Potreste dirmi come calcolare il volume della sfera? Potreste fornire degli esercizi di esempio?
Nel rispondere alla domanda, chiariremo i seguenti punti:
- come calcolare il volume della sfera a partire dal suo raggio;
- come calcolare il volume della sfera a partire dalla sua area;
- infine, come calcolare il volume della sfera a partire dall’area del cerchio/semicerchio generatore, dalla circonferenza del cerchio generatore o dal perimetro del semicerchio generatore.
Prima di tutto, presenteremo i ragionamenti alla base della risoluzione di ciascun problema. Successivamente, mostreremo degli esercizi di esempio interamente svolti e commentati per i possibili casi. E alla fine potrete anche trovare una comoda tabella di riepilogo delle formule da utilizzare in base ai dati di partenza forniti dalla traccia del problema.
Come calcolare il volume della sfera a partire dal suo raggio
Il volume {V} della sfera, a partire dal raggio {r} della sfera stessa, si calcola con la seguente formula:
V=\dfrac{4}{3}\pi r^3ovvero, riscrivendola utilizzando il “per” aritmetico:
V=\dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3ove, ricordiamo, {r^3=r \times r \times r} (definizione di potenza di un numero, che si legge in questo caso “{r}” al cubo).
Quindi, il volume della sfera si ottiene moltiplicando la frazione {\dfrac{4}{3}} per il numero fisso Pi greco e per il cubo del raggio della sfera. Ricordiamo che Pi greco si può approssimare con il valore {3,14159} o più semplicemente con {3,14}.
Per un esempio su come si calcola il volume della sfera a partire dal suo raggio, vedi l’esercizio 1 a seguire.
Calcolo del volume della sfera a partire dalla sua area
Prima di tutto, ricordiamo che l’area della sfera (misura dell’area della superficie totale della sfera) è data da:
S=4\pi r^2=4 \times \pi \times r \times r
ove {S} rappresenta l’area della sfera mentre {r} è il suo raggio.
Ora, se è noto il valore dell’area {S}, possiamo ricavare il raggio della sfera con la seguente formula inversa:
r=\sqrt{\dfrac{S}{4 \times \pi}}Così se dobbiamo calcolare il volume della sfera a partire dalla sua area, con la precedente formula possiamo intanto ricavarne il raggio. Fatto ciò, sarà possibile calcolare il volume della sfera con la formula {V=\dfrac{4}{3}\pi r^3}.
Per un esempio su come calcolare il volume della sfera a partire dalla sua area, vedi l’esercizio 2 a seguire.
Calcolo del volume della sfera a partire da dati relativi al cerchio generatore
Mostriamo ora come calcolare il volume della sfera utilizzando delle informazioni riguardanti il suo cerchio generatore. Ricordiamo che il cerchio generatore di una sfera è quel cerchio che, compiendo un’opportuna rotazione, riesce a descrivere il volume della sfera stessa. Il cerchio generatore e la sfera corrispondente condividono lo stesso raggio.
Calcolo del volume della sfera a partire dall’area del cerchio generatore
Se disponiamo come dato di partenza dell’area del cerchio generatore, l’idea è quella di ricavare il raggio del cerchio generatore a partire dalla sua area.
Ricordiamo che l’area {A} di un cerchio di raggio {r} è data da (vedi area del cerchio):
A=\pi r^2=\pi \times r \times r
Di conseguenza, utilizzando l’opportuna formula inversa possiamo ricavare il raggio del cerchio a partire dalla sua area:
r=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}Così, se {A} è l’area del cerchio generatore, con la precedente formula riusciamo a ricavare il raggio del cerchio generatore, che è anche il raggio della sfera. Ma una volta che abbiamo il raggio della sfera, è immediato calcolarne il volume con la formula ormai nota.
Per un esempio su come si calcola il volume della sfera a partire dall’area del cerchio generatore, vedi l’esercizio 3 a seguire.
Calcolo del volume a partire dalla circonferenza del cerchio generatore
Vediamo ora come calcolare il volume della sfera a partire dalla circonferenza del suo cerchio generatore.
La circonferenza del cerchio è in generale data da:
C=2\pi r=2 \times \pi \times r
Se è nota la circonferenza, grazie all’opportuna formula inversa è possibile calcolare il raggio del cerchio:
r=\dfrac{C}{2\pi}Se dunque il cerchio generatore della sfera ha circonferenza {C}, una volta ricavato il raggio {r} del cerchio generatore (e quindi della sfera) con la precedente formula, è possibile calcolare il volume della sfera ancora una volta con la formula {V=\dfrac{4}{3}\pi r^3}.
Per un esempio su come calcolare il volume della sfera a partire dalla circonferenza del cerchio generatore , vedi l’esercizio 4 a seguire.
Calcolo del volume della sfera a partire dal perimetro del semicerchio generatore
Potrebbe capitare di avere assegnato il perimetro del semicerchio generatore e non del cerchio generatore della sfera. Osserviamo prima di tutto che anche un semicerchio, con un’opportuna rotazione, è comunque in grado di descrivere il volume di una sfera.
Il perimetro di un semicerchio di raggio {r} ha formula:
P=\pi r +2r=r \times (\pi+2)
da cui otteniamo la formula inversa:
r=\dfrac{P}{\pi+2}Tale formula consente di ricavare il raggio del cerchio generatore (e quindi della sfera) a partire dal perimetro del semicerchio generatore. Una volta ottenuto il valore del raggio della sfera, è immediato come ormai sappiamo calcolare il volume della sfera stessa.
Per un esempio sul calcolo del volume della sfera a partire dal perimetro del semicerchio generatore, vedi l’esercizio 5 a seguire.
Esercizi svolti sul calcolo del volume della sfera nei vari casi
Proponiamo ora degli esercizi di esempio svolti e commentati sul calcolo del volume della sfera, nei vari modi sin qui elencati.
