Potenza di un radicale

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Radicali

Vediamo ora come calcolare la potenza di un radicale, stabilendo la regola generale da utilizzare.

Per capire come eseguire il calcolo della potenza di un radicale chiameremo in causa ancora una volta le proprietà delle potenze. In particolare, mostreremo che per elevare a potenza n-esima un radicale basta elevare a potenza n-esima il radicando.

Fatte le dovute premesse, vediamo subito come calcolare le potenze dei radicali, fornendo regole ed esempi.

Regola per la potenza di un radicale ad esponente intero

Consideriamo la seguente potenza di un radicale ad esponente intero:

\left( \sqrt[n]{a}\right)^k

ove l’esponente {k} è un numero intero. Se il radicale {\sqrt[n]{a}} esiste, è possibile calcolare la potenza {k}-esima del radicale come:

\left( \sqrt[n]{a}\right)^k=\sqrt[n]{a^k}

ponendo la condizione {a \geq 0 } nel solo caso però in cui l’indice {n} sia pari. Ciò allo scopo di tener conto della condizione di esistenza del radicale di partenza.

Se quindi consideriamo un radicale con indice pari, ad esempio {\sqrt{x}}, elevandolo ad esempio al quadrato otteniamo:

\left( \sqrt{x}\right)^2 = \left( x^{1/2}\right)^2 = x^{\frac{1}{2} \cdot 2}=x, \qquad x \geq 0

Invece per un radicale con indice dispari abbiamo:

\left(\sqrt[3]{x}\right)^2=\sqrt[3]{x^2}

e non dobbiamo imporre alcuna condizione.

Per le considerazioni sin qui fatte otteniamo la seguente regola per calcolare le potenze dei radicali.

Per elevare a potenza un radicale, se questo esiste, basta elevare a quella stessa potenza il suo radicando. Inoltre, nel solo caso in cui l’indice del radicale sia pari è anche necessario imporre la base del radicando positiva o al più nulla. {\left( \sqrt[n]{a}\right)^k= \sqrt[n]{a^k}, \qquad \text{con} \: a \geq 0 \: \text{se} \: n \: \text{e' pari} }

Giustificazione della regola della potenza di un radicale

Osserviamo che si ha, scegliendo ad esempio l’esponente intero {k=3} e prendendo per indice della radice {n=2}:

\left( \sqrt{a}\right)^3= \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{a}=

Ma per la regola del prodotto tra radicali con lo stesso indice:

=\sqrt{a \cdot a \cdot a} = \sqrt{a^3}, \qquad a \geq 0

E quindi:

\left( \sqrt{a}\right)^3 = \sqrt{a^3}, \qquad a \geq 0

il che giustifica la regola precedentemente data.

Esempi

Vediamo a questo punto alcuni esempi sul calcolo delle potenze dei radicali.

Esempio 1

Calcolare:

(\sqrt{5})^4

Abbiamo:

(\sqrt{5})^4 = \sqrt{5^4}=\sqrt{625}=25

Esempio 2

Calcolare:

\left( \sqrt{75}\right)^3 = \sqrt{75^3}=\sqrt{(3 \cdot 5^2)^3 }=\sqrt{3^3 \cdot 5 ^ 6}=5^3 \cdot 3 \sqrt{3}

Osserviamo che abbiamo poi semplificato il radicale scomponendo in fattori la base del radicando ed applicando la proprietà del prodotto fra potenze di uguale esponente in senso inverso. Nell’ultimo passaggio abbiamo infine portato dei fattori fuori dal simbolo di radice.

Esempio 3

Calcolare:

\left( \sqrt{x-3}\right)^4

Osserviamo che l’indice del radicale è pari. Di conseguenza, dovremmo imporre che il radicando sia non negativo. Abbiamo:

\left( \sqrt{x-3}\right)^4=\sqrt{(x-3)^4}=(x-3)^2, \qquad x-3 \geq 0 \iff x \geq 3

Conclusioni

Per quanto riguarda come calcolare le potenze dei radicali è tutto. Nella prossima lezione ci occuperemo del calcolo della radice di una radice.