Prodotto di radicali con indici diversi

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Radicali

Stabilito come ridurre dei radicali allo stesso indice, possiamo vedere come eseguire il prodotto di radicali con indici diversi. Le regole che stabiliremo saranno anche valide per il quoziente tra radicali con indici diversi.

Come vedremo nel dettaglio, per calcolare il prodotto di radicali con indici diversi dovremo prima di tutto ridurre i radicali allo stesso indice. A tal punto, il risultato del prodotto sarà un radicale avente per indice l’indice comune fra i radicali e per radicando il prodotto dei radicandi dei radicali ridotti allo stesso indice.

Ma vediamo subito passo dopo passo come calcolare il prodotto di radicali con indici diversi.

Calcolare il prodotto di radicali con indici diversi (caso numerico)

Il prodotto (o quoziente) di radicali con indici diversi si calcola riducendo i radicali allo stesso indice, quindi scrivendo come risultato un radicale avente per indice il loro comune indice e come radicando il prodotto (o quoziente) dei radicandi relativi ai radicali ridotti ad indice comune.

Vediamo un paio di esempi.

Esempio 1

Calcolare il prodotto dei seguenti radicali con indici diversi:

 \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[6]{21} \cdot \sqrt[4]{3}

Riscriviamo il prodotto con i radicali ridotti allo stesso indice. Successivamente scriviamo un radicale avente come indice il comune indice e come radicando il prodotto dei radicandi:

\begin{align*} & \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[6]{21} \cdot \sqrt[4]{3}=\sqrt[12]{7^{1 \cdot 4}} \cdot \sqrt[12]{(7 \cdot 3)^{1 \cdot 2}} \cdot \sqrt[12]{3^{1 \cdot 3}}=\sqrt[12]{7^4} \cdot \sqrt[12]{(7 \cdot 3)^2} \cdot \sqrt[12]{3^3}=  \\ \\ & =\sqrt[12]{7^4} \cdot \sqrt[12]{7^2 \cdot 3^2 }\cdot \sqrt[12]{3^3} = \sqrt[12]{7^4 \cdot 7^2 \cdot 3^2 \cdot 3^3}  = \sqrt[12]{3^5 \cdot 7^6} \end{align*}

Esempio 2

Calcolare il seguente quoziente fra radicali con indici diversi.

\dfrac{\sqrt[3]{25}}{\sqrt{5}}

Come nel caso del prodotto, riduciamo prima di tutto i radicali allo stesso indice, quindi scriviamo un radicale con indice uguale all’indice comune, e con radicando pari al rapporto dei radicandi:

\dfrac{\sqrt[3]{25}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt[6]{25^2}}{\sqrt[6]{5^3}}=\dfrac{\sqrt[6]{(5^2)^2}}{\sqrt[6]{5^3}}=\dfrac{\sqrt[6]{5^4}}{\sqrt[6]{5^3}}=\sqrt[6]{\dfrac{5^4}{5^3}}=\sqrt[6]{5^{4-3}}=\sqrt[6]{5}

Prodotto e quoziente di radicali con indici diversi e radicando variabile

Nel caso in cui il radicando dei radicali dipenda da una variabile, le regole da seguire sono molto simili a quelle viste nel caso della riduzione allo stesso indice di radicali con radicando variabile.

Dovremo quindi prima di tutto determinare l’insieme di definizione del prodotto (o quoziente), dato dall’intersezione degli insiemi di definizione dei singoli radicali. Dovremo poi ridurre i radicali allo stesso indice, discutendo il segno ove necessario. A tal punto, il segno del prodotto o quoziente dipenderà dai segni dei singoli radicali.

Esempio

Calcolare il seguente prodotto fra radicali con radicando dipendente da una variabile:

\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a-1}

Il primo radicale esiste per ogni {a \in \mathbb{R}}. Il secondo radicale, avendo indice pari, esiste per {a-1 \geq 0} e quindi per {a \geq 1}. Di conseguenza entrambi i radicali esistono per l’intersezione dei due insiemi di definizione, ovvero per tutti i valori della variabile nell’insieme {D} dato dalla condizione {a \geq 1}.

Studiamo il segno di ciascun radicale nell’insieme {D}. Il primo radicale è positivo in tutto {D}. Lo stesso vale per il secondo radicale. Di conseguenza, il prodotto dei radicali sarà anch’esso positivo ed avremo:

\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a-1}=\sqrt[12]{a^4} \cdot \sqrt[12]{(a-1)^{3}}=\sqrt[12]{a^4 (a-1)^3}, \quad a \geq 1

Conclusioni

Per quanto riguarda il prodotto di radicali con indici diversi è tutto. Nella prossima lezione di occuperemo della potenza di un radicale. Nella lezione ancora successiva ci occuperemo invece delle radici di radici (radice di un radicale). Con ciò saremo pronti per lo studio della razionalizzazione dei radicali. Buono studio!