Esercizio 1 (calcolo del volume della sfera a partire dal suo raggio)
Determinare il volume di una sfera avente raggio {r=5 \: \text{cm}}.
Poiché come dato di partenza abbiamo il raggio della sfera, possiamo direttamente utilizzare la formula:
V=\dfrac{4}{3}\pi r^3ovvero, nel nostro caso:
\small \begin{align*} & V=\dfrac{4}{3}\pi r^3=\dfrac{4}{3} \times \pi \times (5 \text{cm})^3 \approx \dfrac{4}{3} \times 3,14159 \times 5^3 \text{cm} ^3 =\\ \\ & =\dfrac{4}{3} \times 3,14159 \times 125 \text{cm}^3\approx 1,33333 \times 3,14159 \times 125 \text{cm}^3 \approx 523,597 \text{cm} ^3 \end{align*}Attenzione. Per ottenere una migliore approssimazione del valore del volume calcolato, conviene utilizzare per la frazione {\dfrac{4}{3}} il valore calcolato dalla calcolatrice, senza riscriverlo in forma approssimata. Inoltre, alcune calcolatrici includono anche il simbolo del Pi greco.
Tra parentesi, osserviamo che la formula per il calcolo del volume della sfera si può anche esprimere come:{V=\dfrac{4 \pi r^3}{3}}ma in questo modo a nostro parere è più difficile da ricordare.
Esercizio 2 (calcolo del volume della sfera a partire dalla sua area)
Calcolare il volume di una sfera avente misura dell’area della superficie totale {S=375 \text{cm} ^2}.
Ricordiamo la formula per il calcolo dell’area della sfera:
S=4 \pi r^2
dalla quale si ottiene la formula inversa:
r=\sqrt{\dfrac{S}{4\pi}}Così, nel nostro caso, a partire dall’area della sfera possiamo calcolare il raggio della sfera stessa:
r=\sqrt{\dfrac{S}{4 \times \pi}}\approx \sqrt{\dfrac{375 \text{cm}^2}{4 \times 3,14159}}= \sqrt{\dfrac{375}{12,56636}}\text{cm} \approx 5,4627 \text{cm}A questo punto possiamo concludere calcolando il volume della sfera:
V=\dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3=\dfrac{4}{3} \times 3,14159 \times (5,4627 \text{cm})^3 \approx 682,83 \text{cm}^3Esercizio 3 (calcolo del volume della sfera a partire dall’area del cerchio generatore)
Calcolare il volume di una sfera avente cerchio generatore di area {A=300 \text{cm}^2}.
Ricaviamo il raggio del cerchio generatore. Per fare questo, ricordiamo la formula dell’area del cerchio:
A=\pi r^2
dalla quale otteniamo la formula inversa:
r=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}e quindi nel nostro caso:
r=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}\approx\sqrt{\dfrac{300 \text{cm}^2}{3,14159}} \approx 9,772 \text{cm}Noto il raggio del cerchio generatore, che coincide con il raggio della sfera, possiamo infine calcolare il volume di quest’ultima:
V=\dfrac{4}{3}\pi r^3= \dfrac{4}{3} \times 3,14159 \times (9,772 \text{cm})^3 \approx3908,76 \text{cm}^3Attenzione. Nel caso in cui si abbia invece come dato di partenza l’area del semicerchio generatore {A_S}, allora la formula da utilizzare per ricavare il raggio è:{r=\sqrt{\dfrac{2 A_S}{\pi}}}
Esercizi con dati di partenza relativi al cerchio/semicerchio generatore della sfera
Esercizio 4 (calcolo del volume della sfera a partire dalla circonferenza del cerchio generatore)
Calcolare il volume di una sfera il cui cerchio generatore ha una circonferenza pari a {150,5 \text{cm}}.
Ricordiamo la formula per il calcolo della circonferenza di un cerchio di raggio {r}:
C=2 \pi r=2 \times \pi \times r
da cui possiamo ricavare il raggio:
r=\dfrac{C}{2 \times \pi }Nel nostro caso quindi:
r=\dfrac{C}{2 \times \pi}=\dfrac{150,5 \text{cm}}{2 \times 3,14159}\approx 23,95 \text{cm}E infine per il volume della sfera:
V=\dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3= \dfrac{4}{3} \times 3,14159 \times (23,95 \text{cm} )^3\approx 57544,63 \text{cm}^3Veniamo ora all’ultimo di questa serie di esercizi su come calcolare il volume della sfera, relativo al rimanente caso ove il dato di partenza è il perimetro del semicerchio generatore.
Esercizio 5 (volume della sfera a partire dal perimetro del semicerchio generatore)
Calcolare il volume di una sfera il cui semicerchio generatore ha perimetro {P=56 \text{cm}}.
Per prima cosa, ricordiamo che il perimetro di un semicerchio di raggio {r} è dato da:
P=\pi \times r + 2 \times r = r \times (\pi + 2)
da cui si ottiene la formula inversa:
r=\dfrac{P}{\pi + 2}Nel nostro caso possiamo quindi ricavare il raggio della sfera proprio a partire da quest’ultima formula:
r=\dfrac{P}{\pi+2} = \dfrac{56 \text{cm}}{3,14159+2}\approx 10,89\text{cm}Infine, come al solito, per il volume della sfera:
V=\dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3=\dfrac{4}{3} \times 3,14159 \times (10,89 \text{cm})^3 \approx 5409,68 \text{cm}^3Conclusioni
Abbiamo così visto come calcolare il volume della sfera nei vari casi, che per comodità riepiloghiamo nella seguente tabella.
| « Lezione precedente | Esercizi correlati | Lezione successiva » |
| Ulteriori esercizi |