In questa scheda proponiamo degli esercizi sulle espressioni con i monomi (esercizi di riepilogo). Avremo così modo di testare le nostre conoscenze su tutto quanto appreso sulle operazioni con i monomi.
Negli esercizi sulle espressioni con i monomi presenti in questa esercitazione ritroveremo tutte le operazioni con i monomi: somma algebrica di monomi, prodotto, divisione e potenze di monomi.
Ricordiamo la lezione sulle operazioni con i monomi indicata nel precedente link e anche l’esercitazione di livello base sulle operazioni con i monomi per chiunque avesse bisogno di un ripasso.
Ed ora cominciamo subito questi esercizi sulle espressioni con monomi (esercizi di riepilogo sui monomi).
Esercizi svolti sulle espressioni con i monomi
Esercizio 1
Calcolare la seguente espressione con monomi:
(-2xy)^2 : (-4x^2)-\left( \dfrac{1}{4}x^3y\right)^2:\left( -\dfrac{1}{2}x^2\right)^3+\left( -\dfrac{3}{2}y\right)^2Le prime operazioni da eseguire sono sempre le potenze. Per cui intanto abbiamo:
\begin{align*}&(-2xy)^2 : (-4x^2)-\left( \dfrac{1}{4}x^3y\right)^2:\left( -\dfrac{1}{2}x^2\right)^3+\left( -\dfrac{3}{2}y\right)^2 = \\ \\ & = 4x^2y^2:(-4x^2)-\dfrac{1}{16}x^6y^2:\left(-\dfrac{1}{8}x^6 \right)+\dfrac{9}{4}y^2= \end{align*}Ora è la volta delle divisioni, e dopo averle eseguite procediamo sommando tra loro i termini simili:
\begin{align*}=&\dfrac{4x^2y^2}{-4x^2}+\left( \dfrac{1}{16}:\dfrac{1}{8}\right)\dfrac{x^6y^2}{x^6}+\dfrac{9}{4}y^2= \\ \\ & = -y^2+\left( \dfrac{1}{16} \cdot 8\right)y^2+\dfrac{9}{4}y^2 = \\ \\ & = -y^2+\dfrac{1}{2}y^2+\dfrac{9}{4}y^2= \left( -1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{4} \right)y^2=\dfrac{7}{4}y^2\end{align*}Esercizio 2
Calcolare la seguente espressione con monomi:
\small \left[ -2x^2(-3y^2)+2xy^2(-2x)\right]^2:\left[ 3x(-y)\right]^3+\dfrac{1}{3}x^5y^3:\left[ \left( -x^2\right)^2(-3y)^2\right]Qui dobbiamo prima di tutto eseguire le operazioni all’interno delle parentesi quadre. Una volta che ci ritroviamo con un solo monomio all’interno delle quadre sarà possibile calcolare le potenze.
Nei calcoli all’interno delle parentesi dovremo prima eseguire le eventuali potenze, poi le moltiplicazioni, infine sommare gli eventuali monomi simili.
\small \begin{align*}& \left[ -2x^2(-3y^2)+2xy^2(-2x)\right]^2:\left[ 3x(-y)\right]^3+\dfrac{1}{3}x^5y^3:\left[ \left( -x^2\right)^2(-3y)^2\right] = \\ \\ & = \left[6x^2y^2 -4x^2y^2\right]^2 :\left(-3xy \right)^3 +\dfrac{1}{3}x^5y^3:\left[x^4 \cdot 9y^2 \right] = \\ \\ & = \left( 2x^2y^2\right)^2:(-27x^3y^3)+\dfrac{1}{3}x^5y^3:(9x^4y^2)= \\ \\ & = 4x^4y^4:(-27x^3y^3)+\left( \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{9}\right)x^{5-4}y^{3-2}= \\ \\ & = \left( -\dfrac{4}{27}\right) x^{4-3}y^{4-3}+\dfrac{1}{27}xy = \\ \\ & = -\dfrac{4}{27}xy+\dfrac{1}{27}xy = \left( \dfrac{-4+1}{27}\right)xy=-\dfrac{3}{27}xy=-\dfrac{1}{9}xy\end{align*}Esercizio 3
\small \left\{ \left( -\dfrac{5}{4}x^2y^3-\dfrac{5}{6}x^2y^3\right) : \left[xy^3-4x\left( \dfrac{1}{4}y^3-y^3\right) \right]\right\}\cdot \left( -\dfrac{24}{5}x\right)Cominciamo sommando tra loro i monomi simili all’interno delle parentesi tonde. Proseguiremo poi utilizzando le regole degli esercizi precedenti.
