Esercizi sulle rette parallele

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Esercizi sulla retta nel piano e coordinate cartesiane

In questa scheda proponiamo una serie di esercizi sulle rette parallele, svolti e commentati.

Nel caso di rette non parallele agli assi coordinati, ricordiamo che due rette sono parallele tra loro se e solo se:

• i coefficienti angolari delle due rette sono tra loro uguali;
• i coefficienti dei termini in {x} e {y} dell’una e dell’altra retta sono tra loro proporzionali.

In altre parole, date due rette aventi equazioni in forma esplicita:

r_1:y=m_1x+q_1, \qquad  r_2:y=m_2x+q_2

queste sono parallele tra loro se e solo se risulta:

m_1 = m_2

Inoltre, date due rette aventi le seguenti equazioni in forma implicita:

\small r_1: a_1x+b_1y+c_1=0, \qquad r_2:a_2x+b_2y+c_2=0

queste sono parallele tra loro se e solo se:

\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}

ovvero se i rispettivi coefficienti dei termini in {x} e {y} sono tra loro proporzionali.

Fatti i dovuti richiami teorici, vediamo subito alcuni esercizi sulle rette parallele (esercizi sulla condizione di parallelismo tra rette del piano).

Esercizi svolti e commentati sulle rette parallele, con equazioni in forma esplicita e/o implicita

Esercizio 1

Stabilire se le rette {r_1:3x+5y=1} e {r_2:12x-15y-7=0} sono parallele tra loro.

L’idea di fondo alla base di questi esercizi è quella di avere le equazioni delle due rette nella stessa forma. In tal modo, sarà possibile stabilire se queste sono parallele tra loro o meno o tramite il metodo dei coefficienti angolari, o tramite il metodo della proporzionalità tra i coefficienti dei termini in {x} e {y}.

Osserviamo che l’equazione della retta {r_2} è in forma implicita, ma l’equazione della retta {r_1} non è esattamente in forma implicita. Infatti, il secondo membro di tale equazione è diverso da zero.

Cominciamo spostando verso il primo membro il termine attualmente presente al secondo membro dell’equazione della retta {r_1}:

r_1: 3x+5y-1=0

Ora entrambe le equazioni di {r_1} ed {r_2} sono nella forma implicita del tipo {ax+by+c=0}. Di conseguenza, possiamo testare la proporzionalità tra i coefficienti dei termini in {x} e {y} presenti in ciascuna equazione.

Per l’equazione di {r_1} abbiamo:

\small r_1: 3x+5y-1=0 \quad \Rightarrow \quad a_1=3, \: b_1=5, \: c_1=-1

mentre per l’equazione di {r_2}:

\small r_2:12x-15y-7=0 \quad \Rightarrow \quad a_2=12, \: b_2=-15, \: c_2=-7

Vediamo se è verificata l’uguaglianza:

\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}

Sostituendo i valori dei coefficienti:

\dfrac{3}{12}=\dfrac{5}{-15}

ovvero:

\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{3}

L’uguaglianza è falsa e di conseguenza le due rette non sono parallele tra di loro.

Esercizio 2

Stabilire se la retta {r_1: x+\dfrac{4}{5}y=0} è parallela alla retta {r_2: 10x+8y=3}.

Come già evidenziato, per risolvere gli esercizi sulle rette parallele di questo tipo è importante ricondurre entrambe le equazioni delle rette date o alla forma esplicita, o alla forma implicita. Non possiamo cioè verificare il parallelismo tra rette nel caso in cui le rispettive equazioni siano espresse in forme differenti.

La retta {r_1} ha equazione già data in forma implicita, con {c_1=0}. La retta {r_2} ha invece equazione non propriamente in forma implicita (il secondo membro è diverso da zero). Riconduciamo allora l’equazione di {r_2} alla forma {ax+by+c=0}:

r_2: 10x+8y-3=0

Ora è possibile controllare la relazione di proporzionalità tra i coefficienti dei termini in {x} e {y} delle due equazioni. Abbiamo:

\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{1}{10}=\dfrac{\frac{4}{5}}{8}

ovvero:

\dfrac{1}{10}=\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{8}

e quindi:

\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{10}

L’uguaglianza numerica così ottenuta è vera, e di conseguenza le due rette {r_1} ed {r_2} sono tra loro parallele.

