Radice di un radicale (estrarre la radice di un radicale)

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Radicali

Ci occupiamo ora del calcolo della radice di una radice (più propriamente, come estrarre la radice di un radicale).

Il nostro obiettivo è cioè capire come poter riesprimere un radicale il cui radicando è a sua volta un radicale. Quello che desideriamo è in particolare riscrivere l’espressione di partenza, ovvero la radice del radicale dato, come un radicale equivalente che contenga un solo simbolo di radice.

Senza ulteriori indugi, vediamo subito come calcolare la radice di una radice (radice di un radicale).

Come calcolare la radice di una radice (radice di un radicale)

Supponiamo di voler estrarre la radice di indice {k} del radicale {\sqrt[n]{a}}, quest’ultimo avente indice {n}. Si dimostra che sotto opportune ipotesi vale l’uguaglianza:

\sqrt[k]{\sqrt[n]{a}}= \sqrt[k \cdot n]{a}

In particolare, l’uguaglianza è valida per ogni {n} e {k} naturali non nulli se {a \geq 0}. Nel caso in cui sia invece {a < 0} l’uguaglianza è invece valida nel solo caso in cui entrambi {k} e {n} siano dispari. Infatti, il prodotto di due numeri dispari è sempre dispari, così se entrambi gli indici sono dispari l’indice {k \cdot n} sarà anch’esso dispari e il radicando {a} potrà anche essere negativo.

Abbiamo quindi per il calcolo della radice di una radice (radice di un radicale) la seguente regola.

Sotto le ipotesi appena esposte, la radice di un radicale è uguale a un radicale avente per indice il prodotto degli indici relativi alla radice esterna e interna e per radicando il radicando relativo alla radice più interna.

Attenzione. E’ importante non confondere la radice di una radice con un radicale doppio. Infatti, mentre nella radice di una radice abbiamo come radicando un solo termine (che è un radicale), nei radicali doppi abbiamo come radicando una somma algebrica di termini, dei quali almeno uno è un radicale. Così l’espressione: {\sqrt[3]{\sqrt[4]{x}}} è una radice di radice (radice di un radicale), mentre l’espressione: {\sqrt{\sqrt{a}+b}} è un radicale doppio.
Tratteremo i radicali doppi in una prossima lezione.

Vediamo subito alcuni esempi.

Esempi sul calcolo della radice di un radicale

Esempio 1

Calcolare la seguente radice di radice (radice di un radicale):

\sqrt[4]{\sqrt[3]{7}}

Il radicando è positivo per cui non richiediamo che entrambi gli indici siano pari. Possiamo quindi eseguire il calcolo:

\sqrt[4]{\sqrt[3]{7}}=\sqrt[4 \cdot 3]{7}=\sqrt[12]{7}

Osserviamo che il radicale ottenuto ha per indice il prodotto degli indici dei radicali di partenza, e per radicando lo stesso radicando di partenza.

Esempio 2

Calcolare:

\sqrt[3]{\sqrt[7]{-5}}

Il radicando è negativo per cui richiediamo che entrambi gli indici dei radicali siano dispari. Come è immediato osservare tale condizione è verificata per cui possiamo eseguire il calcolo:

\sqrt[3]{\sqrt[7]{-5}}=\sqrt[3 \cdot 7]{-5}=\sqrt[21]{-5}

Dimostrazione della regola dell’estrazione della radice di un radicale

Dobbiamo dimostrare l’uguaglianza:

\sqrt[k]{\sqrt[n]{a}}= \sqrt[k \cdot n]{a}

ad esempio nell’ipotesi che gli indici siano dispari (nulla cambia nel caso di indici non entrambi dispari, con l’avvertenza di porre la condizione {a \geq 0}).

Dobbiamo dimostrare che entrambi i membri nell’uguaglianza rappresentano la radice con indice {k \cdot n} di {a}. E per la definizione dell’operazione di estrazione di radice, per provare l’uguaglianza entrambi i membri elevati all’indice {k \cdot n} dovranno restituire il radicando {a}.

Per il secondo membro abbiamo, banalmente:

\left( \sqrt[k \cdot n]{a}\right)^{k \cdot n}=\boxed{ a}

Per il primo membro, applicando la proprietà delle potenze di potenze:

\left( \sqrt[k]{\sqrt[n]{a}} \right)^{k \cdot n}=\left[\left( \sqrt[k]{\sqrt[n]{a}} \right)^k \right]^{n}=\left( \sqrt[n]{a}\right)^n=\boxed{a}

Ciò dimostra l’uguaglianza di partenza.

Conclusioni

Per quanto riguarda l’operazione di estrazione della radice di un radicale (radice di radice) è tutto. Nella prossima lezione ci occuperemo della razionalizzazione dei radicali.