Proponiamo in questa scheda degli esercizi sul calcolo del punto medio di un segmento nel piano. Ricordiamo che dato un segmento di estremi {A=(x_A, y_A)} e {B=(x_B, y_B}), le coordinate del suo punto medio {M=(x_M, y_M)} sono date da:
x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2}; \qquad y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}In altre parole, ciascuna coordinata del punto medio di un segmento lungo un certo asse è data dalla media aritmetica delle coordinate degli estremi relative a quello stesso asse. Così l’ascissa del punto medio di un segmento è data dalla media aritmetica delle ascisse degli estremi del segmento, mentre l’ordinata del punto medio di un segmento è data dalla media aritmetica delle ordinate degli estremi del segmento stesso.
Al fine di evitare spiacevoli errori, è fondamentale considerare sempre di volta in volta coordinate relative esclusivamente all’asse rispetto al quale si sta effettuando il calcolo. In altri termini, occorre evitare tassativamente errori che consistono nel calcolare la media tra un’ascissa ed un’ordinata.
Nella scheda cominceremo da esercizi che mostrano semplicemente come calcolare le coordinate del punto medio di un segmento, per poi proseguire con esercizi che richiedono di calcolare un estremo di un segmento note le coordinate del suo punto medio e dell’altro estremo. In questo secondo caso, basta ribaltare opportunamente la formula per il calcolo del punto medio di un segmento, ottenendo le due seguenti formule inverse:
\begin{align*} & x_A=2\cdot x_M-x_B; && \text{(noti } x_B, \: x_M \text{)}\\ \\ & x_B=2 \cdot x_M-x_A; &&\text{(noti } x_A, x_M)\end{align*}Infine, per completezza ci occuperemo anche di esercizi che richiedono di ragionare sulla parametrizzazione dei punti di un segmento. Ricordiamo che le coordinate di un qualunque punto di un segmento si ottengono con le formule:
\begin{cases} x(\beta) =(1-\beta) x_A + \beta x_B \\ \\ y(\beta) = (1-\beta) y_A +\beta y_B\end{cases} \qquad \beta \in [0,1], \quad \beta \in \RCiò significa che ad ogni valore reale del parametro {\beta} compreso tra {0} e {1} (compresi tali valori) corrispondono tramite le precedenti formule i valori delle coordinate di un punto del segmento. Così, facendo variare {\beta} nell’intervallo {[0, 1]} è possibile ottenere le coordinate di tutti i punti del segmento. In particolare, ricordiamo, le coordinate del punto medio di un segmento si ottengono dalle precedenti formule ponendo {\beta = \dfrac{1}{2}}.
Esercizi su come calcolare il punto medio di un segmento
Prima parte: calcolo delle coordinate del punto medio
Esercizio 1
Calcolare le coordinate del punto medio di un segmento i cui estremi hanno coordinate {A=(-4,4)} e {B=(4,4)}.
Per cominciare scriviamo le coordinate dei punti utilizzando le convenzioni stabilite nella formula per il calcolo delle coordinate del punto medio:
\begin{align*} & A=(-4,4)=(x_A, y_A) \quad \Rightarrow \quad x_A=-4, \: y_A=4 \\ \\ & B=(4,4)=(x_B, y_B) \quad \Rightarrow x_B=4, \: y_B=4 \end{align*}Procediamo sostituendo i valori appena scritti nella formula:
\begin{align*} &x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{-4+4}{2}=0; \\ \\ & y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{4+4}{2}=4;\end{align*}Così in conclusione il punto medio del segmento {\overline{AB}} ha coordinate:
M=(0,4)
Esercizio 2
Calcolare le coordinate del punto medio di un segmento avente per estremi {A=(-3, -5)} e {B=(-1, 4)}.
Procediamo per rapidità sostituendo direttamente le coordinate nella formula, tenendo comunque conto di quanto visto nell’esercizio precedente:
\begin{align*} &x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{-3+(-1)}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2; \\ \\ & y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{-5+4}{2}=-\dfrac{1}{2};\end{align*}Così in conclusione per le coordinate del punto medio del segmento {\overline{AB}} abbiamo:
M=\left( -2, -\dfrac{1}{2}\right)Esercizio 3
Calcolare le coordinate del punto medio del segmento avente per estremi i punti {A=(1, -2+\sqrt{2})} e {B=(3, -2-\sqrt{2})}.
In questo caso le coordinate degli estremi del segmento contengono dei numeri irrazionali. Nessun problema, basterà tenere conto laddove necessario delle proprietà dei radicali. In particolare, in questo tipo di esercizi è importante saper sommare tra loro i radicali simili.
