Ora, vediamo se il doppio prodotto dei due termini coincide con il rimanente termine del trinomio:

2 \cdot (m+n) \cdot 2m = 4m(m+n)

Il risultato ottenuto è uguale soltanto in modulo al rimanente termine dell’espressione di partenza, differendo da esso per il segno. Ciò significa che dovremo prendere con segno meno uno dei due termini {m+n} e {2m}. Consideriamo ad esempio {-2m}. Possiamo quindi scrivere in conclusione:

(m+n)^2-4m(m+n)+4m^2=(m+n-2m)^2=(-m+n)^2

E siamo arrivati. 🙂

Esercizio 6

(3a-2b)^2-2(3a-2b)(4a+b)+(4a+b)^2

Al volo riconosciamo i quadrati dei binomi {3a-2b} e {4a+b}. Il loro doppio prodotto è:

2 \cdot (3a-2b) \cdot (4a+b)=2(3a-2b)(4a+b)

Come nel caso precedente, il risultato ottenuto differisce dal rimanente termine nell’espressione di partenza per il segno. Dobbiamo quindi prendere l’opposto di uno dei due termini {3a-2b} e {4a+b}. Scegliamo ad esempio l’opposto del primo dei termini appena scritti, e quindi {-3a+2b}. Abbiamo in conclusione per la scomposizione:

\begin{align*} & (3a-2b)^2-2(3a-2b)(4a+b)+(4a+b)^2= \\ \\ & =(-3a+2b+4a+b)^2= (a+3b)^2\end{align*}

Concludiamo ora gli esercizi sulla scomposizione con il quadrato di un binomio con un trinomio contenente esponenti letterali.

Esercizio 7

12ab^n+4b^{2n}+9a^2

Nel caso degli esponenti letterali, nel ricercare i quadrati dobbiamo guardare quali esponenti letterali hanno coefficienti multipli di {2}. Nel nostro caso, l’esponente del termine {4^{2n}} è un multiplo di {2}, e quindi è divisibile per {2}. Così, abbiamo che {4b^{2n}} è il quadrato di {\sqrt{4}b^{2n:2}=\boxed{2b^{n}}}.

Poi, riconosciamo immediatamente nel termine {9a^2} il quadrato di {\boxed{3a}}.

Vediamo se il doppio prodotto tra i due termini trovati è uguale al rimanente termine nel trinomio da scomporre:

2 \cdot 2b^n \cdot 3a = 12ab^n

Effettivamente ritroviamo il primo termine del trinomio, per cui possiamo in conclusione scrivere:

12ab^n+4b^{2n}+9a^2=(2b^n+3a)^2

e siamo arrivati.

Conclusioni

Per questa scheda sugli esercizi relativi alla scomposizione con il prodotto notevole del quadrato di un binomio è tutto. Buon proseguimento con SìMatematica! 🙂