Esercizi sul quadrato di un polinomio

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Monomi e polinomi (superiori)

In questa scheda vedremo degli esercizi sul quadrato di un polinomio, relativi ai casi del quadrato di un trinomio e del quadrato di un quadrinomio.

Nello svolgere gli esercizi sul quadrato di un polinomio richiameremo nel dettaglio le regole da utilizzare, e mostreremo inoltre nel caso del quadrato di un quadrinomio i due possibili metodi per il suo calcolo.

Senza ulteriori indugi vediamo subito come si calcola il quadrato di un polinomio con esercizi relativi al caso del quadrato di un trinomio e del quadrato di un quadrinomio.

Esercizi svolti sul quadrato di un polinomio (quadrato di un trinomio e quadrato di un quadrinomio)

Esercizio 1

Calcolare il seguente quadrato di un trinomio:

(x-3y+1)^2

Ricordiamo lo sviluppo del quadrato di un trinomio nella forma generale:

(a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac

Nello sviluppo abbiamo sei termini, tre quadrati più tre doppi prodotti. Ciascun doppio prodotto si costruisce a partire dalle possibili coppie di termini del trinomio diversi tra loro.

La somma {a+b+c} deve essere intesa in senso algebrico. Così, ciascun termine dovrà essere preso con il suo segno.

Nel nostro caso abbiamo:

\begin{align*} &(x-3y+1)^2= \\ \\ & =x^2+(-3y)^2+1^2+2\cdot x \cdot (-3y) + 2 \cdot (-3y) \cdot 1 + 2 \cdot x \cdot 1 = \\ \\ & =x^2+9y^2+1-6xy-6y+2x \end{align*}

Esercizio 2

Calcolare il seguente quadrato di un trinomio:

\left( \dfrac{x}{2}-4y+1\right)^2 

Un termine ha coefficiente frazionario ma basta ricordare le regole per le potenze di frazioni (bisogna elevare all’esponente dato sia il numeratore, sia il denominatore della frazione). Così abbiamo:

\begin{align*} & \left( \dfrac{x}{2}-4y+1\right)^2 = \\ \\ & =\left( \dfrac{x}{2}\right)^2+(-4y)^2+1^2+2\cdot \dfrac{x}{2}\cdot (-4y) + 2 \cdot (-4y) \cdot 1 + 2 \cdot \dfrac{x}{2} \cdot 1= \\ \\ & =\dfrac{x^2}{4}+16y^2+1-4xy-8y+x \end{align*}

Esercizio 3

Calcolare:

(ab+bc+cd)^2

Attenzione a non farci confondere dalle lettere usate. In questo caso tali lettere fanno parte di generici monomi e non indicano dei termini in forma generale. In altre parole, tali variabili non hanno niente a che vedere con le lettere utilizzate nel trinomio in forma generale {a+b+c}.

Procedendo in modo del tutto simile agli esercizi precedenti abbiamo:

\begin{align*} & (ab+bc+cd)^2=\\ \\ & =(ab)^2+(bc)^2+(cd)^2+2 \cdot ab \cdot bc + 2 \cdot bc \cdot cd + 2 \cdot ab \cdot cd = \\ \\ & =a^2b^2+b^2c^2+c^2d^2+2ab^2c+2bc^2d+2abcd \end{align*}

Esercizio 4

(x^3-x^2+6)^2

Diversamente dai casi precedenti ci ritroviamo con dei termini che hanno un esponente. In questi casi è sempre bene ricordare la regola della potenza di una potenza. In particolare:

\left( a^n\right)^m = a^{n \cdot m}

e sottolineiamo che nella regola interviene il prodotto degli esponenti. Così ad esempio per elevare al quadrato il termine {x^3} scriveremo:

(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2 } = x^6 

e nel caso in cui la potenza da elevare al quadrato ha davanti un segno meno:

(-x^2) = (-1 \cdot x^2)^2 = (-1)^2 \cdot (x^2)^2 =1 \cdot x^{2 \cdot 2} = x^4 

Più semplicemente basta tenere conto che il quadrato di un termine anche negativo sarà sempre positivo.

Tenendo conto di queste considerazioni, per il quadrato del trinomio dato abbiamo:

\begin{align*} & (x^3-x^2+6)^2 =\\ \\ & = (x^3)^2+(-x^2)^2+6^2 + 2 \cdot x^3 \cdot (-x^2) + 2 \cdot (-x^2) \cdot 6 + 2 \cdot x^3 \cdot 6= \\ \\ & =x^6+x^4+36-2x^5-12x^2+12x^3\end{align*}

Esercizio 5

Calcolare:

\left( \dfrac{1}{3}x^2y+3xy^2-z^3\right)^2

Applicando tutte le regole sin qui viste abbiamo:

\small \begin{align*} & \left( \dfrac{1}{3}x^2y+3xy^2-z^3\right)^2 = \\ \\ & =\left( \dfrac{1}{3}\right)^2 (x^2y)^2+(3xy^2)^2+(-z^3)^2+2 \cdot \dfrac{1}{3}x^2y \cdot 3 xy^2 +2 \cdot 3xy^2 \cdot (-z^3) + 2 \cdot \dfrac{1}{3}x^2y \cdot (-z^3) = \\ \\ & =\dfrac{1}{9}x^4y^2+9x^2y^4+z^6+2x^3y^3-6xy^2z^3-\dfrac{2}{3}x^2yz^3\end{align*}

Esercizio 6

Calcolare il seguente quadrato di un trinomio con termini ad esponente letterale:

(nx^n+x^{n-1}-x^{n-2})^2, \qquad n > 2

Osserviamo che la condizione {n>2} serve per assicurarci di non avere esponenti negativi, e che quindi il trinomio non degeneri in una frazione algebrica. In altre parole la condizione impedisce che si abbia la presenza di lettere al denominatore, garantendo così il rispetto della definizione di polinomio.