Facciamo attenzione ad individuare correttamente ciascuna coordinata. In questo caso infatti la presenza di più valori sommati algebricamente fra loro potrebbe essere fonte di confusione. Scriviamo quindi per questo esercizio prima di tutto le coordinate:
x_A=1, \: y_A=-2+\sqrt{2}, \qquad x_B=3, \: y_B=2-\sqrt{2}Applichiamo a questo punto la formula:
\begin{align*} &x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{1+3}{2}=2; \\ \\ &y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2}= \dfrac{\overbrace{-2+\sqrt{2}}^{y_A}+\overbrace{2-\sqrt{2}}^{y_B}}{2}=0\end{align*}In conclusione le coordinate del segmento {\overline{AB}} in esame sono:
M=(2,0)
Esercizio 4
Calcolare le coordinate del punto medio del segmento avente per estremi i punti {A=\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}, 3\sqrt{2}\right)} e {B=\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)}.
Sostituendo direttamente le coordinate degli estremi del segmento nella formula, abbiamo:
\begin{align*} & x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{4}; \\ \\ & y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}+1}{2}\end{align*}Così in conclusione il punto medio del segmento {\overline{AB}} ha coordinate:
M=\left( \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{4}, \: \dfrac{3\sqrt{2}+1}{2}\right)Osserviamo che al numeratore della coordinata {x_M} la somma {\sqrt{2}+\sqrt{3}} rimane necessariamente indicata. Infatti, i due radicali non sono tra loro simili e non è dunque possibile sommarli tra loro.
Esercizio 5
Calcolare le coordinate del punto medio del segmento avente estremi {A=\left( \sqrt{2}, \sqrt{3}\right)} e {B=(2\sqrt{2}, -3\sqrt{3})}.
Abbiamo:
\begin{align*} &x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} =\dfrac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3}{2}\sqrt{2}; \\ \\ & y_M =\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{\sqrt{3}+(-3\sqrt{3})}{2}=\dfrac{\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{2}=\dfrac{-2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3} \end{align*}e quindi:
M=\left( \dfrac{3}{2}\sqrt{2}, -\sqrt{3}\right)Osserviamo che in questo caso ci siamo ritrovati con dei radicali simili, che abbiamo potuto sommare tra loro. Per chi non dovesse ben ricordare le regole per la somma di radicali simili, mostriamo un semplice metodo per comprendere ad esempio come calcolare la somma {\sqrt{2}+2\sqrt{2}}:
\sqrt{2}+2\sqrt{2}=A+2A=3A=3\sqrt{2}, \quad \text{con} \: \sqrt{2}=AIn altre parole, l’approccio è del tutto identico al caso della somma tra monomi, tenendo conto che in questo caso la parte letterale è data dalle quantità sotto radice.
Seconda parte: esercizi sul calcolo delle coordinate di un estremo a partire dalle coordinate del punto medio di un segmento e dell’altro suo estremo
Proseguiamo gli esercizi sul calcolo del punto medio di un segmento con dei problemi che utilizzano le formule inverse.
Esercizio 6
Calcolare le coordinate dell’estremo {B} del segmento {\overline{AB}}, noti {A=(-2,0)} e le coordinate del suo punto medio {M=(2,2)}.
Utilizzando le opportune formule inverse si ha:
\begin{align*} &x_B=2 \cdot x_M-x_A=2 \cdot 2 - (-2)=4+2=6; \\ \\ & y_B=2 \cdot y_M-y_A=2 \cdot 2 - 0=4\end{align*}Importante. Poiché nelle formule inverse abbiamo un simbolo di sottrazione, prestiamo particolare attenzione ai segni (vedi il calcolo della coordinata {x_B} nell’esempio). Come al solito, un abbondante uso delle parentesi tonde consente di evitare spiacevoli errori di segno.
In conclusione l’estremo {B} del segmento {\overline{AB}} ha coordinate:
B=(6,4)
Esercizio 7
Calcolare le coordinate dell’estremo {A} del segmento {\overline{AB}} con {M=(-2,4)} e {B=(-3,-2)}.
Abbiamo, utilizzando l’opportuna formula inversa:
\begin{align*} &x_A=2 \cdot x_M-x_B=2 \cdot (-2)-(-3)=-4+3=-1; \\ \\ & y_A=2 \cdot y_M- y_B=2 \cdot 4-(-2)=8+2=10\end{align*}Quindi in conclusione, per le coordinate dell’estremo {A}:
A=(-1,10)
Osservazione. Per risparmiare fatica è importante sottolineare che non è necessario ricordare due formule inverse per il calcolo delle coordinate di un estremo di un segmento a partire dalle coordinate del punto medio e dell’altro estremo. Basta infatti tenere conto della seguente regola: l’ascissa di un estremo è data dal doppio dell’ascissa del punto medio meno l’ascissa dell’altro estremo. L’ordinata di un estremo è data dal doppio dell’ordinata del punto medio meno l’ordinata dell’altro estremo.