\small \begin{align*} & \left\{ \left( -\dfrac{5}{4}x^2y^3-\dfrac{5}{6}x^2y^3\right) : \left[xy^3-4x\left( \dfrac{1}{4}y^3-y^3\right) \right]\right\}\cdot \left( -\dfrac{24}{5}x\right) = \\ \\ & = \left\{\left( \dfrac{-15-10}{12}\right)x^2y^3: \left[xy^3-4x\left(-\dfrac{3}{4}y^3\right) \right]\right\}\cdot \left( -\dfrac{24}{5}x\right) = \\ \\ & = \left\{-\dfrac{25}{12}x^2y^3:\left[ xy^3+3xy^3\right] \right\}\cdot \left( -\dfrac{24}{5}x\right)= \\ \\ & = \left[ -\dfrac{25}{12}x^2y^3:\left( 4xy^3\right)\right]\cdot \left( -\dfrac{24}{5}x\right) = \\ \\ & = \left( -\dfrac{25}{12} \cdot \dfrac{1}{4}\right)x \cdot \left( -\dfrac{24}{5}x\right)= \\ \\ & = -\dfrac{25}{48}x \cdot \left( -\dfrac{24}{5}x \right) = \dfrac{5}{2}x^2\end{align*}Esercizio 4
Proseguiamo con gli esercizi sulle espressioni con monomi presentando un’espressione più lunga delle precedenti, ma come vedremo si tratta soltanto di applicare attentamente tutte le regole viste finora.
\scriptsize \left\{ \left[ \dfrac{1}{2}y^2 \left( -\dfrac{1}{2}x+4x\right)^2+\dfrac{2}{3}y\left( \dfrac{3}{2}x^2y+\dfrac{1}{2}x^2y\right)\right]:\left[ \dfrac{3}{2}x \left( \dfrac{2}{3}y + \dfrac{1}{2}y\right)^2\right]-\left( \dfrac{2}{7}x\right)^2:x+\dfrac{3}{7} x\right\}:4xCominciamo sommando tra loro i monomi simili dentro le parentesi tonde. E’ anche possibile calcolare una potenza di un monomio nella parte a destra dell’espressione. Abbiamo:
\scriptsize \begin{align*} & \left\{ \left[ \dfrac{1}{2}y^2 \left( -\dfrac{1}{2}x+4x\right)^2+\dfrac{2}{3}y\left( \dfrac{3}{2}x^2y+\dfrac{1}{2}x^2y\right)\right]:\left[ \dfrac{3}{2}x \left( \dfrac{2}{3}y + \dfrac{1}{2}y\right)^2\right]-\left( \dfrac{2}{7}x\right)^2:x+\dfrac{3}{7} x\right\}:4x = \\ \\ & = \left\{ \left[ \dfrac{1}{2}y^2 \left(\dfrac{7}{2}x\right)^2+\dfrac{2}{3}y\left( 2x^2y\right)\right]:\left[ \dfrac{3}{2}x \left( \dfrac{7}{6}y\right)^2\right]-\dfrac{4}{49}x^2:x+\dfrac{3}{7} x\right\}:4x= \end{align*}Ora calcoliamo le potenze di monomi. E’ anche possibile eseguire il prodotto fra monomi all’interno della prima coppia di parentesi quadre e l’ultima divisione tra monomi all’interno delle parentesi graffe:
\begin{align*} &=\left\{ \left[ \dfrac{1}{2}y^2 \cdot \dfrac{49}{4}x^2+\dfrac{4}{3}x^2y^2\right]:\left[ \dfrac{3}{2}x \cdot \dfrac{49}{36}y^2\right]-\dfrac{4}{49}x+\dfrac{3}{7} x\right\}:4x = \end{align*}A questo punto precediamo eseguendo le moltiplicazioni all’interno delle parentesi quadre e sommando i due monomi che si trovano fuori dalle parentesi quadre ma all’interno delle graffe:
\begin{align*} &=\left\{ \left[\dfrac{49}{8}x^2y^2+\dfrac{4}{3}x^2y^2\right]:\left( \dfrac{49}{24}xy^2\right)+\dfrac{17}{49}x\right\}:4x =\end{align*}Ora non resta che sommare i monomi simili all’interno delle parentesi quadre ed eseguire i rimanenti calcoli:
\begin{align*} &= \left[ \dfrac{179}{24}x^2y^2:\left( \dfrac{49}{24}xy^2\right)+\dfrac{17}{49}x\right]:4x = \\ \\ & = \left[ \left( \dfrac{179}{24} \cdot \dfrac{24}{49}\right)x+\dfrac{17}{49}x\right] :4x = \\ \\ & = \left[ \dfrac{179}{49}x+\dfrac{17}{49}x\right]:4x= \\ \\ & =\dfrac{196}{49}x:4x=4x:4x=1 \end{align*}Esercizio 5
Concludiamo questa scheda di esercizi sulle espressioni con i monomi con un’espressione contenente frazioni di frazioni. Si tratta cioè di particolari espressioni ove compaiono frazioni i cui numeratori e denominatori sono a loro volta espressioni contenenti frazioni.