La presenza degli esponenti letterali non deve in alcun modo intimorire. Dovremo infatti applicare semplicemente le regole sulle proprietà delle potenze a noi già note. Procediamo:

\begin{align*} & (nx^n+x^{n-1}-x^{n-2})^2 = \\ \\ & =(nx^n)^2+(x^{n-1})^2+(-x^{n-2})^2+2 \cdot nx^n \cdot x^{n-1}+2  \cdot x^{n-1}\cdot  (-x^{n-2})+2 \cdot nx^n \cdot (-x^{n-2})=\\ \\ & =n^2x^{2n}+x^{2n-2}+x^{2n-4}+2nx^{n+n-1}-2x^{n-1+n-2}-2nx^{n+n-2} = \\ \\ & =n^2 x^{2n}+x^{2(n-1)}+x^{2(n-2)}+2nx^{2n-1}-2x^{2n-3}-2nx^{2(n-1)}\end{align*}

Esercizio 7

Calcolare il seguente quadrato di un quadrinomio:

(x^2-x+2y+z)^2

Possiamo eseguire il calcolo seguendo due metodi. Il primo metodo consiste nell’utilizzare la regola:

(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

Nel nostro caso abbiamo:

\begin{align*} &(x^2-x+2y+z)^2= \\ \\ & =(x^2)^2+(-x)^2+(2y)^2+z^2+2\cdot x^2 \cdot (-x)+2 \cdot x^2 \cdot 2y+2\cdot x^2 \cdot z+\\ \\ & +2 \cdot (-x) \cdot 2y + 2 \cdot (-x) \cdot z + 2 \cdot 2y \cdot z =\\ \\ & =x^4+x^2+4y^2+z^2-2x^3+4x^2y+2x^2z-4xy-2xz+4yz\end{align*}

Passiamo ora al secondo metodo, che consiste nell’utilizzare delle sostituzioni in modo da ricondurci al calcolo di quadrati di binomi. Ritornando al problema di partenza, abbiamo:

(x^2-x+2y+z)^2=\big[ \underbrace{(x^2-x)}_{A}+\underbrace{(2y+z)}_{B}\big]^2

Ci siamo così ricondotti alla forma {(A+B)^2}. Procedendo come nel caso del quadrato di un binomio:

\begin{align*} & \big[ \underbrace{(x^2-x)}_{A}+\underbrace{(2y+z)}_{B}\big]^2 = \\ \\ & =\underbrace{x^4-2x^3+x^2}_{A^2} + \underbrace{2 \cdot(x^2-x) \cdot (2y+z)}_{2AB}+\underbrace{4y^2+4yz+z^2}_{B^2}= \\ \\ & =x^4-2x^3+x^2+2(2x^2y-2xy+x^2z-xz)+4y^2+4yz+z^2= \\ \\ & =x^4-2x^3+x^2+4x^2y-4xy+2x^2z-2xz+4y^2+4yz+z^2\end{align*}

E anche in questo modo ritroviamo il risultato cercato.

Esercizio 8

Calcolare:

(2a+ab-b-2ab)^2

Utilizziamo la tecnica delle sostituzioni, ponendo {A=2a+ab^2} e {B=-b-2ab}. Abbiamo:

\begin{align*} &\ (2a+ab-b-2ab)^2=\big[ \underbrace{(2a+ab)}_{A}+\underbrace{(-b-2ab)}_{B}\big]^2 = \\ \\ & = \underbrace{4a^2+4a^2b+a^2b^2}_{A^2} +\underbrace{2 \cdot (2a+ab) \cdot (-b-2ab)}_{2AB} + \underbrace{b^2+4ab^2+4a^2b^2}_{B^2}= \\ \\ & =4a^2+4a^2b+a^2b^2+2(-2ab-ab^2-4a^2b-2a^2b^2)+b^2+4ab^2+4a^2b^2=\\ \\ & =4a^2+4a^2b+a^2b^2-4ab-2ab^2-8a^2b-4a^2b^2+b^2+4ab^2+4a^2b^2= \\ \\ & =4a^2+(4-8)a^2b+(1-4+4)a^2b^2-4ab+(-2+4)ab^2+b^2=\\ \\ & =4a^2-4a^2b+a^2b^2-4ab+2ab^2+b^2\end{align*}

Per quanto riguarda gli esercizi sul quadrato di un polinomio è tutto. Buono studio!