Terza parte: esercizi sul calcolo delle coordinate del generico punto di un segmento con estremi dati
Veniamo ora agli ultimi di questa serie di esercizi sul calcolo del punto medio di un segmento. In questi esercizi considereremo la rappresentazione parametrica delle coordinate del generico punto di un segmento.
Esercizio 8
Scrivere le espressioni per le coordinate di un generico punto {P} del segmento {\overline{AB}} in funzione del parametro reale {\beta}, con {A=(2,-3)} e {B=(6,4)}.
Ricordando le formule:
\begin{cases} x(\beta) =(1-\beta) x_A + \beta x_B \\ \\ y(\beta) = (1-\beta) y_A +\beta y_B\end{cases} \qquad \beta \in [0,1], \quad \beta \in \Rnel nostro caso si ha:
\begin{cases} x(\beta)=(1-\beta)\cdot2+\beta \cdot 6 = 2-2\beta +6\beta = 2+4\beta; \\ \\ y(\beta)=(1-\beta)\cdot(-3)+\beta \cdot 4=-3+3\beta +4\beta =-3+7\beta \end{cases}per cui abbiamo in conclusione:
P=(2+4\beta, -3+7\beta), \qquad \beta \in [0,1], \quad \beta \in \R
Esercizio 9
Attenzione. In quest’ultimo esercizio mostriamo un procedimento che utilizza la formula per il calcolo della distanza tra due punti nel piano cartesiano.
Determinare le coordinate del punto {P=(x_P, y_P)} che divide il segmento di estremi {A=(3,8)} e {B=(-1,-4)} in due parti tali che sussista l’uguaglianza:{\overline{AP}=\dfrac{3}{4}\overline{AB}}.
Il punto {P} che appartiene al segmento {\overline{AB}} ha coordinate:
\small \begin{cases} x(\beta)=(1-\beta)x_A+\beta x_B=(1-\beta) \cdot 3+\beta \cdot(-1) =3-3\beta -\beta =3-4\beta; \\ \\ y(\beta)=(1-\beta)y_A+\beta y_B=(1-\beta)\cdot8+\beta \cdot (-4)=8-8\beta-4\beta=8-12\beta\end{cases}con {\beta \in [0,1]} reale. Di conseguenza:
P=(x_P, y_P)=(3-4\beta, 8-12\beta) \qquad \text{con} \: \beta=\beta_0In altre parole le coordinate del punto {P} si ottengono in corrispondenza di un certo valore del parametro reale {\beta}.
Per le formule della distanza tra due punti del piano si ha:
\begin{align*} & \overline{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\\ \\ & =\sqrt{(-1-3)^2+(-4-8)^2}=\sqrt{(-4)^2+(-12)^2}=\sqrt{160}=\sqrt{2^4\cdot5\cdot2}=\\ \\ & =4\sqrt{10}; \\ \\ & \overline{AP}=\sqrt{(x_P-x_A)^2+(y_P-y_A)^2} =\sqrt{(3-4\beta_0-3)^2+(8-12\beta_0-8)^2}=\\ \\ & =\sqrt{(-4\beta_0)^2+(-12\beta_0)^2}=\sqrt{16\beta_0^2+144\beta_0^2}=\sqrt{\beta_0^2 \cdot (16+144)}=\\ \\ & =\sqrt{\beta_0^2\cdot 160 }=4|\beta_0|\sqrt{10}\end{align*}Ora come detto nel testo, il punto {P} deve essere tale da rispettare la relazione:
\overline{AP}=\dfrac{3}{4}\overline{AB}ovvero:
4 |\beta_0|\sqrt{10}=\dfrac{3}{4}\cdot 4 \sqrt{10} \iff |\beta_0|=\dfrac{3}{4}da cui:
\beta_0=\pm \dfrac{3}{4}ma dato che deve essere {0 \leq \beta_0 \leq 1}, abbiamo:
\beta_0=\dfrac{3}{4}cioè prendiamo il solo valore positivo.
Sostituendo il valore {\beta_0} nelle espressioni delle coordinate del punto {P} otteniamo infine:
P=(3-4\beta_0, 8-12\beta_0)=\left(3-4\cdot\dfrac{3}{4}, 8-12 \cdot \dfrac{3}{4}\right)=(0,-1)Così in conclusione il punto {P} cercato ha coordinate:
P=(0,-1)
Conclusioni
Per quanto riguarda questa serie di esercizi su come calcolare le coordinate del punto medio di un segmento è tutto. Buono studio a tutti voi! 🙂
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