Esercizio 3

Stabilire se le rette {r_1: y=\dfrac{2}{3}x+1} e {r_2: 4x-6y+7=0} sono parallele tra loro.

Dato che l’equazione di {r_1} è in forma esplicita, scegliamo di ricondurre anche l’equazione di {r_2} alla forma esplicita. In alternativa, avremmo anche potuto lasciare l’equazione di {r_2} così come è e ricondurre l’equazione di {r_1} alla forma implicita.

Riscriviamo quindi l’equazione di {r_2} in forma esplicita. Abbiamo:

r_2: 4x-6y+7=0 \quad \Rightarrow \quad 6y=4x+7

Dividiamo entrambi i membri per {6}:

r_2: y=\dfrac{4}{6}x+\dfrac{7}{6}

ovvero:

r_2: y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{6}

Osserviamo che le due rette hanno lo stesso coefficiente angolare. In entrambe le equazioni ridotte alla forma esplicita risulta infatti {m=\dfrac{2}{3}}.

Inoltre, le rette hanno differente ordinata all’origine.

Per cui in conclusione le due rette sono parallele e distinte.

Esercizio 4

Proseguiamo questa serie di esercizi sulle rette parallele con un’altra tipologia di esercizi. In particolare, ci occupiamo del problema di scrivere l’equazione di una retta passante per un certo punto e parallela ad un’altra retta, la cui equazione è nota.

Scrivere l’equazione in forma implicita della retta {r_2} passante per il punto {P=\left( -4, \dfrac{1}{2}\right)} e parallela alla retta {r_1} di equazione {3x-2y+5=0}.

Per risolvere il problema, possiamo utilizzare due differenti metodi.

Primo metodo. Se la retta {r_2} è parallela alla retta {r_1}, allora le due rette dovranno avere necessariamente lo stesso coefficiente angolare. Così, la retta {r_2} dovrà avere lo stesso coefficiente angolare di {r_1}.

Come dato di partenza abbiamo l’equazione in forma implicita della retta {r_1}:

r_1: 3x-2y+5=0

Da questa è possibile ricavare il coefficiente angolare della retta {r_1}:

m_1=-\dfrac{a_1}{b_1}=-\dfrac{3}{-2}=\dfrac{3}{2}

Il coefficiente angolare della retta {r_2} deve essere uguale a quello della retta {r_1}, così abbiamo:

m_2=m_1 = \dfrac{3}{2}

Ora, oltre ad avere coefficiente angolare {m_2} la retta {r_2} dovrà essere tale da passare per il punto {\left( -4, \dfrac{1}{2}\right)}. Così, l’idea è quella di utilizzare l’equazione della retta passante per un dato punto e con coefficiente angolare noto:

y-y_0=m(x-x_0)

sostituendo nell’equazione appena scritta il coefficiente angolare che abbiamo calcolato e le coordinate del punto {P}. Così possiamo scrivere:

y-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}[x-(-4)]

ovvero:

y-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}(x+4)

e quindi:

y-\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}x-6=0

Sommando i termini simili, ordinando i termini e riducendo l’equazione alla forma intera otteniamo in conclusione l’equazione della retta {r_2}:

r_2: 3x-2y+13=0

Questa è l’equazione della retta parallela ad {r_1} e tale da passare per il punto {P} dato.

Secondo metodo. In alternativa possiamo ragionare sulla condizione di parallelismo tra due rette le cui equazioni sono date in forma implicita.

Consideriamo in generale una retta {r_1:a_1x+b_1y+c_1=0} e una retta {r_2: a_2x+b_2y+c_2=0}. Se le due rette sono parallele, dovrà valere l’uguaglianza:

\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=n, \qquad n \in \R

ove {n} sarà un certo numero reale.

