Ricerca di numeri con somma e prodotto

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Equazioni (superiori)

In questa lezione ci occupiamo del problema della ricerca di numeri con somma e prodotto dati. Il nostro obiettivo è cioè quello di ricercare due numeri reali tali da avere per prodotto e per somma dei valori noti. E vedremo che per fare questo vengono in nostro aiuto le equazioni di secondo grado.

Abbiamo già affrontato il problema della ricerca di due numeri con somma e prodotto noti nell’ambito della scomposizione del trinomio caratteristico. In tal caso ricercavamo i due numeri procedendo per tentativi, aiutandoci con i divisori del termine noto. Con le equazioni di secondo grado sarà invece possibile risolvere il problema mediante la ricerca delle soluzioni di un’opportuna equazione. E l’equazione da risolvere dipenderà proprio dai valori di somma e prodotto che rappresentano i dati di partenza del problema.

Fatte le dovute premesse, vediamo subito come si effettua la ricerca di due numeri aventi somma e prodotto dati utilizzando le equazioni di secondo grado.

Ricerca di due numeri con somma e prodotto noti tramite le equazioni di secondo grado

Ricordiamo che data un’equazione di secondo grado in forma normale:

ax^2+bx+c=0

se {\Delta=b^2-4ac \geq 0 } allora l’equazione ammetterà due soluzioni aventi espressione:

x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}; \qquad x_2=\dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}

La somma delle soluzioni è uguale a:

s=\dfrac{-b+\cancel{\sqrt{\Delta}}-b-\cancel{\sqrt{\Delta}}}{2a}=\dfrac{-2b}{2a}=\boxed{-\dfrac{b}{a}}

mentre il loro prodotto è uguale a:

\begin{align*} & p=\left( \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \cdot \left( \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)= \\ \\ & =\left( \dfrac{-b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \cdot \left( \dfrac{-b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=\left( -\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left( \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2 = \\ \\ & =\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{\Delta}{4a^2}=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}=\dfrac{\cancel{b^2}-\cancel{b^2}+4ac}{4a^2}=\\ \\ & =\dfrac{4ac}{4a^2}=\boxed{\dfrac{c}{a}} \end{align*} 

Ora, ripartiamo dall’equazione:

ax^2+bx+c=0

Supposto {a \neq 0}, dividiamo tutti i termini per {a} (ciò è lecito in forza del secondo principio di equivalenza):

x^2+\boxed{\dfrac{b}{a}}x+\boxed{\dfrac{c}{a}}=0

Ma come coefficienti del termine di primo grado e del termine noto abbiamo rispettivamente l’opposto della somma delle soluzioni e il prodotto delle soluzioni dell’equazione stessa. Di conseguenza l’equazione è della forma:

x^2-sx+p=0

ed avrà come soluzioni proprio due numeri tali che la loro somma sia {-s} e il loro prodotto sia {p}.

Vale dunque la seguente regola.

Ricerca di due numeri con somma e prodotto noti. Per cercare due numeri aventi somma {s} e prodotto {p} basta provare a determinare le soluzioni dell’equazione di secondo grado {x^2-sx+p=0}Le eventuali soluzioni dell’equazione saranno proprio i due numeri cercati.

Vediamo subito un esempio sulla ricerca di due numeri aventi somma e prodotto noti utilizzando le equazioni di secondo grado.

Esempio 1

Ricercare due numeri aventi somma {10} e prodotto {25}.

In questo caso non è particolarmente difficile arrivare mentalmente alla soluzione, ma vediamo comunque come possono aiutarci le equazioni di secondo grado.

Dobbiamo ricercare due numeri {x_1} e {x_2} tali che:

x_1+x_2=10 ; \qquad x_1 \cdot x_2 = 25

Quindi abbiamo {s=10} e {p=25}. Si tratterà allora di ricercare le eventuali soluzioni dell’equazione {x^2-sx+p=0}, che nel nostro caso diviene:

x^2-10x+25=0

Il calcolo delle soluzioni è immediato. Infatti riconosciamo nel polinomio al primo membro il quadrato di un binomio:

(x-5)^2=0

e quindi l’equazione diviene:

(x-5)(x-5) = 0 

e per la legge di annullamento del prodotto otteniamo le due soluzioni:

x_1 = 5; \qquad x_2 = 5

Esse rappresentano esattamente i due numeri cercati. Infatti:

x_1+x_2=5+5=10=s; \qquad x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot 5 = 25 = p

Esempio 2

Ricercare due numeri aventi per somma {7} e per prodotto {12}.