Ricordiamo che in espressioni di questo tipo è necessario semplificare prima le espressioni presenti a numeratore e denominatore delle frazioni di frazioni, quindi riscrivere ciascuna frazione di frazione come divisione tra monomi fra il numeratore e il denominatore.
Più precisamente, le espressioni alle quali ci riferiamo contengono rapporti fra espressioni con monomi a coefficienti frazionari.
Fatte le dovute premesse, calcoliamo la seguente espressione:
\dfrac{-\dfrac{1}{4}\left( x^2y^2\right)^2-\dfrac{1}{6}\left( xy\right)^4}{\dfrac{1}{4}\left( xy\right)^3-x\left( \dfrac{1}{4}x^2y^3-\dfrac{2}{3}x^2y^3\right)}\cdot\left( -\dfrac{24}{5}x-\dfrac{3}{20}x \right)Studiamo attentamente quali operazioni eseguire per prime. Cominciamo guardando la “frazione di frazione” a sinistra. A numeratore possiamo eseguire le potenze, mentre a denominatore possiamo eseguire una potenza e la somma algebrica tra i monomi simili dentro le parentesi tonde. Per quanto riguarda il fattore a destra dell’espressione possiamo sommare i monomi simili all’interno delle parentesi.
\begin{align*} &\dfrac{-\dfrac{1}{4}\left( x^2y^2\right)^2-\dfrac{1}{6}\left( xy\right)^4}{\dfrac{1}{4}\left( xy\right)^3-x\left( \dfrac{1}{4}x^2y^3-\dfrac{2}{3}x^2y^3\right)}\cdot\left( -\dfrac{24}{5}x-\dfrac{3}{20}x \right) = \\ \\ & = \dfrac{-\dfrac{1}{4}x^4y^4-\dfrac{1}{6}x^4y^4}{\dfrac{1}{4}x^3y^3-x\left( -\dfrac{5}{12}x^2y^3\right)} \cdot \left( -\dfrac{99}{20}x\right) = \end{align*}Ora procediamo sommando i monomi simili al numeratore della “frazione di frazione” ed eseguendo il prodotto al denominatore:
\begin{align*}& =\dfrac{-\dfrac{5}{12}x^4y^4}{\dfrac{1}{4}x^3y^3+\dfrac{5}{12}x^3y^3} \cdot \left( -\dfrac{99}{20}x\right) = \end{align*}Ora sommiamo i monomi simili al denominatore della frazione:
=\dfrac{-\dfrac{5}{12}x^4y^4}{\dfrac{2}{3}x^3y^3} \cdot \left( -\dfrac{99}{20}x\right) =A questo punto riscriviamo la frazione contenente monomi come divisione tra monomi.
\begin{align*}={-\dfrac{5}{12}x^4y^4} : \left({\dfrac{2}{3}x^3y^3} \right) \cdot \left( -\dfrac{99}{20}x\right) = \end{align*}Adesso attenzione all’ordine di precedenza. Eseguiamo le operazioni rigorosamente da sinistra verso destra. Prima la divisione tra monomi, poi il prodotto.
\begin{align*}&=\left( -\dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{3}{2}\right)x^{4-3}y^{4-3} \cdot \left( -\dfrac{99}{20}x\right) = \\ \\ & = -\dfrac{5}{8}xy\cdot \left( -\dfrac{99}{20}x\right) = \dfrac{99}{32}x^2y\end{align*}Per quanto riguarda gli esercizi sulle espressioni con i monomi è tutto. Vi ricordiamo ancora la lezione sulle operazioni con i monomi e l’esercitazione correlata che vi saranno utili per chiarire qualsiasi eventuale dubbio. Buono studio!
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