Ora, dalla precedente seguono le uguaglianze (con l’ipotesi {n \neq 0}):

a_2=\dfrac{a_1}{n}, \qquad b_2=\dfrac{b_1}{n}

Di conseguenza, possiamo intanto riscrivere l’equazione della retta {r_2} come segue:

r_2: \dfrac{a_1}{n}x+\dfrac{b_1}{n}y+c_2=0

ovvero, moltiplicando entrambi i membri per {n} (si ha {n \neq 0)}:

r_2 : a_1x+b_1y+\underbrace{c_2 \cdot  n}_{k} = 0

Ciò significa che se le due rette {r_1} ed {r_2} sono tra loro parallele, allora esiste un {k} reale per cui l’equazione della retta {r_2} può essere espressa nella forma:

r_2: a_1x+b_1y+k=0

In questo caso infatti si ha {k=c_2 \cdot n}.

La particolarità di tale equazione consiste nel fatto che i coefficienti dei termini in {x} e {y} sono gli stessi di quelli che figurano nell’equazione della retta {r_1}.

Ora, nel caso in esame, la retta {r_1} ha equazione:

r_1: 3x-2y+5=0

Per quanto sin qui detto, sappiamo che l’equazione della retta {r_2} ad essa parallela e passante per il punto {P} potrà essere scritta nella forma:

r_2: a_1x+b_1y+c_2 \cdot n = 0

Ovvero, ponendo {c_2 \cdot n = k}:

r_2: a_1x+b_1y+k=0

Ora, {k} dovrà essere tale da fare in modo che la retta {r_2} passi per il punto {P=\left( -4, \dfrac{1}{2}\right)}. Ma per avere questo, basterà imporre la condizione di appartenenza del punto {P} alla retta {r_2}. Così, se {x_p} e {y_P} sono le coordinate del punto {P} dovremo imporre:

a_1x_P+b_1y_P+k=0 

ovvero, sostituendo le coordinate del punto {P} note e i valori dei coefficienti {a_1} e {b_1}:

3 \cdot (-4)+ (-2) \cdot\dfrac{1}{2} +k=0

Eseguendo i calcoli al primo membro e ricavando {k}:

-12-1+k=0 \quad \Rightarrow \quad k=13

Così per {k=13} l’equazione:

r_2: a_1x+b_1y+k=0

si riferirà ad una retta parallela ad {r_1} e passante per il punto {P}. Quindi, in conclusione, l’equazione della retta {r_2} nella sua forma finale è:

r_2: 3x-2y+13=0

Ritroviamo così l’equazione già scritta utilizzando il precedente metodo.

Esercizio 5

Concludiamo questa serie di esercizi sulle rette parallele con un esercizio simile al precedente, ma che risolveremo scegliendo uno solo fra i due metodi sin qui presentati.

Scrivere l’equazione della retta {r_2} parallela alla retta {r_1: 8x-2y+11=0} e passante per il punto {P=\left( -\dfrac{3}{4}, -\dfrac{1}{2}\right)}.

Utilizziamo il metodo che fa uso del parametro {k}.

L’equazione della retta {r_2} sarà della forma:

r_2: 8x-2y+k=0

Il valore del parametro {k} è da calcolarsi in funzione delle coordinate del punto {P}. Imponendo in particolare la condizione di appartenenza del punto {P} alla retta {r_2} abbiamo:

8 \cdot x_P-2y_P+k=0

ovvero sostituendo le coordinate del punto {P}:

8 \cdot \left( -\dfrac{3}{4}\right)-2 \cdot \left( -\dfrac{1}{2}\right)+k=0

ovvero:

-6+1+k=0 \quad \Rightarrow \quad k=5

Di conseguenza l’equazione della retta {r_2} sarà:

 r_2: 8x-2y+k=0, \qquad k=5

e quindi in conclusione:

r_2: 8x-2y+5=0

Questa è l’equazione della retta tale da essere parallela ad {r_1} e passante per il punto {P} dato.

Per quanto riguarda questa serie di esercizi sulle rette parallele è tutto. Abbiamo così visto come utilizzare la condizione di parallelismo fra rette (sia nel caso di equazioni in forma esplicita, sia nel caso di equazioni in forma implicita).

Un caro saluto e buon proseguimento a tutti voi con SìMatematica! 🙂