Abbiamo {s=7} e {p=12}. Dovremo allora calcolare le eventuali soluzioni dell’equazione:

x^2-7x+12=0

Per il determinante abbiamo:

\Delta = (-7)^2-4 \cdot 1 \cdot 12= 49-48=1>0

Dato che il determinante è positivo siamo certi che i due numeri cercati esistono. Abbiamo così:

x_{1,2} = \dfrac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1}= \begin{cases}4 \\ \\ 3 \end{cases}

I due numeri cercati sono allora {x_1= 4} e {x_2 = 3}. Infatti:

x_1+x_2 = 4+3 = 7 = s; \qquad x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot 3 =12 = p

Il metodo qui presentato consente di ricercare facilmente i due numeri {m} e {n} necessari per scomporre un trinomio caratteristico. Ciò rappresenta un aiuto che offrono le equazioni di secondo grado per la scomposizione dei polinomi. Ciò si aggiunge alla regola di scomposizione di un polinomio di secondo grado con le radici dell’equazione associata.

In particolare, se dobbiamo scomporre un polinomio del tipo {ax^2+bx+c}, quale può essere il vantaggio dell’utilizzo dell’equazione {x^2-sx+p=0} rispetto alla scomposizione con le radici dell’equazione associata?

Consideriamo ad esempio il seguente polinomio:

10x^2+29x+21

Si tratta di un trinomio caratteristico con coefficiente della {x^2} diverso da {1}. Per la scomposizione dobbiamo ricercare due numeri aventi per somma il coefficiente del termine in {x}, quindi {29}, e per prodotto il prodotto tra il coefficiente della {x^2} e il termine noto, ovvero {10 \cdot 21 = 210}.

Abbiamo quindi {s=29} e {p=210}. Per trovare i due numeri risolviamo l’equazione:

x^2-sx+p=0 \quad \Rightarrow \quad x^2-29x+210=0

Otteniamo le soluzioni:

x_{1,2}=\dfrac{29\pm \sqrt{(-29)^2-4 \cdot 1 \cdot 210}}{2 \cdot 1}=\begin{cases}15 \\ \\ 14 \end{cases}

Abbiamo così trovato i due numeri aventi somma {29} e prodotto {210}. Utilizziamoli per scomporre il trinomio caratteristico dato:

\begin{align*} & 10x^2+29x+21=10x^2+(14+15)x+21=\\ \\ & =10x^2+14x+15x+21=10x^2+15x+14x+21=\\ \\ & =5x(2x+3)+7(2x+3)=(2x+3)(5x+7) \end{align*}

Osserviamo che abbiamo direttamente ottenuto una scomposizione con fattori dati da binomi aventi coefficienti tutti interi.

Proviamo ora con il metodo basato sulla scomposizione utilizzando le radici dell’equazione di secondo grado associata. Calcoliamo le radici di:

\begin{align*}10x^2+29x+21=0 &\end{align*}

Abbiamo:

x_{1,2} = \dfrac{-29 \pm \sqrt{29^2-4 \cdot 10 \cdot 21}}{2 \cdot 10}=\dfrac{-29 \pm 1}{20}= \begin{cases}-\dfrac{3}{2} \\ \\ -\dfrac{7}{5} \end{cases}

Utilizzando la regola {ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)} abbiamo:

\begin{align*} & 10x^2+29x+21=10\left[x-\left(-\dfrac{3}{2}\right)\right] \left[x- \left(-\dfrac{7}{5} \right)\right]=\\ \\ & = 10\left( x+\dfrac{3}{2}\right)\left( x+\dfrac{7}{5}\right)=\end{align*}

La scomposizione ottenuta è certamente corretta ma rispetto al metodo precedente si presenta in una forma non semplificata. Svolgiamo allora qualche calcolo:

\begin{align*} & =10\left( \dfrac{2x+3}{2}\right)\left( \dfrac{5x+7}{5}\right)=\dfrac{\cancel{10}}{\cancel{10}} \cdot (2x+3)(5x+7)= \\ \\ & =(2x+3)(5x+7)\end{align*}

Ritroviamo così la scomposizione già ottenuta in precedenza.

Il metodo basato sull’utilizzo dell’equazione {x^2-sx+p=0} ha il vantaggio di consentire di “automatizzare” la procedura standard di scomposizione con la regola del trinomio caratteristico. E in particolare non corriamo il rischio di dimenticarci il fattore {a} applicando la regola di scomposizione {ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}. In ogni caso, a voi la scelta del metodo di scomposizione a voi più congeniale. 😉

Qui termina questa lezione sulla ricerca di due numeri con somma e prodotto dati mediante le equazioni di secondo grado. Nella prossima lezione ci occuperemo della regola di Cartesio, la quale consente di “predire” i segni delle eventuali soluzioni di un’equazione di secondo grado, senza risolverla. Buon proseguimento!